人教版数学九上期末复习讲练专项23 三角形的内心与外心（2份，原卷版+解析版）

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考点1 三角形的内心
（1）三角形的内切圆：在三角形内部且与三角形三边都相切的圆；
（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，实质是三角形 的三个内角平分线交点；

【解题技巧】
（3）见到三角形的内心就想以下两点：
①角平分线：内心与顶点的连线必然平分三角形的内角.
如图，点O为△ABC的内心，连接AO、BO、CO，
必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
②等距：内心到三角形三边的距离必定相等.
如图，点O为△ABC的内心，过点O作三边的垂线，
必有OD=OE=OF.
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。
B
O
A D
（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 C
考点2 三角形的外心
（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，
这个圆叫作三角形的外接圆；
（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，实质是三角形 的 三条边的垂直平分线交点；
【解题技巧】
（3）见到三角形的外心就想以下两点：
①垂直平分线：外心到三角形三边的垂线必然平分三条边.
如图，点P为△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC，
必有AD=CD，BE=CE.
②等距：外心到三角形三个顶点的距离必然相等.
如图，点P为△ABC的外心，连接PA、PB、PC，
必有PA=PB=PC.
（4）与三角形外心有关的角度问题：
①外心在三角形的内部 三角形为锐角三角形 三个角都小于90°
②外心在三角形的边上 三角形为直角三角形 有一个角为90°；

③外心在三角形的外部 三角形为钝角三角形 有一个角大于90°.

【考点1 三角形的内心】
【典例1】（2022•河池模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，AB＝14，BC＝13，CA＝9，则AD的长是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
【答案】D
【解答】解：设AD＝x，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD，CE＝CF，BD＝BE，
∵AB＝14，BC＝13，CA＝9，
∴BD＝BE＝14﹣x，CF＝CE＝9﹣x，
∵CE+BE＝BC＝13，
∴9﹣x+14﹣x＝13，
∴x＝5，
∴AD＝5．
故选：D．
【变式1-1】（2022•五华区校级三模）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．已知△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，则AF的长为（ ）
A．4B．5C．9D．13
【答案】A
【解答】解：设AF＝a，
∵△ABC的周长为36，AB＝9，BC＝14，
∴AC＝13，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD，
∵AB＝9，BC＝14，CA＝13，
∴BD＝BF＝9﹣a，CD＝CE＝13﹣a，
∵BD+CD＝BC＝14，
∴（9﹣a）+（13﹣a）＝14，
解得：a＝4，
即AF＝4．
故选：A．
【典例2】（2019秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解答】解：连接OE、OF，如图所示：
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴AD＝AF＝10，BD＝BE，CE＝CF，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE＝CE＝CF，
设BD＝BE＝x，则OE＝CF＝CE＝5﹣x．AC＝AF+CF＝10+5﹣x＝15﹣x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：52+（15﹣x）2＝（10+x）2，
解得：x＝3，
∴BE＝3，OE＝2，
∴OB＝＝＝；
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•南丹县期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于 ．
【答案】2
【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，F，E，
∴AC⊥OE，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
∴四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OF＝r，
∴AE＝AE＝AC﹣CE＝6﹣r，BF＝BD＝BC﹣CF＝8﹣r，
∵AD+BD＝AB＝10，
∴6﹣r+8﹣r＝10，
∴r＝2．
∴⊙O的半径等于2．
故答案为：2．
【变式2-2】（2021秋•南开区期末）图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 ．
【答案】6
【解答】解：连接DO，EO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3，
又∵∠C＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO＝DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2，
故（x+2）2+（x+3）2＝52，
解得：x＝1，
∴BC＝3，AC＝4，
∴S△ABC＝×3×4＝6，
故答案为：6．
【典例3】（2019秋•岳麓区校级月考）如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线分别交AB、AC于D、E两点，若△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，则BC的长为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】D
【解答】解：如图，设⊙I与DE的切点为点M，⊙I与△ABC三边的切点分别为N、G、H，
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴DM＝DN，EM＝EH，BN＝BG，CH＝CG，
∵△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，
∴AB+AC+BC﹣（AD+DE+AE）＝12，
即AD+DN+BN+AE+EH+CH+BC﹣（AD+DM+EM+AE）＝12，
∴2BC＝12，
∴BC＝6；
故选：D．
【变式3-1】（2021秋•陵城区期末）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．14cmB．8cmC．7cmD．9cm
【答案】B
【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，
∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，
∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm，
∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm），
∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm），
故选：B．
【变式3-2】（2022春•西乡塘区校级期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 ．
【答案】7cm
