2022-2023学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A． B． C． D． 2．（3 分）下列事件中，必然事件是()
A．掷一枚硬币，正面朝上B． a 是实数， | a |0
C．购买一张彩票，中奖D．打开电视，正在播放广告
3．（3 分）在直角坐标系中，如果O 是以原点O(0, 0) 为圆心，以 10 为半径的圆，那么点
A(8, 6) 的位置()
A．在O 内B．在O 外C．在O 上D．不能确定4．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2  mx  1  0 的根的情况是()
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
5．（3 分）由二次函数 y  2(x  3)2  1 ，可知()
A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线 x  3
C．其最小值为 1D．当 x  3 时， y 随 x 的增大而增大
6．（3 分）如图，已知O 的弦 AB  8 ，以 AB 为一边作正方形 ABCD ， CD 边与O 相切，切点为 E ，则O 的半径为()
A．4B．3C．6D．5
7．（3 分）如图，将 ABC 绕点C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E ，点 A 的对应点为点 D ，当点 E 恰好落在边 AC 上时，连接 AD ，若ACB  30 ，则DAC 的度数是()
A． 60B． 65C． 70D． 75
8．（3 分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有 225 人感染，若设 1 人平均感染 x 人，依题意可列方程()
A．1  x  225
B．1  x2  225
C．1  x  x2  225
D． (1  x)2  225
9．（3 分）如图，由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的，过点 A1 的线段分别与 BC1 ，
BE 交于点 M ， N ，则 1  1  ()
MBNB
5
A． 5  1B．
2
C． 2 2
D．1
10．（3 分）二次函数 y  ax2  bx  c(a  0) 的部分图象如图所示，图象过点(1, 0) ，对称轴
1
为直线 x  2 ，下列结论：（1）4a  b  0 ；（2）9a  c  3b ；（3）b2  4ac  0 ；（4）若点 A(3, y ) 、
点 B( 1 ， y ) 、点C(7, y ) 在该函数图象上，则 y  y
 y ；（5）若方程 a(x  1)(x  5)  3
223
123
的两根为 x1 和 x2 ，且 x1  x2 ，则 x1  1  5  x2 ．其中正确的结论有()
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
二、填空题（每小题 3 分，共 6 小题，满分 18 分）
11．（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 P(3, 5) 与点Q(3, m  2) 关于原点对称，则 m  ．
12．（3 分）将抛物线 y  (x  1)2 向右平移 2 个单位，得到新抛物线的表达式是 ．
13．（3 分）设 x 、 x 是方程 x2  4x  m  0 的两个根，且 x  x  x x
 1 ．则 m ．
12121 2
14．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(3, 6) ，B(9, 3) ，以原点O 为位似中心，
1
相似比为
，把ABO 缩小，则点 A 的对应点 A 的坐标是．
3
15．（3 分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r  2cm ，圆锥的母线长为6cm ，则侧面展开图的圆心角的度数为
16．（3 分）如图， RtABC 中， ACB  90 ， AC  BC  4 ， D 为线段 AC 上一动点，连接 BD ，过点C 作CH  BD 于 H ，连接 AH ，则 AH 的最小值为．
三、填空题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4 分）解方程： x2  2x  15  0 ．
18．（4 分）已知 AB / /CD ， AD 与 BC 相交于点 P ， AB  4 ， CD  7 ， AD  10 ．求 AP 的长．
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将CAB 绕点O 顺时针旋转90 得到△ C AB ，点 A 旋转后的对应点为 A ，点 B 旋转后的对应点为 B ，点C 旋转后的对应点为C  ，
画出旋转后的△ CAB ，并写出点 A 的坐标；
求点 B 经过的路径 BB 的长（结果保留) ．
20．（6 分）如图，抛物线 y1 的顶点坐标为(1, 4) ，与 x 轴交于点 A(3, 0) ，与 y 轴交于点 B ．直线 AB 的解析式为 y2  kx  b(k  0) ．
求抛物线 y1 的解析式；
当 y1  y2 时， x 的取值范围是；
当 x 的取值范围是时， y1 和 y2 都随着 x 的增大而减小；
当0x3 时， y1 的取值范围是；
当 y1  0 时， x 的取值范围是．
21．（8 分）“2022 卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计， 绘制了下面两幅统计图．根据图中信息回答下列问题：
接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中 m 的值为；
若该中学共有学生 1500 人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为人；
