2022-2023学年广东省广州113中九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州113中九年级（上）期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是()
购买 1 张体育彩票中奖
从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标
汽车累积行驶10000km ，从未出现故障
从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
2．（3 分）用配方法解方程 x2  2x  1  0 时，配方结果正确的是()
A． (x  2)2  2
B． (x  1)2  2
C． (x  2)2  3
D． (x 1)2  3
3．（3 分）下列二次函数中，其图象的对称轴为 x  2 的是()
A． y  2x2  2
B． y  2x2  2
C． y  2(x  2)2
D． y  (x  2)2
4．（3 分）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
5．（3 分）如图，正方形 ABOC 的边长为 2，反比例函数 y  k 的图象过点 A ，则 k 的值是(
x
)
A．2B． 2C．4D． 4
6．（3 分）如图， PA 、PB 、分别切O 于 A 、B 两点，P  40 ，则C 的度数为()
A． 40B．140C． 70D． 80
7．（3 分）将抛物线 y  2(x  4)2 1先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为()
A． y  2x2 1
B． y  2x2  3
C． y  2(x  8)2  1
D． y  2(x  8)2  3
8．（3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABCD 的位置，若旋转角为20 ，则1 为()
2
2
2
A．110B．120C．150D．160 9．（3 分）一个圆的半径为 4，则该圆的内接正方形的边长为()
2
2
3
4
5
10．（3 分）如图， O 的半径为 2，点C 是圆上的一个动点， CA  x 轴， CB  y 轴，垂足分别为 A 、B ， D 是 AB 的中点，如果点C 在圆上运动一周，那么点 D 运动过的路程长为(
)
A． B． C．D． 2
42
二、填空题（本大题共 6 题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）已知点 P(2, 3) 与点Q(a,b) 关于原点对称，则 a  b  ．
12．（3 分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率约为 0.25，估计袋中白球有个．
13．（3 分）如图所示，正比例函数 y  k x 与反比例函数 y  k2 的图象有一个交点(2, 1) ，
1x
则这两个函数图象的另一个交点坐标是．
14．（3 分）已知扇形的圆心角为120 ，它所对弧长为 20cm ，则扇形的半径为 ．
15．（3 分）若关于 x 的函数 y  kx2  2x 1与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为 ．
16．（3 分）如图是抛物线 y1  ax  bx  c(a  0) 图象的一部分，抛物线的顶点坐标为 A(1, 3)
2
与 x 轴的一个交点为 B(4, 0) ，点 A 和点 B 均在直线上 y2  mx  n(m  0) 上．
① 2a  b  0 ；
②抛物线与轴的另一个交点为(4, 0) ；
③方程 ax2  bx  c  3 有两个不相等的实数根；
④ a  b  c  4m  n ；
⑤不等式 mx  n  ax 2  bx  c 的解集为1  x  4 ．
上述五个结论中，其中正确的结论是填写序号即可．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）
17．（4 分）解方程： x2  6x  5  0 （两种方法）．
18．（4 分）如图， AB 是O 的直径，弦CD  AB 于点 E ，OC  10cm ，CD  16cm ，求 AE
的长．
19．（6 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， AOB 的三个顶点均在格点上．
画出AOB 绕点O 顺时针旋转90 后得到的△ A1OB1 ；
求线段OA 旋转到OA1 所扫过的图形面积（结果保留) ．
20．（6 分）已知二次函数 y  ax2  bx 的图象过点(2, 0) ， (1, 6) ．
求二次函数的关系式；
写出它与 x 轴的两个交点及顶点坐标．
21．（8 分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其
中红球有 1 个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 2 ．