【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故答案为：7cm．
【典例4】（2022•黄石模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是 步．
【答案】6
【解答】解：
设三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴AB＝＝＝17，
设内切圆的半径为r，则S△ABC＝（AB+BC+CA）•r，
∴AC•BC＝（AB+BC+CA）•r，即×8×15＝×（8+15+17）•r，
解得r＝3，
∴内切圆的直径是6步，
故答案为：6．
【变式6】（2022•石家庄模拟）如图，已知△ABC的周长是20，点O为三角形内心，连接OB、OC，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（ ）
A．20B．25C．30D．35
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∵点O为三角形内心，OD⊥BC，
∴OD＝OE＝OF＝3，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝AB•OE+AC•OF+BC•OD
＝×OD（AB+AC+BC）
＝3×20
＝30．
故选：C．
【典例7】（2022•海曙区校级开学）如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（ ）
A．100°B．104°C．105°D．114°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝28°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝152°，
∵⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝∠ABC+∠ACB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝76°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）
＝180°﹣76°
＝104°，
故选：B．
【变式7-1】（2021秋•大余县期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（ ）
A．125°B．115°C．100°D．130°
【答案】A
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°．
故选：A．
【变式7-2】（2020秋•曲靖期末）如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．65°B．140°C．55°D．70°
【答案】D
【解答】解：连接IE、IF，如图，
∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
∵∠EDF＝∠EIF，
∴∠EDF＝90°﹣∠A，
∵∠B＝65°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
∴∠EDF＝90°﹣×40°＝70°．
故选：D．
【考点2 三角形的外心】
【典例8】（2022•沈阳模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径长为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，
∴2OA2＝36，
∴OA＝3，
即⊙O的半径是3，
故选：C．
【变式8-1】（2022•东营模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，AB为∠OBC的角平分线，则∠BCA等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：连接OC，
∵∠A＝α，
∴∠O＝2∠A＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝×（180°﹣∠O）＝90°﹣α，
∵AB为∠OBC的角平分线，
∴∠ABC＝OBC＝45°﹣，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣α﹣（45°﹣）＝135°﹣α，
故选：C．
【变式8-2】（2022•瓜州县校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直径．则∠DAB的度数是（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝110°，
∴∠C＝35°，
∴∠D＝∠C＝35°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠D＝90°﹣35°＝55°．
故选：B．
【典例9】（2022•邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBE＝30°，
又∵OE⊥BC，
∴BE＝BC＝AB＝，
在Rt△OBE中，cs30°＝，
∴，
解得：OB＝，
故选：C．
【变式9-1】（2022•怀宁县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，，则⊙O的直径为（ ）
A．B．C．6D．12
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，
∴∠APO＝90°，
在Rt△AOP中，OP＝2，∠OAC＝30°，
∴OA＝2OP＝4，
∴圆O的直径为8．
故选：B．
【变式9-2】（2021秋•通州区期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若⊙O的半径为2，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC＝2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC＝×360°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，
∴BD＝OB•cs∠OBD＝2×cs30°＝2×＝，OD＝OB＝1，
∴BC＝2．
∴等边△ABC的面积为3S△BCO＝3×BC•OD＝3××1＝3．
故选：D．
【典例10】（2021秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【答案】D
【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，1）．
故选：D．
【变式10】（2021秋•盐都区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）
【答案】D
【解答】解：∵点A，B的坐标为（1，4），（5，4），
∴线段AB的垂直平分线方程为x＝3，
同理，线段AC的垂直平分线方程为y＝1，
∴△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），
故选：D．
1．（2021秋•鄞州区期末）直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【解答】解：如图，设⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝1，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD＝CF＝1，
由切线长定理得：AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，
∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，
∴AB＝6＝AE+BE＝BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝6+1+1+6＝14，
故选：B．
2．（2021秋•兰山区期末）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ）
