2021-2022学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列关于防范“新冠肺炎”的宣传标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A． 戴口罩讲卫生B． 有症状早就医
C． 勤洗手勤通风D． 少出门少聚集
2．（3 分）下列事件是必然事件的是()
同圆中，圆周角等于圆心角的一半
投掷一枚均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次
参加社会实践活动的 367 个同学中至少有两个同学的生日是同一天
把一粒种子种在花盆中，一定会发芽
3．（3 分）抛物线 y  2(x 1)2 不经过的象限是()
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限4．（3 分）抛物线 y  (x  2)2  1可由抛物线 y  x2 平移得到，下列平移正确的是()
先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位
先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位
先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位
先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位
5．（3 分）在一只暗箱里放有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现， 摸到红球的频率稳定在 20% ，那么可以推算 a 大约是()
5
3
5
A．15B．12C．9D．4 6．（3 分）半径等于 4 的圆中，垂直平分半径的弦长为()
3
4
4
2
2
7．（3 分）若 x  1 是关于 x 的一元二次方程 ax2  bx  2  0(a  0) 的一个根，则2021  2a  2b
的值等于()
A．2015B．2017C．2019D．2022
8．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6，以顶点 A 为圆心， AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为()
A． 2B． 4C． 2 12D． 4 12
9．（3 分）在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a ，  A 的半径为 2．下列说法中不正确的是()
A．当 a  5 时，点 B 在 A 内B．当1  a  5 时，点 B 在 A 内
C．当 a  1 时，点 B 在 A 外D．当 a  5 时，点 B 在 A 外
10．（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB  90 ，将 ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△ ABC ， M 是 BC 的中点， P 是 AB 的中点，连接 PM ．若 BC  2 ，BAC  30 ，则线段 PM 的最 大值是()
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）从一副没有“大小王”的 52 张普通扑克牌中随机抽取一张，牌面上数为“5”的概率是．
12．（3 分）如图，在O 中， AC  BD ，若AOC  120 ，则BOD  ．
13．（3 分）已知圆锥的底面半径为 5cm ，它的侧面积是 35cm2 ，则这个圆锥的母线长为
cm ．
14．（3 分）已知二次函数 y  3(x  5)2 ，当 x 分别取 x ， x (x  x ) 时，函数值相等，则当
12 12
x  x1  x2 时，函数值为．
2
15．（3 分）已知(x  3)(x  2)  m  x2  x ，则一元二次方程 x2  x  m  0 的根是 ．
16．（3 分）如图，将半径为 4，圆心角为120 的扇形OAB 绕点 A 逆时针旋转60 ，点O ，B的对应点分别为O ， B ，连接 BB ，则图中阴影部分的面积是．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）
17．（4 分）解方程： x2  6x  7  0 ．
18．（4 分）如图，在ABC 中，CAB  70 ，在同一平面内，将 ABC 绕点 A 旋转到△ ABC
的位置，使得CC / / AB ，求CCA 的度数．
19．（6 分）在“双减”政策下，某学校自主开设了 A 书法、 B 篮球、C 足球、 D 器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．若小明和小刚两位同学各计划选修一门 课程，请用列表或树状图求他们两人恰好同时选修球类的概率．
20．（6 分）如图，在ABC 中， A  B  30 ．
尺规作图：在线段 AB 上找一点O ，以O 为圆心作圆，使O 经过 B 、C 两点；
在（1）中所作图中，求证： AC 与O 的相切．
21．（8 分）在ABC 中， AB  BC  4 ， ABC  90 ， M 是 AC 的中点，点 N 在边 AB 上
（不与点 A ， B 重合），将 ANM 绕点 M 逆时针旋转90 得到BPM ．问： BPN 的面积能否等于 3，请说明理由．
22．（10 分）如图， PA ， PB 与O 相切，切点为 A ， B ， CD 与O 相切于点 E ，分别交
PA ， PB 于点 D ， C ．若 PA ， PB 的长是关于 x 的一元二次方程 x2  mx  m  1  0 的两个根．
求 m 的值；
求PCD 的周长．
