专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析（讲义）-2025年高考数学二轮复习（新高考通用）

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\l "_Tc185584862" 01考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc185584862 \h 2
\l "_Tc185584863" 02知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc185584863 \h 3
\l "_Tc185584864" 03 知识梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc185584864 \h 4
\l "_Tc185584865" 04 真题研析·精准预测 PAGEREF _Tc185584865 \h 5
\l "_Tc185584866" 05 核心精讲·题型突破 PAGEREF _Tc185584866 \h 6
\l "_Tc185584867" 题型一：直接利用单调性 PAGEREF _Tc185584867 \h 6
\l "_Tc185584868" 题型二：引入媒介值 PAGEREF _Tc185584868 \h 7
\l "_Tc185584869" 题型三：含变量问题 PAGEREF _Tc185584869 \h 8
\l "_Tc185584870" 题型四：构造函数 PAGEREF _Tc185584870 \h 9
\l "_Tc185584871" 题型五：数形结合 PAGEREF _Tc185584871 \h 10
\l "_Tc185584872" 题型六：特殊值法、估算法 PAGEREF _Tc185584872 \h 11
\l "_Tc185584873" 题型七：放缩法 PAGEREF _Tc185584873 \h 12
\l "_Tc185584874" 题型八：同构法 PAGEREF _Tc185584874 \h 13
\l "_Tc185584875" 重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 PAGEREF _Tc185584875 \h 14
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y=ax的单调性；
②指数相同，底数不同，如x1a和x2a利用幂函数y=xa单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如lgax1和lgax2利用指数函数lgax单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+eθx(n+1)!xn+1
②sinx=x−x33!+x55!−⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!+(x2n+2)
③csx=1−x22!+x44!−x66!+⋯+(−1)nx2n(2n)!+(x2n)
④ln(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)nxn+1n+1+(xn+1)
⑤11−x=1+x+x2+⋯+xn+(xn)
⑥(1+x)n=1+nx+n(n−1)2!x2+(x2)
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x100B．f(20)>1000
C．f(10)c>bC．c>a>bD．b>c>a
1．若实数a，b，c满足a2b=a3c=6，则下列不等关系中不可能成立的是（ ）
A．cc>a
2．已知a=lg20.05，b=，c=20.05，则下列判断正确的是（ ）
A．aa
题型七：放缩法
【典例7-1】（2024·高三·四川德阳·开学考试）已知a=lg32，b=lg43，c=0.51.2，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a>b>cB．a>c>b
C．b>c>aD．b>a>c
【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知a=e119,b=1918,c=1+ln3735，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．ab>a
3．设a=tan0.21，b=ln1.21,c=2122，则下列大小关系正确的是 （ ）
A．bb>aC．b>a>cD．b>c>a
3．（多选题）已知a>0，b>0且满足ab−2b+blnab=e，则下列结论一定正确的是（ ）
A．ab>eB．abe2D．abb>cB．abD．b>c>a
【典例9-2】已知a=e0.2−1，b=ln1.2，c=16，则（ ）
A．a