人教版数学九下期末复习讲练专项08 相似三角形-手拉手模型综合应用（2份，原卷版+解析版）

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模型一：有公共顶点的直角三角形
模型二：有公共顶点的任意三角形
【类型1：有公共顶点的直角三角形】
【典例2】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．
【初步探究】
（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系： ；
【类比探究】
（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．
①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；
②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．
【变式1-1】如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．
【变式1-2】如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）．
（1）问题发现
当α＝0°时，的值为 ，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为 ；
（2）拓展探究
试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：
（3）问题解决
当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．
【典例2】已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC．
【变式2-1】如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE．
【变式2-2】（2022春•龙岗区期末）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长．
【变式2-3】（1）如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
（2）如图（2），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，延长BD到点E，使∠CAE＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，求出AD的长．
（3）如图（3），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，试证明△ADF∽△ECF，并求出的值．
1．（2021秋•邵阳县期末）如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．
2．（2021•长垣市模拟）（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①线段AD，BE之间的数量关系为 ；
②∠AEB的度数为 ．
（2）拓展探究：
如图2，△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数；
（3）解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝，且∠BPD＝90°，请直接写出点C到直线BP的距离．
3．（2022•南山区校级一模）（1）【问题发现】
如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．
填空：
①线段CF与DG的数量关系为 ；
②直线CF与DG所夹锐角的度数为 ．
（2）【拓展探究】
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）【解决问题】
如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 （直接写出结果）．
4.（2020秋•赣榆区期末）问题背景：
（1）如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，BD＝3，CD＝5，求的值；
灵活运用：
（3）如图3，点A是△BCD内一点，∠ADB＝∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，BD＝3，CD＝，直接写出AD的长．