23．（10 分）某企业投资 100 万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利 33 万元，但使用 8 年后生产线报废该生产线投产后，从第 1 年到第 x 年
的维修、保养费用累计为 y 万元，且 y  ax2  bx ，若第 1 年的维修、保养费为 2 万元，第 2
年的为 4 万元．
求 a 的值；
小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能赢利 100 万元．你认为这个判断正确吗？请说明理由．
24．（12 分）已知， P 是直线 AB 上一动点（不与 A ， B 重合），以 P 为直角顶点作等腰直角三角形 PBD ，点 E 是直线 AD 与PBD 的外接圆除点 D 以外的另一个交点，直线 BE 与直线 PD 相交于点 F ．
如图，当点 P 在线段 AB 上运动时，若DBE  30 ， PB  2 ，求 DE 的长；
当点 P 在射线 AB 上运动时，试探求线段 AB ， PB ， PF 之间的数量关系，并给出证明．
25．（12 分）已知二次函数 y  9x2  6ax  a2  2a ．
当 a  1 时，求该二次函数的最大值；
若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数 a 的值；
若该二次函数在 1 x 1 有最大值3 ，求实数 a 的值．
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2021-2022 学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）下列关于防范“新冠肺炎”的宣传标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
．
A． 戴口罩讲卫生B． 有症状早就医C
勤洗手勤通风D． 少出门少聚集
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【解答】解： A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： B ．
【点评】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 2．（3 分）下列事件是必然事件的是()
同圆中，圆周角等于圆心角的一半
投掷一枚均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次
参加社会实践活动的 367 个同学中至少有两个同学的生日是同一天
把一粒种子种在花盆中，一定会发芽
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解： A ．同圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是必然事件；
B ．投掷一枚均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次是随机事件；
C ．参加社会实践活动的 367 个同学中至少有两个同学的生日是同一天是必然事件；
D ．把一粒种子种在花盆中，一定会发芽是随机事件； 故选： C ．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下， 一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3 分）抛物线 y  2(x 1)2 不经过的象限是()
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限
【分析】由解析式可求得其对称轴及顶点坐标，结合开口方向可求得图象所在的象限，可求 得答案．
【解答】解： y  2(x 1)2 ，
抛物线开口向上，对称轴为 x  1 ，顶点坐标为(1, 0) ，
抛物线经过第一、二象限，
不经过第三、四象限， 故选： C ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在
y  a(x  h)2  k 中，对称轴为 x  h ，顶点坐标为(h, k ) ．
4．（3 分）抛物线 y  (x  2)2  1可由抛物线 y  x2 平移得到，下列平移正确的是()
先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位
先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位
先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位
先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线 y  x2 向左平移 2 个单位可得到抛物线 y  (x  2)2 ，
抛物线 y  (x  2)2 ，再向上平移 1 个单位即可得到抛物线 y  (x  2)2  1． 故平移过程为：先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位．
故选： C ．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减， 上加下减．
5．（3 分）在一只暗箱里放有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个，
每次将球搅拌均匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，
摸到红球的频率稳定在 20% ，那么可以推算 a 大约是()
A．15B．12C．9D．4
【分析】红球的个数为 3，而摸到红球的频率稳定在 20% ，据此即可求得 a 的值．
【解答】解：根据题意，球的总个数 a 约为3  20%  15 （个) ， 故选： A ．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位
