人教版数学八下期末培优训练专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（2份，原卷版+解析版）

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类型一 分母有理化
技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。
典例1（2021秋•曲阳县期末）把化去分母中的根号后得（ ）
A．4bB．C．D．
变式训练
1．（2022春•东莞市期中）化简： ．
2．（2021春•龙山县期末）把化成最简二次根式，结果是 ．
技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母
典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简．
解：．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
【问题解决】
（1）化简的结果为： ；
（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为： ；
（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．
变式训练
1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简： ．
2．（2022秋•牡丹区期末）若的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1）ab＝ ．
技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简
典例3 化简：
变式训练：
1.化简：
技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。
典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值，其中x＝5，y．
针对训练：化简：
（1） （2）
技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
24．观察下面式子的化简过程：
．
化简，并将这一问题作尽可能的推广．
变式训练：
1．化简：
类型二 分子有理化
典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：，．
因为，所以．
再例如：求y的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y．
当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较34和2的大小；
（2）求y的最大值．
针对训练
1．（青羊区校级期中）已知a1，b＝3﹣2，c，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b
2．（2020秋•武侯区校级月考）计算：
（1）比较和的大小；
（2）求y3的最大值．
专题提优训练
1．（2022秋•绥化期末）化简的结果是 ．
2．（2021秋•阳城县期末）化简的结果是 ．
3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简： ．
4．（2021春•宁阳县期末）化简 ， ．
5．（2012秋•珙县校级月考）化简： ．
6．（2021春•江城区期末）化简的结果是 ．
7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x，y，求x2+xy+y2的平方根．
8．（2022春•普陀区校级期末）计算：．
9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算：．
10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．
如：3+2．
除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
如：化简．
解：设x，易知，故x＞0．
由于x2＝（）2＝2222．
解得x，即
根据以上方法，化简：．
11．（2022春•大连月考）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2）（2）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4的有理化因式可以是 ，分母有理化得 ．
（2）计算：
①．
②已知：x，y，求x2+y2的值．
12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：
1；
．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
① ；② ；
（2）应用：求的值；
（3）拓广： ．
13．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简
解：
材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么m±n．
例如：化简
解：1
【理解应用】
（1）填空：化简的结果等于 ．
（2）计算：
①；
②．
14．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
比如：．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，．
因为，所以，．
再例如，求y的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y．
当x＝2时，分母有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较和的大小；
（2）求y3的最大值．