3
求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球 的概率．（请结合树状图或列表解答）
22．（10 分）某商场一月份的销售额为 125 万元，二月份的销售额下降了 20% ，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了 144 万元．
求二月份的销售额；
求三、四月份销售额的平均增长率．
23 ．（ 10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 一次函数 y  x  b 的图象与反比例函数
y  k (x  0) 的图象交于点 A(1, 6) ，与 x 轴交于点 B ．点C 是线段 AB 上一点，且OCB 与
x
OAB 的面积比为1: 2 ．
求 k 和b 的值；
将OBC 绕点O 逆时针旋转90 ，得到△ OBC ，判断点C 是否落在函数 y  k (k  0)
x
的图象上，并说明理由．
24．（12 分）如图，在ABC 中， AB  AC ， BAC 与ABC 的角平分线相交于点 E ， AE
的延长线交ABC 的外接圆于点 D ，连接 BD ．
求证： BAD  DBC ；
证明：点 B 、 E 、C 在以点 D 为圆心的同一个圆上；
若 AB  5 ， BC  8 ，求ABC 内心与外心之间的距离．
A(0, )
25．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y  ax2  bx  c 的开口向上，且经过点3 ．
2
求c 的值；
若此抛物线经过点 B(2,  1 ) ，且与 x 轴相交于点 E(x ， 0) ， F (x ， 0) ．
212
①求b 的值（用含 a 的代数式表示）；
②当 EF 2 的值最小时，求抛物线的解析式；
若 a  1 ，当0x1 ，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 3 时，求b 的值．
2
2022-2023 学年广东省广州 113 中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是()
购买 1 张体育彩票中奖
从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标
汽车累积行驶10000km ，从未出现故障
从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【解答】解： A ．购买 1 张体育彩票中奖，这是随机事件，故 A 不符合题意； B ．从地面发射 1 枚导弹，未击中空中目标，这是随机事件，故 B 不符合题意； C ．汽车累积行驶10000km ，从未出现故障，这是随机事件，故C 不符合题意；
D ．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，这是不可能事件，故 D 符合题意；
【解答】解： A ． y  2x2  2 的对称轴为 x  0 ，不符合题意；
B ． y  2x2  2 的对称轴为 x  0 ，不符合题意； C ． y  2(x  2)2 的对称轴为 x  2 ，不符合题意； D ． y  (x  2)2 的对称轴为 x  2 ，符合题意．
故选： D ．
故选： D ．
2．（3 分）用配方法解方程 x2  2x  1  0 时，配方结果正确的是(
)
A． (x  2)2  2B． (x  1)2  2C． (x  2)2  3
D． (x 1)2  3
【解答】解： x2  2x  1  0 ，
 x2  2x  1  2 ，
(x  1)2  2 ．
故选： B ．
3．（3 分）下列二次函数中，其图象的对称轴为 x  2 的是(
)
A． y  2x2  2B． y  2x2  2C． y  2(x  2)2
D． y  (x  2)2
4．（3 分）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选：B．
5．（3 分）如图，正方形 ABOC 的边长为 2，反比例函数 y  k 的图象过点 A ，则 k 的值是(
x
)
A．2B． 2C．4D． 4
【解答】解：因为图象在第二象限， 所以 k  0 ，
根据反比例函数系数 k 的几何意义可知| k | 2  2  4 ，
所以 k  4 ． 故选： D ．
6．（3 分）如图， PA 、PB 、分别切O 于 A 、B 两点，P  40 ，则C 的度数为()
A． 40B．140C． 70D． 80
【解答】解： PA 是圆的切线．
OAP  90 ， 同理OBP  90 ，
根据四边形内角和定理可得：
AOB  360  OAP  OBP  P  360  90  90  40  140 ，
ACB  1 AOB  70 ．
2
故选： C ．
7．（3 分）将抛物线 y  2(x  4)2 1先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为()
A． y  2x2 1
B． y  2x2  3
C． y  2(x  8)2  1