置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势 来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．（3 分）半径等于 4 的圆中，垂直平分半径的弦长为()
3
4
4
2
2
5
3
5
3
【分析】由题意和垂径定理得OC  1 OD  2 ， AC  BC ，再根据勾股定理可得 AC  2，
2
即可得出答案．
【解答】解：如图，由题意得： OA  OD  4 ，弦 AB 垂直平分半径OD ，
则OC  1 OD  2 ， AC  BC ， OCA  90 ，
2
OA2  OC2
42  22
3
根据勾股定理可得， AC  2，
3
 AB  2 AC  4，
故选： A ．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
7．（3 分）若 x  1 是关于 x 的一元二次方程 ax2  bx  2  0(a  0) 的一个根，则2021  2a  2b
的值等于()
A．2015B．2017C．2019D．2022
【分析】把 x  1 代入方程 ax2  bx  2  0(a  0) 得 a  b  2 ，再把 2021  2a  2b 变形为
2021  2(a  b) ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把 x  1 代入方程 ax2  bx  2  0(a  0) 得 a  b  2  0 ，
 a  b  2 ，
 2021  2a  2b
 2021  2(a  b)
 2021  2  2
 2021  4
 2017 ． 故选： B ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一 元二次方程的解．
8．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6，以顶点 A 为圆心， AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为()
A． 2B． 4C． 2 12D． 4 12
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：正六边形的外角和为360 ，
每一个外角的度数为360  6  60 ，
正六边形的每个内角为180  60  120 ，
正六边形的边长为 6，
图中阴影部分图形的周长为6  6  120  6  12  4，
180
故选： D ．
【点评】考查了正多边形和圆，弧长的计算，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢 记弧长计算公式，难度不大．
9．（3 分）在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a ，  A 的半径为 2．下
列说法中不正确的是()
A．当 a  5 时，点 B 在 A 内B．当1  a  5 时，点 B 在 A 内
C．当 a  1 时，点 B 在 A 外D．当 a  5 时，点 B 在 A 外
【分析】先找出与点 A 的距离为 2 的点 1 和 5，再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解．
【解答】解：由于圆心 A 在数轴上的坐标为 3，圆的半径为 2，
当 d  r 时，  A 与数轴交于两点：1、5，故当 a  1 、5 时点 B 在 A 上； 当 d  r 即当1  a  5 时，点 B 在 A 内；
当 d  r 即当 a  1 或 a  5 时，点 B 在 A 外．
由以上结论可知选项 B 、C 、 D 正确，选项 A 错误． 故选： A ．
【点评】本题考查点与圆的位置关系的判定方法．若用 d 、r 分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当 d  r 时，点在圆外；当 d  r 时，点在圆上；当 d  r 时，点在圆内．
10．（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB  90 ，将 ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△ ABC ， M 是 BC 的中点， P 是 AB 的中点，连接 PM ．若 BC  2 ，BAC  30 ，则线段 PM 的最 大值是()
A．4B．3C．2D．1
【分析】如图连接 PC ．思想求出 PC  2 ，根据 PMPC  CM ，可得 PM3 ，由此即可解决问题．
【解答】解：如图连接 PC ．
在RtABC 中，A  30 ， BC  2 ，
 AB  4 ，
根据旋转不变性可知， AB  AB  4 ，
 AP  PB ，
 PC  1 AB  2 ，
2
 CM  BM  1 ，
又 PMPC  CM ，即 PM3 ，
 PM 的最大值为 3（此时 P 、C 、 M 共线）．故选： B ．
【点评】本题考查旋转变换、解直角三角形、直角三角形 30 度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形 的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）从一副没有“大小王”的 52 张普通扑克牌中随机抽取一张，牌面上数为“5”
的概率是1．
13
【分析】因为一副扑克 52 张（没有大、小王），其中数为“5”的共 4 种情况，根据概率计算公式可以得出答案．
【解答】解：因为没有大、小王的扑克牌共有 52 张，其中数为“5”的共 4 种情况，
随机抽取一张，牌面上数为“5”的概率是 4  1 ．
5213
故答案为： 1 ．
