人教版数学九上期末复习讲练专项21 切线的判定与性质的综合应用（2份，原卷版+解析版）

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【类型一： 有公共点：连半径，证垂直】
【典例1】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OP＝OB，
∴∠B＝∠OPB，
∴∠OPB＝∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接AP，如图，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∴BP＝CP，
∵∠CAB＝120°，
∴∠BAP＝60°，
在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，
∴AP＝AB＝3，
∴BP＝AP＝3，
∴BC＝2BP＝6．
【变式1-1】（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1＝∠2，
∵OB＝OD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODA＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
则四边形ODCG为矩形，
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6，
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BE＝2BG＝12．
解得：BE＝12，
∵AC是⊙O的切线，
∴CD2＝CE•CB，
即82＝CE（CE+12），
解得：CE＝4或CE＝﹣16（舍去），
即CE的长为4．
【变式1-2】（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，
∴122+r2＝（8+r）2，
∴r＝5，
∴半径的长度为5．
【典例2】（2020•中宁县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝1，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）设该圆的半径为x．
在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，
∴1+x＝2x，
解得：x＝1
∴OA＝PD＝1，
所以⊙O的直径为2
【变式2-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵EF⊥AC，
∴∠EFD＝∠EFC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∴∠OEF＝∠EFC＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OG⊥AD，垂足为G，
∴∠OGF＝90°，
∵∠OEF＝∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形，
∴OG＝EF＝3，
设⊙O的半径为x，
∴AB＝AC＝2x，
∵CD＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝2x﹣4，
∵OG⊥AD，
∴AG＝AD＝x﹣2，
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，
∴（x﹣2）2+9＝x2，
∴x＝，
∴⊙O的半径为．
【变式2-2】（2021秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC
于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED＝90°，
∵AD平分∠BAE，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥DO，
∴∠EDO＝180°﹣∠E＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵∠E＝∠EDO＝90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∴DE＝CF，∠CFD＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵OD⊥BC，
∴CF＝BC＝4，
∴DE＝CF＝4，
∴ED的长为4
【典例3】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，又AO＝BO，
∴OD＝BC＝5，
由勾股定理得，AO＝＝3，
则⊙O的半径为3．
【变式3-1】（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA＝90°，
∵四边形OAEC是平行四边形，
∴AO∥EC，
∴∠AOD＝∠ODC，∠AOB＝∠OCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠AOB＝∠AOD，
又∵OA＝OA，OD＝OB，
∴△AOB≌△AOD（SAS），
∴∠OBA＝∠ODA，
∴∠ODA＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD为⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝4，AB＝8，
∴S△ABO＝AB•OB＝×4×8＝16，
∵△AOB≌△AOD，
∴S△AOD＝16，
∴平行四边形OAEC的面积＝2S△AOD＝32．
【类型一： 没有公共点：作垂直，证半径】
【典例4】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【解答】（1）证明：过点D作DF⊥AC于F；
∵AB为⊙D的切线，
∴∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴BD＝DF，
∴AC与⊙D相切；
（2）解：在△BDE和△DCF中；
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴EB＝FC．
∵AB＝AF，
∴AB+EB＝AF+FC，
即AB+EB＝AC，
∴AC＝5+3＝8．
【变式4-1】（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．
（1）求证：CD是半圆O的切线．
（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．
【解答】（1）证明：过点O作OE⊥CD，垂足为点E，
∵BC是半圆O的切线，B为切点，
∴OB⊥BC，
∵CO平分∠BCD，
∴OE＝OB，
∵OB是半圆O的半径，
∴CD是半圆O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∴∠DFB＝90°，
∵AD是半圆O的切线，切点为A，
∴∠DAO＝90°，
∵OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴四边形ADFB是矩形，
∴AD＝BF＝20，DF＝AB，
∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，
∴DE＝AD＝20，EC＝BC，
∵CD＝50，
∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，
∴BC＝30，
∴CF＝BC﹣BF＝10，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
DF＝＝＝20，
∴AB＝DF＝20，
∴BC的长为30，AB的长为20．
1.（2021秋•龙沙区期末）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°，
又∵∠DCB＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠DCB，
∴∠DCB+∠BCO＝90°，
即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，
∴OC2+CD2＝OD2，
∴OB2+42＝（OB+2）2，
∴OB＝3，
∴AB＝6，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线；
