重庆市第八中学校2025届高三上学期适应性月考（三）数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2025届高三上学期适应性月考（三）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.D.
2．若，则( )
A.B.C.D.
3．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为( )
A.B.C.D.
4．已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则( )
A.-2B.4C.8D.-2或4
5．已知直线与圆相交于M，N两点，则的最小值为( )
A.B.2C.4D.
6．设，是定义在R上的两个函数，若对，，，恒成立，下列四个命题中正确的是( )
A.和可以为有相同最小正周期的周期函数
B.和可以均为偶函数
C.若和均为奇函数，则当时，
D.和可以均为增函数
7．已知，为单位向量，且，向量满足，则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．已知正实数x，y满足，则的最大值为( )
A.5B.2C.9D.8
二、多项选择题
9．已知复数，，则下列结论正确的是( )
A.若z为纯虚数，则
B.若z在复平面内对应的点位于第四象限，则
C.若，则
D.若，则
10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过点A作C的切线，交准线于点P，交x轴于点Q，下列说法正确的有( )
A.
B.直线QB与C也相切
C.
D.若，则
11．记函数的图像为曲线C，点不在曲线C上，过点P作曲线C的切线，则下列说法正确的是( )
A.若，，可作1条切线
B.若，，可作0条切线
C.若，，可作3条切线
D.若，，可作2条切线
三、填空题
12．计算：____________.
13．双曲线的左、右焦点分别为、，P是双曲线左支上一点，满足且直线的斜率为2，则双曲线的离心率为____________.
14．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列：1，1，2，3，5，8，…，从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”若，则____________.
四、解答题
15．小李和小张关注到习近平总书记今年4月在重庆考察时强调：“奋力打造新时代西部大开发重要战略支点、内陆开放综合枢纽”，于是决定大学毕业后回家乡重庆创业他们投入5万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货他们统计了第一周的带货数据如下：
(1)求样本的相关系数（精确到0.01）；
(2)用最小二乘法求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的b的值计算a的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）.
附：①相关系数；
②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；
③，，.
16．已知数列的首项，且满足.
(1)证明：为等比数列；
(2)已知，为的前n项和，求.
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A的值；
(2)若为锐角三角形，且其面积为，求边a的取值范围
18．已知，求证：
(1)；
(2)；
(3).
19．已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形
(1)求椭圆方程；
(2)设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C记直线的斜率为，直线的斜率为.
①求的值；
②若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，求的值
参考答案
1．答案：D
解析：由可得，
解得，所以，
因为，所以，
图中阴影部分表示的集合为.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为，
所以，
所以，
故选：B
3．答案：C
解析：设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，
，
故，，
所以，
即谜题没被破解的概率为.
故选：C.
4．答案：B
解析：设等差数列的公差为d，
由可得，解得，
当时，，不符合题意，故舍去；
所以，则.
故选：B
5．答案：C
解析：圆的圆心为，半径，
直线，
即，
令，解得，
所以直线恒过点，
又，
所以当时，弦的长度取得最小值，
即，
设的中点为D，则，
所以.
故选：C
6．答案：D
解析：令，
因为对，，，
恒成立，
即，
所以在R上单调递减，
对于A，若和为有相同最小正周期的周期函数，
则也为周期函数，
与在R上单调递减矛盾，故A错误；
对于B，若和均为偶函数，
则，
即为偶函数，与在R上单调递减矛盾，故B错误；
对于C，若和均为奇函数，
则，
即为奇函数，且，在R上单调递减，
则当时，，
即，故C错误；
对于D，取，，
满足在R上单调递减，
且，为R上增函数，故D正确；
故选：D
7．答案：A
解析：因为，为单位向量，
且，
所以，
则，
所以，
因为，
则，
则不妨设，，
因为，
所以，
即点的轨迹为圆，
且圆心为，半径为，
又，
设点，
则，
根据点与圆的位置关系可得，
故的最小值为.
故选：A.