13
【点评】此题考查的是概率的求法，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P （A）  m ．
n
12．（3 分）如图，在O 中， AC  BD ，若AOC  120 ，则BOD  120 ．
【分析】证明 AC  BD 可得结论．
【解答】解： AC  BD ，
 AC  BD ，
BOD  AOC  120 ， 故答案为：120 ．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，① 圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
13．（3 分）已知圆锥的底面半径为5cm ，它的侧面积是35cm2 ，则这个圆锥的母线长为 7
cm ．
【分析】根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设圆锥的母线的长为 x cm ，
则 1  2 5  x  35， 2
解得， x  7 ， 故答案为：7．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决 本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．（3 分）已知二次函数 y  3(x  5)2 ，当 x 分别取 x ， x (x  x ) 时，函数值相等，则当
12 12
x  x1  x2 时，函数值为 0．
2
【分析】根据题目中的函数解析式和题意，可知 x  x1  x2  5 ，从而可以得到当 x  x1  x2
22
时的函数值．
【解答】解：二次函数 y  3(x  5)2 ，
该函数图象开口向上，对称轴为直线 x  5 ，
当 x 分别取 x1 ， x2 (x1  x2 ) 时，函数值相等，
当 x  x1  x2  5 时，此时函数值为 0，
2
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确 题意，利用二次函数图象具有对称性解答．
1
15．（3 分）已知(x  3)(x  2)  m  x2  x ，则一元二次方程 x2  x  m  0 的根是 x  3 ，
x2  2 ．
【分析】由(x  3)(x  2)  m  x2  x 得 x2  x  6  m  x2  x ，据此得出 m 的值，继而代入方程 x2  x  m  0 ，进一步求解即可．
【解答】解：由(x  3)(x  2)  m  x2  x 得 x2  x  6  m  x2  x ，
 m  6 ，
 x2  x  m  0 可变形为 x2  x  6  0 ， 则(x  3)(x  2)  0 ，
 x1  3 ， x2  2 ，
故答案为： x1  3 ， x2  2 ．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法： 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3
16．（3 分）如图，将半径为 4，圆心角为120 的扇形OAB 绕点 A 逆时针旋转60 ，点O ，B
的对应点分别为O ， B ，连接 BB ，则图中阴影部分的面积是
8 8．
3
【分析】连接OO ， BO ，根据旋转的性质得到OAO  60 ，推出OAO 是等边三角形，
得 到 AOO  60 ， 推 出 △ OOB
是 等 边 三 角 形 ， 得 到
AOB  120 ， 得 到
OBB  OBB  30 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OO ， BO ，
将半径为 4，圆心角为120 的扇形OAB 绕点 A 逆时针旋转60 ，
OAO  60 ，
OAO 是等边三角形，
AOO  60 ， OO  OA ，
点O 在O 上，
 AOB  120 ，
OOB  60 ，
△ OOB 是等边三角形，
AOB  120
AOB  120 ，
BOB  120 ，
OBB  OBB  30 ，
图中阴影部分的面积为
3
3


1 60 42328
S BO B  S扇形OOB  SOO B   2  4
2
360
 4
4
  8
 ．
3
故答案为： 8

3
 8． 3
【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出 辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、）
17．（4 分）解方程： x2  6x  7  0 ．
【分析】首先把一元二次方程 x2  6x  7  0 转化成两个一元一次方程的乘积，即
(x  7)(x 1)  0 ，然后解一元一次方程即可．
【解答】解： x2  6x  7  0 ，
(x  7)(x 1)  0 ，
 x1  7 或 x2  1．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大．
18．（4 分）如图，在ABC 中，CAB  70 ，在同一平面内，将 ABC 绕点 A 旋转到△ ABC
的位置，使得CC / / AB ，求CCA 的度数．
【分析】由平行线性质可得： ACC  BAC  70 ，根据旋转性质得 AC  AC ，根据等腰三角形性质，求得结果．
【解答】解： CC / / AB ，
ACC  BAC  70 ，
ABC 绕点 A 旋转到△ ABC 的位置，
 AC  AC ，
CCA  ACC  70 ，
【点评】本题考查了旋转性质，平行线性质，等腰三角形性质等知识，解决问题的关键是掌 握相关的基础知识．
19．（6 分）在“双减”政策下，某学校自主开设了 A 书法、 B 篮球、C 足球、 D 器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．若小明和小刚两位同学各计划选修一门 课程，请用列表或树状图求他们两人恰好同时选修球类的概率．