∴AE＝CE，
∵AD2+AE2＝DE2，
∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2，
解得AE＝6．
2．（2021秋•聊城期末）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AC平分∠BAD，且AD⊥CD于点D．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，CD＝2，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图中，连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，
得矩形OEDC，
∴OE＝CD＝2，DE＝OC，
∴AE＝AD﹣DE＝4﹣OC＝4﹣OA，
在Rt△AEO中，根据勾股定理，得
OA2＝AE2+OE2，
∴OA2＝（4﹣OA）2+22，
解得OA＝．
∴⊙O的半径为．
3．（2022春•长兴县月考）如图，已知等边△ABC的边长为6，点O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边AC，AB分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连结EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝∠B＝60°，
∵∠DAO＝60°，OD＝OA，
∴△DOA是等边三角形，
∴∠ODA＝∠C＝60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：设半径为r，等边△ABC的边长为6，
由（1）可知：AD＝r，则CD＝6﹣r，BE＝6﹣2r
在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝6﹣r，
∴CF＝（6﹣r），
∴BF＝a﹣（6﹣r），
又∵EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，
∴BF＝2BE，
∴6﹣（6﹣r）＝2（6﹣2r），
解得：r＝2，
∴⊙O的半径为2．
4．（2022•西湖区校级开学）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠C＝30°，CD＝10cm，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED＝∠ODE，
∵DE⊥AC，
∴∠CED＝∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴AB＝AC，
∵∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AD，
∵CD＝10cm，
∴BD＝10cm，
设AD＝xcm，则AB＝2xcm，
∴x2+102＝4x2，
∴x＝或x＝﹣（舍去），
∴AD＝（cm），AB＝（cm），
∴⊙O的半径为cm．
5．（2021秋•曲靖期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，DQ⊥AB，DQ＝DC，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E、交AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CD＝4，求CE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠C＝90°，DQ⊥AB，DQ＝DC，
∴BD是△ABC的角平分线，
∴∠OBD＝∠DBC，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BC，
∴∠ODA＝∠C＝90°，
∵AC经过⊙为的半径OD的端点D，且AC⊥OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，
作OG⊥BE于点G，则BG＝EG，∠OGB＝90°，
∵∠ODC＝∠C＝∠OGC＝90°，
∴四边形ODCG是矩形，
∵CD＝4，OB＝OD＝5，
∴OG＝CD＝4，GC＝OD＝5，
在Rt△BOG中，
OB2＝OG2+BG2，
∴BG＝＝＝3，
∴EG＝3，
∴CE＝GC﹣EG＝5﹣3＝2．
6．（2021秋•海淀区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G．
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）若∠DFA＝30°，DF＝4，求FG的长．
【解答】（1）证明：∵C，A，D，F在⊙O上，∠CAF＝90°，
∴∠D＝∠CAF＝90°．
∵AB⊥CE，BG⊥DF，
∴∠BED＝∠G＝90°．
∴四边形BEDG中，∠ABG＝90°．
∴半径OB⊥BG．
∴BG是⊙O的切线．
（2）解：连接CF，
∵∠CAF＝90°，
∴CF是⊙O的直径．
∴OC＝OF．
∵直径AB⊥CD于E，
∴CE＝DE．
∴OE是△CDF的中位线．
∴OE＝＝2．
∵＝，∠AFD＝30°，
∴∠ACD＝∠AFD＝30°．
∴∠CAE＝90°﹣∠ACE＝60°．
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形．
∵CE⊥AB，
∴E为AO的中点，
∴OA＝2OE＝4，OB＝4．
∴BE＝OB+OE＝6．
∵∠BED＝∠D＝∠G＝90°，
∴四边形BEDG是矩形．
∴DG＝BE＝6．
∴FG＝DG﹣DF＝2．
7．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，BC＝8，求DE的长．
【解答】（1）证明：如图1，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥半径OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝＝4，
∴AD＝＝3，
∵DE⊥AC，
∴S△ACD＝，
∴5•DE＝3×4，
∴DE＝，
∴DE的长是．
8．（2021秋•平罗县期末）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，CE＝1，求BD的长度．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD，
则∠OAD＝∠ODA．
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠EAD．
∴∠ODA＝∠EAD．
∴OD∥AE，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°．
∵DE∥BC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴＝，
∴CD＝BD，
在Rt△CDE中，DE＝2，CE＝1，根据勾股定理，得
CD＝＝＝，
∴BD＝．
9．（2021秋•博白县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝10，CD＝6，求DE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴EF⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝6．
在Rt△ACD中，AC＝10，CD＝6，
∴AD＝＝＝8，
又∵DE⊥AB，AB＝AC＝10，
∴S△ABD＝AB•DE＝AD•BD，
即 ×10×DE＝×8×6，
∴DE＝4.8．
10．（2022•任城区三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．
（2）若⊙O的半径为4，AF＝3，求AC的长．
【解答】（1）解：AF是⊙O的切线，理由如下：
连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO＝90°，∠1＝∠2，∠B＝∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠1，
∴∠3＝∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为4，AF＝3，∠OAF＝90°，
∴OF＝＝＝5
∵FA⊥OA，OF⊥AC，
∴AC＝2AE，△OAF的面积＝AF•OA＝OF•AE，
∴3×4＝5×AE，
解得：AE＝，
∴AC＝2AE＝．