8．答案：C
解析：因为正实数x，y满足，
所以，
即，
因为，
当且仅当，
即，或，时，等号成立，
所以，
解得，
所以的最大值为9，
故选：C
9．答案：BC
解析：若z为纯虚数，则且，解得，故A错误；
若z在复平面内对应的点位于第四象限，
则且，解得，
即，故B正确；
若，则，得，故C正确；
若，则，得，故D错误
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：依题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
不妨设点A在第一象限，且，如图，
因为，
所以，
则有点A处的切线方程为：，即，
令，于是，则，选项A正确；
同理有点B处的切线方程为：，交x轴于，
当时直线才是抛物线C的切线，
否则直线不是抛物线C的切线，故B错误；
设直线的方程为：，
由
可得，
所以，，
所以，故C正确；
由A可知，为等腰三角形，
且，于是，
则，
又，解得，则，选项D正确，
故选：ACD
11．答案：BCD
解析：曲线C如图实线部分，不妨补全下方图像，
显然，曲线的切线必在其“凸面”，
即单独对而言，在时不可作切线，
在时不可作切线，而在其“凹面”能作2条切线，
因此在区域1内和都不可作切线，
因为在外切线为，
所以又可分为三个区域，在上方，
作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在，
而若在下方，上方，
若，则两切点都在上，
若，则两切点都在上，
对，根据对称性也有类似结论，
回到题目中，可分为如图的8个区域，区域1不可作切线，
由于区域2和3在的“凹面”，故在段必不可作切线，
由于区域3在上方，区域2在下方，
所以在上区域2可作2条切线，区域3可作1条切线，
根据对称性，区域7和区域8在的“凹面”，
所以在必不可做切线，
区域7在下方，区域8在上方，
所以在上，区域7可作1条切线，区域8不可作切线，
同理，区域4在，的“凸面”，
又在上侧，上侧，
所以在可作2条切线，在可作1条切线，
所以区域4可作3条切线，由对称性知区域6仅在作1条切线，
最后，区域5在可作1条切线，在可作1条切线，
对于A选项，因为，，
所以区域3内可作一条切线，而区域2可作2条切线，故A错误；
对于B选项，因为，，
所以在区域1，可作0条切线，故B正确；
对于C选项，因为，，
所以在区域3上，可作3条切线，故C正确；
对于D选项，因为，，
所以在区域2上，可作2条切线，故D正确
故选：BCD.
12．答案：
解析：
故答案为：
13．答案：
解析：设，
则，，
两式相减并化简得①，
由于且直线的斜率为2，
所以，②，
由①②得，
所以，
所以.
故答案为：
14．答案：2024
解析：由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，
由,
得,
所以，，
，...，
将这n个式子左右两边分别相加可得:
所以.
所以
,
所以.
故答案为：2024.
15．答案：(1)0.96
(2)，5.16万元
解析：(1)由题意，得，
，
所以，
所以样本的相关系数约为0.96.
(2)因为，，
所以，
又，，
所以，
所以回归方程为，
当时，，
所以预测第8天的销售额为5.16万元
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：由，
得，
又，
所以是以-2为公比，1为首项的等比数列
(2)由(1)可得，
即，
当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
所以，
，
.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
由A，B，C为的内角知，，，
由正弦定理可得：，
即，
即，
所以，可得.
(2)，
由正弦定理知：，
，，
为锐角三角形，
则，
令，
，
因为，
所以，，
.
18．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)令，则，
所以在单调递减，
故，即；
(2)令，
则
由(1)知，
，
则在单调递增，
故，
即；
(3)令，
则，
由(2)知：，
所以，
则，
所以在单调递增，
故，
即.
19．答案：(1)
(2)①；②或1
解析：(1)由题意，
从而，，
所以椭圆方程为.
(2)
①由
消y得（*），
由，
得，
此时方程（*）可化为：，
解得：（由条件可知：k，m异号），
设，则，
，
即，
所以，
因为，
所以可设直线，
由
消y得，
当时，方程有两个不相等的实根，
设，，
则，，
因为A，C两点关于原点对称，所以，
所以，，
所以.
②设直线与y轴交于点Q，直线与y轴交于点N，
则，于是，
由①可知：，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，
则还需，即，
由①可知：，
所以.
又，，
所以，
由可得：，
又，
所以，即，
当时，；
当时，.
第x天
1
2
3
4
5
6
7
销售额y（万元）
1.4
1.6
2.2
2.4
3
3.9
5.1