A．3：2：1B．1：2：3C．2：3：1D．3：1：2
【答案】B
【解答】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，
∵△ABC为等边三角形，
∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，
∴点O在AH上，
∴OH＝r，
连接OB，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝OB，
在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，
∴AH＝2r+r＝3r，
∴OH：OA：AH＝1：2：3，
即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．
故选：B．
3．（2022•新洲区模拟）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CH⊥BO的延长线于点H，
∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝90°+A＝120°，
∴∠COH＝60°，
∵OB＝2，OC＝4，
∴OH＝2
∴CH＝2，
∴△OBC的面积＝OB•CH＝2×2＝2．
故选：B．
4．（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60°B．62°C．72°D．73°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，
故选：C．
5．（2022•衢州一模）如图，BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC于点E，连结CD．若∠ABE＝40°，则∠CBD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC，
∴＝，AE＝CE，
∴AB＝CB，
∴∠CBD＝∠ABE＝40°，
故选B．
6．（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝OB＝
∴A（，0），B（0，2），
∴D点坐标为（，1）．
故选：B．
7．（2022•龙岗区模拟）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40°B．55°C．70°D．110°
【答案】B
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA＝，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣70°）＝55°，
故选：B．
8．（2022•朝阳区校级一模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，若OC＝AC＝5，则BC长为（ ）
A．10B．9C．8D．5
【答案】D
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵OC＝AC＝5，
∴AB＝2OC＝10，
∴BC＝＝＝5．
故选：D．
9．（2022•云南模拟）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD的长是（ ）
A．B．πC．D．2π
【答案】B
【解答】解：连接OB、BD，如图：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵半径OA＝3，
∴劣弧BD的长为＝π，
故选：B．
10．（2021秋•长乐区期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步．
【答案】6
【解答】解：根据勾股定理得：斜边AB＝＝17，
∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），
故答案为：6．
11．（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝ ．
【答案】130°
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，
∴AB、BC是⊙O的切线，
∴∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣∠BDO﹣∠BEO﹣∠ABC＝130°，
故答案为：130°．
12．（2022•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是 ．
【答案】1
【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，
∴AD＝＝＝2，
∴⊙O的半径是1，
故答案为：1．
13．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
【答案】△ABD，△ACD，△BCD
【解答】解：由图可知：
OA＝，
OB＝，
OC＝，
OD＝，
OE＝，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，
故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．
14．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 cm．
【答案】3
【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，
∴AB＝AD•sin60°＝6×＝3（cm），
故答案为：3．
15．（2022•玉林模拟）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝60°，则∠ACB＝ ．
【答案】30°
【解答】解：连接BD，如图，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝∠D＝30°．
故答案为：30°．
16．（2021秋•乌兰察布期末）如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．
【解答】解：假设AD＝x，
∵⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F；
∴根据切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，
∴AF＝x，
∵AB＝5，AC＝6，BC＝7，
∴BE＝BD＝AB﹣AD＝5﹣x，FC＝EC＝AC﹣AF＝6﹣x，
∴BC＝BE+EC＝5﹣x+6﹣x＝7，
解得：x＝2，
∴AD＝2，BE＝BD＝5﹣2＝3，CF＝AC﹣AF＝6﹣2＝4．
17．（2022•鼓楼区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，经过点A，C，D的圆与BC相交于点E，连接AE．
（1）求证：△ABE是等边三角形．
（2）F是上一点，且FA＝FC，连接EF．求证：EF＝BC．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠D+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠D＝120°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEC＝60°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝60°，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEB，
∴△ABE是等边三角形；
（2）∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，
∵∠D＝∠AFC＝60°，AF＝FC，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠FCA＝60°，
∴∠AEF＝∠FCA＝60°，
∴∠AEF＝∠B＝60°，
∵∠AFE＝∠ACB，
∴△ABC≌△AEF（AAS），
∴BC＝EF．