D． y  2(x  8)2  3
【解答】解：抛物线 y  2(x  4)2 1 先向左平移 4 个单位长度，得到的抛物线解析式为
y  2(x  4  4)2 1 ， 即 y  2x2 1 ， 再向上平移 2 个单位长度得到的抛物线解析式为
y  2x2 1  2 ，即 y  2x2 1；
故选： A ．
8．（3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABCD 的位置，若旋转角为20 ，则1 为()
A．110B．120C．150D．160
【解答】解：设CD 与 BC 交于点 E ，如图所示．
旋转角为 20 ，
DAD  20 ，
BAD  90  DAD  70 ．
BAD  B  BED  D  360 ，
BED  360  70  90  90  110 ，
1  BED  110 ． 故选： A ．
9．（3 分）一个圆的半径为 4，则该圆的内接正方形的边长为()
2
2
3
4
5
2
2
2
【解答】解：如图所示： O 的半径为 4，
四边形 ABCD 是正方形， B  90 ，
 AC 是O 的直径，
 AC  2  4  8 ，
 AB2  BC 2  AC 2 ， AB  BC ，
 AB2  BC 2  64 ，
2
解得： AB  4，
2
即O 的内接正方形的边长等于 4．
故选： C ．
10．（3 分）如图， O 的半径为 2，点C 是圆上的一个动点， CA  x 轴， CB  y 轴，垂足分别为 A 、B ， D 是 AB 的中点，如果点C 在圆上运动一周，那么点 D 运动过的路程长为(
)
A． B． C．D． 2
42
【解答】解：如图，连接OC ，
 CA  x 轴， CB  y 轴，
四边形OACB 是矩形，
 D 为 AB 中点，
点 D 在 AC 上，且OD  1 OC ，
2
O 的半径为 2，
如果点C 在圆上运动一周，那么点 D 运动轨迹是一个半径为 1 圆，
点 D 运动过的路程长为 21  2， 故选： D ．
二、填空题（本大题共 6 题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（3 分）已知点 P(2, 3) 与点Q(a,b) 关于原点对称，则 a  b  1．
【解答】解：由点 P(2, 3) 与点Q(a,b) 关于原点对称，得
a  2 ， b  3 ，
则 a  b  2  3  1 ， 故答案为：1．
12．（3 分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸
球试验后，发现摸到红球的频率约为 0.25，估计袋中白球有 15个．
【解答】解：设袋中白球有 x 个，
5
5  x
 0.25 ，
解得 x  15 ， 故答案为：15．
13．（3 分）如图所示，正比例函数 y  k x 与反比例函数 y  k2 的图象有一个交点(2, 1) ，
1x
则这两个函数图象的另一个交点坐标是(2,1) ．
【解答】解：由图象可知：直线 y  k x 经过原点与双曲线 y  k2 相交于两点，
1x
又由于双曲线 y  k2 与直线 y  mx 均关于原点对称．
x
则两点关于原点对称，一个交点的坐标为(2, 1) ， 则另一个交点的坐标为(2,1) ．
故答案为： (2,1) ．
14．（3 分）已知扇形的圆心角为120 ，它所对弧长为 20cm ，则扇形的半径为 30cm ．
【解答】解：根据题意得
120  r  20，
180
r  30cm ，
故答案为30cm ．
15．（3 分）若关于 x 的函数 y  kx2  2x 1与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为 0 或
1 ．
【解答】解：令 y  0 ，则 kx2  2x  1  0 ．
关于 x 的函数 y  kx2  2x 1与 x 轴仅有一个公共点，
关于 x 的方程 kx2  2x  1  0 只有一个根．
①当 k  0 时， 2x  1  0 ，即 x  1 ，原方程只有一个根， k  0 符合题意；
2
②当 k  0 时，△  4  4k  0 ， 解得， k  1 ．
综上所述， k  0 或1 ． 故答案为：0 或1 ．
16．（3 分）如图是抛物线 y1  ax  bx  c(a  0) 图象的一部分，抛物线的顶点坐标为 A(1, 3)
2
与 x 轴的一个交点为 B(4, 0) ，点 A 和点 B 均在直线上 y2  mx  n(m  0) 上．
① 2a  b  0 ；
②抛物线与轴的另一个交点为(4, 0) ；
③方程 ax2  bx  c  3 有两个不相等的实数根；
④ a  b  c  4m  n ；
⑤不等式 mx  n  ax 2  bx  c 的解集为1  x  4 ．
上述五个结论中，其中正确的结论是 ①④⑤ 填写序号即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x   b
2a
 1，
b  2a ，即 2a  b  0 ，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线 x  1 ，抛物线与 x 轴的一个交点为 B(4, 0) ，
