人教版数学九上期末复习讲练专项20 切线的证明方法归类（2大类型+5种方法）（2份，原卷版+解析版）

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证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法
（1）连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”
（2）作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”
【考点1 有公共点：连半径，证垂直】
方法1：特殊角计算法证垂直
【典例1】（2022•思明区校级一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．
【变式1-1】（2021•广东二模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．
【变式1-2】（2021秋•潍坊期末）如图，A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，CD＝2，E是CD延长线上的一点，且AE＝AC．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）求ED的长．
方法2：等角代换法证垂直
【典例2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．
【变式2-1】（2017秋•荆州区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求⊙O的半径．
【变式2-2】（2021秋•灌南县期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径．
方法3：平行线性质法证垂直
【典例3】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．求证：PD是⊙O的切线；
【变式3-1】（2022•大兴区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．求证：BC是⊙O切线；
【变式3-2】（2021•崆峒区一模）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
求证：DE是⊙O的切线．
【变式3-3】（2022•百色一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；
方法4： 全等三角形法证垂直
【典例4】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，求证：DE是⊙O的切线．
【变式4-1】（2021秋•虎林市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，若E是AC的中点，连接DE．求证：DE为⊙O的切线．
【考点2 无公共点：做垂直，证半径】
方法5 ：角平分线的性质法证半径
【典例5】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．
求证：AC是⊙D的切线；
【变式5-1】（2018•天河区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E
求证：BC是⊙D的切线；
方法6 ： 全等三角形法证半径
【典例6】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．
求证：AB为⊙O的切线；
【变式6】（2020秋•开福区月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF．求证：BF是⊙O的切线；
1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．求证：AC是⊙O的切线；
2．（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．求证：CD是⊙O的切线；
3．（2022春•兴宁区校级期末）如图，⊙O的半径为1，A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．求证：直线AC是⊙O的切线；
4．（2021秋•新兴县期末）如图，已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．
（1）求证：DE＝OE；
（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线．
（2022•郴州）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．
求证：直线PE是⊙O的切线；
6．（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．
7.（2020秋•苍南县校级期中）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
求证：BE与⊙O相切．
8．（2022•环翠区一模）如图，AC是⊙O直径，D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．求证：CF是⊙O的切线；