【分析】画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出小明和小刚两人恰好选球类的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如图：
共有 16 个等可能的结果数，其中两人恰好同时选修球类的有 4 种，
则两人恰好同时选修球类的概率是 4  1 ．
164
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结 果 n ，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m ，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
20．（6 分）如图，在ABC 中， A  B  30 ．
尺规作图：在线段 AB 上找一点O ，以O 为圆心作圆，使O 经过 B 、C 两点；
在（1）中所作图中，求证： AC 与O 的相切．
【分析】（1）作线段 BC 的垂直平分线 MN ，交 AB 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作O
即可．
（2）欲证明 AC 是O 的切线，只要证明ACO  90 即可．
【解答】解：（1）如图， O 即为所作．
（2）证明：连接OC
ABC 中， A  B  30
ACB  120
由（1）可知， OC  OB
OCB  B  30
ACO  90
 AC 是O 的相切．
【点评】本题考查作图 复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8 分）在ABC 中， AB  BC  4 ， ABC  90 ， M 是 AC 的中点，点 N 在边 AB 上
（不与点 A ， B 重合），将 ANM 绕点 M 逆时针旋转90 得到BPM ．问： BPN 的面积能否等于 3，请说明理由．
【分析】旋转可知， AN  BP ． 设 BP  AN  x ， 则 BN  4  x ， 则 BPN 的面积为
1 (x  2)2  2 ，当 x  2 时， BPN 的最大面积等于 2，因此BPN 的面积不能等于 3．
2
【解答】解：如图，
由旋转可知， AN  BP ．
设 BP  AN  x ，则 BN  4  x ，
 SBPN
 1 BP  BN  1 x  (4  x)   1 x2  2x   1 (x  2)2  2 ，
2222
当 x  2 时， BPN 的最大面积等于 2，
BPN 的面积不能等于 3．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质、二次函数最值求法，正确 得出函数关系式是解题关键．
22．（10 分）如图， PA ， PB 与O 相切，切点为 A ， B ， CD 与O 相切于点 E ，分别交
PA ， PB 于点 D ， C ．若 PA ， PB 的长是关于 x 的一元二次方程 x2  mx  m  1  0 的两个根．
求 m 的值；
求PCD 的周长．
【分析】（1）根据切线的性质得到 PA  PB ，得到方程 x2  mx  m  1  0 有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式列式计算即可；
（2）根据切线长定理得到 DA  DE ， CE  CB ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1） PA ， PB 与O 相切，
 PA  PB ，
 PA ， PB 的长是关于 x 的一元二次方程 x2  mx  m  1  0 的两个根，
方程 x2  mx  m  1  0 有两个相等的实数根，
(m)2  4 1 (m 1)  0 ， 整理得： m2  4m  4  0 ， 解得： m1  m2  2 ，
则 m 的值为 2；
（2）当 m  2 时，原方程为 x2  2x  1  0 ， 解得： x1  x2  1 ，即 PA  PB  1 ，
 PA ， PB 与O 相切， CD 与O 相切，
 DA  DE ， CE  CB ，
PCD 的周长 PD  DE  PC  EC  PD  DA  PC  CB  PA  PB  2 ．
【点评】本题考查的是切线的性质、一元二次方程根的判别式，掌握切线长定理是解题的关 键．
23．（10 分）某企业投资 100 万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利 33 万元，但使用 8 年后生产线报废该生产线投产后，从第 1 年到第 x 年
的维修、保养费用累计为 y 万元，且 y  ax2  bx ，若第 1 年的维修、保养费为 2 万元，第 2
年的为 4 万元．
求 a 的值；
小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能赢利 100 万元．你认为这个判断正确吗？请说明理由．
【分析】（1）根据条件解方程组易得解析式；
（2）列出利润的表达式，分别代入 x  4 ， x  8 即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意， x  1 时， y  2 ，
x  2 时， y  2  4  6 ，分别代入 y  ax2  bx ，
4a  2b  6
得a  b  2，

b  1
解得： a  1 ，

 y  x2  x ；
（2）设 g  33x 100  x2  x ，
则 g  x2  32x 100  (x 16)2  156 ， 由于当1x16 时， g 随 x 的增大而增大，
故当 x  3 时， g  (x 16)2  156  13  0 ，
当 x  4 时， g  (x 16)2  156  (4 16)2  156  12  0 ，即第 4 年可收回投资；
