人教版数学九下期末复习讲练专项12 锐角三角函数实际应用-拥抱型（2份，原卷版+解析版）

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特别提醒：“面对面”型关键是找到两个直角三角形的公共边
1．（2022•江汉区模拟）数学小组的两位同学准备测量两幢教学楼之间的距离．如图，两幢教学楼AB和CD之间有一景观池（AB⊥BD，CD⊥BD），一同学在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°．另一同学在C点测得E点的俯角为45°（点B，E，D在同一直线上），两个同学在学校资料室查出楼高AB＝15m，CD＝20m，则两幢教学楼之间的距离BD约为 m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【答案】36.7．
【解答】解：由题意可得∠AEB＝42°，∠CED＝45°，
在Rt△ABE中，tan42°＝≈0.90，
解得BE≈16.7，
在Rt△CDE中，∠CED＝45°，
∴CD＝DE＝20m，
∴BD＝BE+DE≈36.7m．
故答案为：36.7．
2．（2022•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°，已知树高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：＝1.73、sin53°≈、cs53°≈、tan53°≈）
【解答】解：由题意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°，
在Rt△DEF中，EF＝6米，
tan∠ADB＝tan53°＝≈，
tan∠CBD＝tan30°＝，
解得DF＝4.5，BF＝6，
∴BD＝BF+DF＝（4.5+6）米，
在Rt△ABD中，
tan∠ADB＝tan53°＝≈，
解得AB＝6+8≈19.8，
∴DF的长约为4.5米，教学楼AB的高度约为19.8米．
3．（凉山州）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF＝6米，求塔CD的高度．（结果保留根号）
【解答】解：由题意可知∠BAD＝∠ADB＝45°，
∴FD＝EF＝6米，
在Rt△PEH中，∵tanβ＝＝，
∴BF＝＝5（米），
∴PG＝BD＝BF+FD＝5+6（米），
在RT△PCG中，∵tanβ＝，
∴CG＝（5+6）•＝5+2（米），
∴CD＝（6+2）米．
4．（2022•长沙一模）长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是24m．（结果用根号表示）
（1）求楼房与电视塔底部距离AD的长；
（2）求电视塔的高度．
【解答】解：（1）∵顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°，
∴∠ADB＝30°，
在Rt△ABD中，AB＝24m，
∵tan∠ADB＝＝tan30°＝，
∴AD＝AB＝24（m），
答：楼房与电视塔底部距离AD的长为24m；
（2）∵在一楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，
∴∠CAD＝60°，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝tan60°＝，
∴CD＝AD＝×24＝72（m）．
答：电视塔的高度为72m．
5．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，≈1.732）
（1）求楼AB的高度；
（2）求楼CD的高度．
【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，
∴BG＝BE+EG＝21m，
在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，
∴AB＝BG•tan30°＝21×＝7≈12.1（m），
∴楼AB的高度约为12.1m；
（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，
∴EF＝EG•tan30°＝6×＝2（m），
在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，
∴HE＝＝＝2（m），
∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），
在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，
∴DC＝HC•tan60°＝16≈27.7（m）．
∴楼CD的高度约为27.7m．
6．（2022•泗阳县一模）如图，某校教学楼（矩形AGHD）前是办公楼（矩形BENM），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（AB）和旗杆（CF），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为45°，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为37°，已知教学楼高度AD为20m，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少4m，求办公楼的高度EB．（参考数据sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：根据题意可知：AD⊥AC，AC⊥CF，AB⊥BE，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∴AC＝AD＝20m，
∵BC＝AC﹣4，
∴BC＝20﹣4＝16（m），
在Rt△CBE中，∠BCE＝37°，
∴BE＝BC•tan37°≈16×0.75＝12（m），
答：办公楼的高度EB为12m．
7．（2022•淮滨县三模）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州市郑东新区，因为其是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为CBD的一座新地标建筑．某数学兴趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A点处观测“大玉米”顶端C处的仰角是45°，然后爬到该楼房顶端B点处观测“大玉米”底部D处的俯角是30°．已知楼房AB高约是162m，根据以上观测数据求“大玉米”的高．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：由题意可知，∠CAD＝45°，∠EBD＝30°＝∠ADB，AB＝DE＝162米，
在Rt△ABD中，∵tan30°＝，
∴AD＝＝162（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝162≈280（米），
答：“大玉米”的高约为280米．
8．（2022•睢阳区模拟）数学兴趣小组准备测量学校外的一座古塔AB的高度，小明在地面C处观测到塔尖A的仰角为58°，塔的另一侧有一斜坡DE（D，B，C在同一直线上），坡度i＝1：，小亮在E处测得塔尖A的仰角为45°，已知斜坡DE＝15米，CD＝20米，求古塔AB的高度．（精确到0.1米．参考数据：sin58°≈0.8480，cs58°≈0.5299，tan58°≈1.600）
【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
在Rt△EDF中，
∵山坡AB的坡度i＝1：，
∴tan∠EDF＝＝1：＝，
设EF＝3k，DF＝4k，
∴DE＝5k＝15，
∴k＝3，
∴EF＝9米，DF＝12米，
过E作EG⊥AB于G，
则EG＝BF，BG＝EF，
∵∠AEG＝45°，
∴AG＝EG，
设EG＝AG＝BF＝x米，
∴AB＝AG+BG＝（x+9）米，
在Rt△ABC中，∠C＝58°，
∴tan58°＝＝≈1.6，
∴BC＝，
∵CD＝20米，
∴EG+BC＝DF+CD，
∴x+＝12+20，
解得：x≈16.23，
∴AB＝x+9＝25.23≈25.2（米），
答：古塔AB的高度约为25.2米．
9．郑州人民公园有一座摩天轮，天天很喜欢坐，某日天天突然想测量这座摩天轮的高度，于是他先走到摩天轮AB对面小山上的E点处，在E点测得摩天轮最高点A的仰角为34°，沿着坡度i＝1：2.4的山坡向下走了26米到达C处，再往前走了77米到达了B处，请帮天天算出摩天轮AB的高度．（参考数据：sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67，结果精确到米）
【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC的延长线于点F，作EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，∵i＝EF：CF＝，CE＝26米，
∴EF＝10米，CF＝24米，
∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC+CF＝77+24＝101（米），
在Rt△AHE中，
∵∠HEA＝34°，
∴AH＝HE•tan34°≈101×0.67≈67.7（米），
∴AB＝AH+HB＝67.7+10≈78（米）．
答：摩天轮AB的高度约为78米．
10．（2021秋•长安区期末）一天小明与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵树，小明想测量这棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为12米，坡面上的影长为5米，斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的拐杖在地面上的影长为2.5米，求这棵树的高度（结果精确到0.1米）．
【解答】解：延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，
在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，CF＝5m，
∴CE＝（米），EF＝5cs30°＝（米），
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2.5米，
∴DE＝2.5CE＝（米），
∴BD＝BF+EF+DE＝12++＝（+）米，
∴AB＝BD÷2.5＝（+）×≈9.0（米），
答：这棵树的高度约为9.0米．