抛物线与 x 轴的另一个交点为(2, 0) ，所以②错误；
抛物线的顶点坐标为(1, 3) ，
抛物线与直线 y  3 只有一个交点，
方程 ax2  bx  c  3 有两个相等的实数根，所以③错误；
 x  1时， y  0 ，
 a  b  c  0 ，
直线 y2  mx  n(m  0) 经过点 B(4, 0) ，
 4m  n  0 ，
 a  b  c  4m  n ，所以④正确；
当1  x  4 时，直线在抛物线的上方，
等式 mx  n  ax 2  bx  c 的解集为1  x  4 ．所以⑤正确． 故答案为：①④⑤．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分）
17．（4 分）解方程： x2  6x  5  0 （两种方法）．
【解答】解：方法一： (x  5)(x 1)  0 ，
x  5  或 x  1  0 ， 所以 x1  5 ， x2  1 ；
方法二： x2  6x  5 ，
x2  6x  9  4 ，
(x  3)2  4 ，
x  3  2 ，
所以 x1  5 ， x2  1 ．
18．（4 分）如图， AB 是O 的直径，弦CD  AB 于点 E ，OC  10cm ，CD  16cm ，求 AE
的长．
【解答】解：弦CD  AB 于点 E ， CD  16cm ，
CE  1 CD  8cm ．
2
在RtOCE 中， OC  10cm ， CE  8cm ，
OC 2  CE 2
102  82
OE  6(cm) ，
 AE  AO  OE  10  6  16(cm) ．
19．（6 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， AOB 的三个顶点均在格点上．
画出AOB 绕点O 顺时针旋转90 后得到的△ A1OB1 ；
求线段OA 旋转到OA1 所扫过的图形面积（结果保留) ．
【解答】解：（1）如图所示：△ A1OB1 即为所求；
（2）线段OA 旋转到OA1 所扫过的图形面积为：
90 ( 13)2
360
 13 ． 4
20．（6 分）已知二次函数 y  ax2  bx 的图象过点(2, 0) ， (1, 6) ．
求二次函数的关系式；
写出它与 x 轴的两个交点及顶点坐标．
a ? b  6
【解答】解：（1）把点(2, 0) ， (1, 6) 代入二次函数 y  ax2  bx ，得4a  2b  0 ，

b  4
解得a  2 ，

因此二次函数的解析式为 y  2x2  4x ；
（2） y  2x2  4x  2x(x  2) ，
该抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是(0, 0) ， (2, 0) ．
 y  2x2  4x  2(x 1)2  2 ，
二次函数 y  2x2  4x 的顶点坐标(1, 2) ．
21．（8 分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有 1 个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 2 ．
3
求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球 的概率．（请结合树状图或列表解答）
【解答】解：（1）设袋子中白球有 x 个，
根据题意得： x 2 ，
x  13
解得： x  2 ，
经检验， x  2 是原分式方程的解，
袋子中白球有 2 个；
（2）画树状图得：
共有 9 种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有 5 种情况，
5
两次都摸到相同颜色的小球的概率为： ．
9
22．（10 分）某商场一月份的销售额为 125 万元，二月份的销售额下降了 20% ，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了 144 万元．
求二月份的销售额；
求三、四月份销售额的平均增长率．
【解答】解：（1）125  (1  20%)  125  80%  100 （万元）．答：二月份的销售额为 100 万元．
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为 x ，
依题意得：100(1  x)2  144 ，
解得： x1  0.2  20% ， x2  2.2 （不合题意，舍去）．答：三、四月份销售额的平均增长率为 20% ．
23 ．（ 10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 一次函数 y  x  b 的图象与反比例函数
y  k (x  0) 的图象交于点 A(1, 6) ，与 x 轴交于点 B ．点C 是线段 AB 上一点，且OCB 与
x
OAB 的面积比为1: 2 ．
求 k 和b 的值；
将OBC 绕点O 逆时针旋转90 ，得到△ OBC ，判断点C 是否落在函数 y  k (k  0)
