浙江省浙江星辰联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省浙江星辰联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的斜率是( )
A.B.1C.D.
2．在斜三棱柱中,( )
A.B.C.D.
3．已知圆的方程为：,则圆心坐标为( )
A.B.C.D.
4．已知空间向量,,若,则( )
A.1B.-2C.2D.
5．已知直线与直线平行,则( )
A.B.2C.-2D.
6．直线,与圆相交弦中最短的弦长为( )
A.5B.6C.8D.10
7．已知椭圆与双曲线有相同的焦点,,离心率分别为,,点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点,且,若,则双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
8．已知两点,,若直线上存在点P,使,同时存在点Q,使,则称该直线为“两全其美线”,给出下列直线,其中为“两全其美线”的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知圆,直线,则( )
A.直线l恒过定点
B.直线l与圆C有两个交点
C.当时,圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
D.圆C与圆恰有三条公切线
10．已知椭圆的方程为,双曲线的方程为,则( )
A.双曲线的一条渐近线方程为B.椭圆和双曲线共焦点
C.椭圆的离心率D.椭圆和双曲线的图象有4个公共点
11．如图,在棱长为2的正方体中,点O为的中点,且点P满足,则下列说法正确的是( )
A.若,,则点P的轨迹长度为1
B.若,则
C.若,,则
D.若,时,直线与平面所成的角为,则
三、填空题
12．已知双曲线的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为______________.
13．直线被椭圆截得的弦长为________________.
14．已知三棱锥的体积为3,M是空间中一点,,则三棱锥的体积是______________.
四、解答题
15．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,中心为原点,左焦点,离心率为.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)已知点,若P是椭圆上的动点,求线段中点M的轨迹方程.
16．某台风中心位于某地A处,距离台风中心A正西方向的B处有一人,正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进,速度为,已知距离台风中心以内会受其影响.
(1)若此人刚好不被台风影响,求的最大值;
(2)若此人骑行方向为北偏东,（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？
17．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为,,双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)经过点作直线l交双曲线的右支于A,B两点,且M为的中点,求直线l的方程;
(3)已知定点,点D是双曲线右支上的动点,求的最小值.
18．如图,在四棱锥中,四边形为矩形,为等边三角形,且S在平面上的射影为中点P,,.
(1)若E为棱的中点,求证：平面;
(2)在棱SC上是否存在点M,使得直线SC与平面所成角的余弦值为,若存在,求出点M的位置并给以证明,若不存在,请说明理由.
19．定义：P,Q为一个几何系统中的任意两点,则为这两个点的最大距离,例如,某个几何系统由一个圆构成,则为此圆的直径.
(1)已知为边长为2的正三角形,求由的外接圆构成的几何系统的;
(2)已知为直角边为2的等腰直角三角形,其中,求分别以三边为直径的三个圆构成的几何系统的;
(3)已知正四面体的棱长为2,求由正四面体的棱切球（与各棱相切的球）和的外接圆所构成的几何系统的.（此小题只要求给出答案,不需过程.）
参考答案
1．答案：B
解析：直线的斜率是1.
故选：B.
2．答案：C
解析：三棱柱中,.
故选：C.
3．答案：D
解析：易知圆方程可化为,
因此圆心坐标为.
故选：D.
4．答案：C
解析：向量,,由,得,
所以.
故选：C.
5．答案：A
解析：直线与直线平行,时不合题意,
a不等于0时,则,所以.
故选：A.
6．答案：B
解析：直线过定点,
圆的圆心,半径,
则,点A在圆C内,当且仅当时,直线l与圆C相交所得弦长最短,
所以最短的弦长为.
故选：B.
7．答案：D
解析：不妨设,,椭圆长半轴长为,
双曲线实轴长为,如下图所示：
根据椭圆定义可知,由离心率定义可得,
解得;
又,可得,
解得;
由易知,可得;
又,可得,
因此可得双曲线的方程为.
故选：D.
8．答案：C
解析：由点,,得,
由,得点P的轨迹是以点M,N为焦点,实轴长为6的双曲线右支,方程为,
由,得点Q的轨迹是以点M,N为焦点,实轴长为6的双曲线左支,方程为,
直线为“两全其美线”,当且仅当直线与双曲线的两支相交,
对于A,双曲线的渐近线为,直线与双曲线无公共点,A不是;
对于B,直线与双曲线左支无公共点,B不是;
对于C,由,知直线过双曲线的中心,
且在两条渐近线所夹含焦点的区域,直线与双曲线两支相交,C是;
对于D,由,知直线过双曲线的中心,且在两条渐近线所夹含虚轴的区域,
直线与双曲线无公共点,D不是.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：圆的圆心,半径,
对于A,直线,由,解得,
直线l过定点,A正确;
对于B,,点A在圆C内,直线l与圆C有两个交点,B正确;
对于C,当时,直线,点C到直线l的距离,
,则圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1,C正确;
对于D,圆的圆心,半径,,
两圆相交,有2条公切线,D错误.