当 x  8 时， g  (x 16)2  156  (8 16)2  156  92  100 ，即报废前不能赢利 100 万元．
小敏同学判断错误．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解此类题的关键是根据题意确定出二 次函数的解析式，实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时．
24．（12 分）已知， P 是直线 AB 上一动点（不与 A ， B 重合），以 P 为直角顶点作等腰直角三角形 PBD ，点 E 是直线 AD 与PBD 的外接圆除点 D 以外的另一个交点，直线 BE 与直线 PD 相交于点 F ．
如图，当点 P 在线段 AB 上运动时，若DBE  30 ， PB  2 ，求 DE 的长；
当点 P 在射线 AB 上运动时，试探求线段 AB ， PB ， PF 之间的数量关系，并给出证明．
DP2  BP2
2
【分析】（1）连接 EP ，首先利用勾股定理得 DB  2，再利用含30 角的
直角三角形的性质解决问题；
（2）分点 P 在线段 AB 上或点 P 在线段 AB 的延长线上两种情形，当点 P 在线段 AB 上时， 利用 ASA 证明APD  FPB ，得 AP  FP ；点 P 在线段 AB 的延长线上时，同理利用 ASA 证明APD  FPB ， AP  FP ，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接 EP ，
PBD 是等腰直角三角形， O 是PBD 的外接圆，
DPB  DEB  90 ，
2
 PB  2 ，
DP2  BP2
 DB 
DBE  30 ，
 2，
2
 DE  1 DB ，
2
（2）当点 P 在线段 AB 上时， 由（1）知ADP  FBP ，
PBD 是等腰直角三角形，
DPB  APD  90 ， DP  BP ， 在APD 与FPB 中，
ADP  FBP

DP  BP，

DPB  APD
APD  FPB(ASA) ，
 AP  FP ，
 AP  PB  AB ，
 FP  PB  AB ，
 FP  AB  PB ；
点 P 在线段 AB 的延长线上时，如图，
PBD 是等腰直角三角形，
DPB  APF  90 ， DP  BP ，
PBF  EBP  180 ， PDA  EBP  180 ，
PBF  PDA ， 在APD 与FPB 中，
DPB  APF

DP  BP，

PBF  PDA
APD  FPB(ASA) ，
 AP  FP ，
 AB  PB  AP ，
 AB  PB  PF ，
 PF  AB  PB ，
综上所述， 当点 P 在线段 AB 上时， FP  AB  PB ； 当点 P 在线段 AB 延长线上时，
PF  AB  PB ．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，含30 角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明APD  FPB 是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
25．（12 分）已知二次函数 y  9x2  6ax  a2  2a ．
当 a  1 时，求该二次函数的最大值；
若该二次函数图象与坐标轴有两个交点，求实数 a 的值；
若该二次函数在 1 x 1 有最大值3 ，求实数 a 的值．
33
【分析】（1）将 a  1 代入 y  9x2  6ax  a2  2a ，然后将解析式化为顶点式求解．
分类讨论△  0 且抛物线不经过原点和△  0 且抛物线经过原点两种情况．
先将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线开口向下，顶点坐标为( a ， 2a) ，然后
3
分类讨论 1   a  1 ，  a   1 及 1   a 三种情况求解．
3333333
【解答】解：（1） a  1 时， y  9x2  6x  1  (3x  1)2  2  9(x  1)2  2 ，
3
 x   1 时， y  2 为函数最大值．
3
（2）二次函数图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点落在 x 轴上，或抛物线经过原点，
①抛物线顶点在 x 轴上时，令9x2  6ax  a2  2a  0 ，
△  (6a)2  4  (9)(a2  2a)  72a ，
 72a  0 ， 解得 a  0 ，
当 a  0 时， a2  2a  0 ，抛物线经过原点，不满足题意．
②抛物线经过原点时， a2  2a  0 ， 解得 a  0 （舍) 或 a  2 ，
a  2 时， 72a  144  0 ，满足题意． 综上所述， a  2 ．
（3） y  9x2  6ax  a2  2a  9(x  a )2  2a ，
3
抛物线开口向下，顶点坐标为( a ， 2a) ，
3
①当 1   a  1 时， 1a1，
333
y  2a 为函数最大值，
 2a  3 ，
解得 a   3 ，不符合题意．
2
②当 a   1 时，即 a  1，
33
1 x 1 时， y 随 x 增大而减小，
33
 x   1 时， y 取最大值，
3
即9  1  2a  a2  2a  3 ，
9
6
6
解得 a  2 或 a  2 （舍) ．
③当 1   a 时，即 a  1 ，
33
1 x 1 时， y 随 x 增大而增大，
33
 x  1 时， y 取最大值，
3
即9  1  2a  a2  2a  3 ，
9
2
2
解得 a  或 a （舍) ．
6
2
综上所述， a  2 或 a  ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程 及不等式的关系，通过分类讨论求解．