x
的图象上，并说明理由．
【解答】解：（1）将 A(1, 6) 代入 y  x  b ，得， 6  1  b ，
b  5 ，
将 A(1, 6) 代入 y  k ，
x
得， 6  k ，
1
解得， k  6 ，
故所求 k 和b 的值分别为6 ，5；
（2）点C 是落在函数 y   6 的图象上．理由如下：
x
 y  x  5 ，
 y  0 时，  x  5  0 ，解得 x  5 ，
 B(5, 0) ．
OCB 与OAB 的面积比为1: 2 ，
 C 为 AB 中点，
 A(1, 6) ， B(5, 0) ，
C(2, 3) ．
如图，过点C 作CD  x 轴，垂足为 D ，过点C 作CE  x 轴，垂足为 E ．
将OBC 绕点O 逆时针旋转90 ，得到△ OBC ，
OC  OC ， OB  OB  5 ， COC  90 ．
COE  OCD  90  COD ． 在△ COE 与OCD 中，
COE  OCD

CEO  ODC ，

OC  OC
△ COE  OCD(AAS ) ，
OE  CD  3 ， CE  OD  2 ，
C 在第二象限，
C(3, 2) ，
点C 是落在函数 y   6 的图象上．
x
24．（12 分）如图，在ABC 中， AB  AC ， BAC 与ABC 的角平分线相交于点 E ， AE
的延长线交ABC 的外接圆于点 D ，连接 BD ．
求证： BAD  DBC ；
证明：点 B 、 E 、C 在以点 D 为圆心的同一个圆上；
若 AB  5 ， BC  8 ，求ABC 内心与外心之间的距离．
【解答】（1）证明： AD 平分BAC ，
1  2 ，
又2  DBC ，
BAD  DBC ；
证明： AB  AC ， AD 平分BAC ，
 BD  CD ，连接CD ，
 BD  CD ，
 BE 平分ABE ，
3  4 ，
BED  1  3 ， DBE  4  DBC ，
DBE  BEO ，
 BD  DE ，
 BD  DE  DC ，
点 B 、 E 、C 在以点 D 为圆心的同一个圆上；
解：连接OB ，设 AD 与 BC 交于 H 点，
 AB  AC ， DB  DC ，
 AD  BC ，
 BH  1 BC  4 ，
2
在RtABH 中， AH  3 ，
在RtBHO 中，设 BO  x ， OH  x  3 ， 则 BO2  BH 2  OH 2 ，
即 x2  16  (x  3)2 ，
解得： x  25 ，
6
即 BO  25 ，
6
 AD  25 ，
3
 AD 为直径，
ABD  90 ， 在RtABD 中，
AD2  AB2
BD 
 DE  20 ，
3
 20 ，
( 25)2  52
3
3
OE  20  25  5 ，
362
 E 为ABC 角平分线的交点，
 E 为内心，
OE 为ABC 内心与外心之间的距离，
ABC 内心与外心之间的距离为 5 ．
2
25．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y  ax2  bx  c 的开口向上，且经过点3 ．
A(0, )
2
求c 的值；
若此抛物线经过点 B(2,  1 ) ，且与 x 轴相交于点 E(x ， 0) ， F (x ， 0) ．
212
①求b 的值（用含 a 的代数式表示）；
②当 EF 2 的值最小时，求抛物线的解析式；
若 a  1 ，当0x1 ，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 3 时，求b 的值．
2
【解答】解：（1）将点 A 的坐标代入抛物线表达式得： c  3 ；
2
（2）解：① c  3 ，
2
抛物线经过点 B(2,  1 ) ，
2
 1  4a  2b  3 ，
22
b  2a  1 ；
②由①可得抛物线解析式为 y  ax2  (2a  1)x  3 ，
2
令 y  0 可得 ax2  (2a  1)x  3  0 ，
2
△  (2a  1)2  4a  3  4a2  2a  1  4(a  1 )2  3  0 ，
244
方程有两个不相等的实数根，设为 x1 、 x2 ，
 x  x
 2a  1 ， x x
 3 ，
12a1 22a
222
4a2  2a  112
EF  (x1  x2 )
 (x1  x2 )
 4x1 x2 a2
 ( 1)
a
 3 ，
当 a  1时， EF 2 有最小值．
抛物线解析式为 y  x2  3x  3 ；
2
（3）当 a  1 时，抛物线解析式为 y  1 x2  bx  3 ，
222
抛物线对称轴为 x  b ，
只有当 x  0 、 x  1 或 x  b 时，抛物线上的点才有可能离 x 轴最远，
当 x  0 时 ，
y  3 ， 当
2
x  1 时 ，
y  1  b  3  2  b
22
， 当 x  b 时 ，
y  1 (b)2  b(b)  3   1 b2  3 ，
2222
①当| 2  b | 3 时， b  1 或b  5 ，且顶点不在范围内，满足条件；
②当|  1 b2  3 | 3 时， b  3 ，对称轴为直线 x  3 ，不在范围内，故不符合题意，
22
综上可知b 的值为 1 或5 ．