故选：ABC.
10．答案：AD
解析：对于A,双曲线的渐近线为,A正确;
对于B,椭圆的焦点在x轴上,双曲线的焦点在y轴上,B错误;
对于C,椭圆中,长半轴长,半焦距,离心率,C错误;
对于D,由,解得,,此方程组有4个解,因此椭圆和双曲线有4个公共点,D正确.
故选：AD.
11．答案：BCD
解析：连接,,,,,以D为原点建立如图所示空间直角坐标系,
,,,,,,,
则
,
故,
对于A,若,,则,
因为,所以,
所以点P的轨迹长度为2,
对于B,,,
若,则,
所以,故B正确;
对于C,若,,则,,
,,设平面的法向量为,
则,故可设,
所以点P到平面的距离,
在中,,
则,
所以,故C正确;
对于D,若,时,,,
则
,
设,,则,,,
则,
由于函数在上单调递减,在上单调递增,
,,,所以,
所以,,,
,,
所以,所以,
所以,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为双曲线的离心率为,
所以,
解得,
所以双曲线C的渐近线方程为,
故答案为：.
13．答案：
解析：由,得,
解得或,则或,
所以直线被椭圆截得的弦长为.
故答案为：.
14．答案：2
解析：如下图所示：
由可得;
即,
可得,即;
又,由空间向量基本定理可得在平面内存在一点D,
使得;
所以,,,可得,
由三棱锥的体积为3,可得三棱锥的体积即为三棱锥的体积,
所以三棱锥的体积.
故答案为：2.
15．答案：(1);
(2).
解析：(1)依题意,椭圆半焦距,由离心率为,得椭圆的长半轴长,
因此该椭圆的短半轴长,
所以该椭圆的标准方程为.
(2)设,由M为线段的中点,得,
而点P是椭圆上的动点,则有,即,
所以线段中点M的轨迹方程是.
16．答案：(1);
(2)3小时.
解析：(1)由题意,如图,圆A是以坐标原点为圆心,为半径的圆,
要使此人不被台风影响,骑行路线正好与圆A相切时,角最大,
由,,则,知,则最大.
(2)由题意,骑行路线所在直线方程为,圆心A到直线的距离为,
该直线与圆A相交的弦长为,
即此人被台风影响持续时间为.
17．答案：(1);
(2);
(3).
解析：(1)依题意,双曲线焦点在轴上,半焦距,实半轴长,
则虚半轴长,
所以双曲线C的标准方程为.
(2)显然直线l不垂直于轴,否则弦中点纵坐标为0,
设直线l的方程为,即,设,,
由消去y得：,
依题意,,由M为的中点,得,解得,
此时方程为,,符合题意,
所以直线l的方程为.
(3)由,得点在双曲线夹含虚轴的区域内,
又点D在双曲线右支上,即,
因此,
当且仅当D是线段与双曲线右支的交点时取等号,
所以的最小值为.
18．答案：(1)证明见解析;
(2)存在点M,或,证明见解析.
解析：(1)取SC中点F,连接,,又E,F分别为,的中点,
,,底面四边形是矩形,P为棱的中点,
,,则,,
故四边形是平行四边形,所以.
又平面,平面,可得平面.
(2)在棱SC上存在点M,且或,证明如下,
在等边中S在平面上的射影为中点P,
所以面,则是四棱锥的高.
设,则,结合,知矩形的面积
,所以.
以点P为原点,,的方向分别为x,z轴的正方向,在面ABCD内过点P作垂线为y轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
故,,,
设,则,
设平面的一个法向量为,则,
令,.
由题意,
整理得,解得或,
所以存在点M,或时,使直线SC与平面所成角的余弦值为.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由题意可知最大距离即为的外接圆的直径,
可以直接由正弦定理计算得到.
(2)可如图建立坐标系：以点A为原点,以,为坐标轴,
可以得出三个圆的圆心分别为,,,可求出圆心之间最大距离为,
再由圆D的标准方程为得到D的半径为1,圆E的标准方程为,得到E的半径为1.
则该几何系统的最大距离为.
(3)可以将正四面体放入立方体当中,则其棱切球刚好为立方体的内切球,且立方体的棱长为正四面体棱长的倍,可得到棱切球的半径为.
正四面体的棱切球的球心位即为正四面体的中心,的外接圆上任意一点距离该球心的距离等于的任意一个顶点到该球心距离,即该正四面体的外接球的半径.
综上,该几何系统的最大距离.