若从足球运动达到“非常了解”程度的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人解说一场
足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率．
22．（10 分）如图，有长为12m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为5m) 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 xm ，面积为 Sm2 ．
求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围；
要围成面积为9m2 的花圃， AB 的长是多少米？
当 AB 的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
23．（10 分）如图，四边形 ABCD 中， A  B  90 ，以CD 为直径的O 与边 AB 相切于点 E ．
求作O ，并标出点 E （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
连接CE ，求证： CE 平分BCD ；
若 BC  5 ， AB  6 ，求CD 的长．
24．（12 分）已知抛物线 y  ax2  2ax  3a(a 为常数， a  0) ．
请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含 a 的代数式表示）；
如图 1，当 a  1 时，若点 P 是直线 AC 上方抛物线上的一个动点，求点 P 到直线 AC
距离的最大值；
如图 2，当 a  1 时，设该抛物线与 x 轴分别交于 A 、 B 两点，点 A 在点 B 的左侧， 与 y 轴交于点C ．点 D 是直线 AC 上方抛物线上的一个动点， BD 交 AC 于点 E ，设点 E 的
横坐标为 n ，记 S  SADE ，当 n 为何值时， S 取得最大值？并求出 S 的最大值．
SABE
25．（12 分）已知： O 是ABC 的外接圆，且 AB  BC ， ABC  60 ， D 为O 上一动点．
如图 1，若点 D 是 AB 的中点，求DBA 的度数．
过点 B 作直线 AD 的垂线，垂足为点 E ．
①如图 2，若点 D 在 AB 上，求证： CD  DE  AE ．
②若点 D 在 AC 上，当它从点 A 向点C 运动且满足CD  DE  AE 时，求ABD 的最大值
．
2022-2023 学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共 10 小题，满分 30 分）
1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A． B． C． D．
【解答】解： A 、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B 、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C 、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； D 、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
【解答】解： A ， C ， D 选项中，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意； 是必然事件的是： a 是实数， | a |0 ，符合题意．
故选： B ．
3．（3 分）在直角坐标系中，如果O 是以原点O(0, 0) 为圆心，以 10 为半径的圆，那么点
A(8, 6) 的位置( )
A．在O 内B．在O 外C．在O 上D．不能确定
【解答】解：点 A(8, 6) ，
62  82
 AO  10 ，
点 A 在O 上， 故选： C ．
4．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2  mx  1  0 的根的情况是()
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
故选： B ．
2．（3 分）下列事件中，必然事件是(
A．掷一枚硬币，正面朝上
)
B． a 是实数， | a |0
C．购买一张彩票，中奖
D．打开电视，正在播放广告
【解答】解：△  (m)2  4 1 (1)
 m2  4
 m20 ，
△  m2  4  0 ．
关于 x 的一元二次方程 x2  mx  1  0 有两个不相等的实数根． 故选： A ．
5．（3 分）由二次函数 y  2(x  3)2  1 ，可知()
A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线 x  3
C．其最小值为 1D．当 x  3 时， y 随 x 的增大而增大
【解答】解：由二次函数 y  2(x  3)2  1 ，可知：
A : a  0 ，其图象的开口向上，故此选项错误；
B ．其图象的对称轴为直线 x  3 ，故此选项错误；
C ．其最小值为 1，故此选项正确；
D ．当 x  3 时， y 随 x 的增大而减小，故此选项错误． 故选： C ．
6．（3 分）如图，已知O 的弦 AB  8 ，以 AB 为一边作正方形 ABCD ， CD 边与O 相切，
切点为 E ，则O 的半径为()
A．4B．3C．6D．5
【解答】解：连接 EO 并延长，交 AB 于 F ，连接OA ， 设O 的半径为 r ，则OF  8  r ，
 CD 边与O 相切，
OE  CD ，
四边形 ABCD 为正方形，
 AB / /CD ，
OF  AB ，
 AF  1 AB  4 ，
2
在RtOAF 中， AF 2  OF 2  OA2 ，即 42  (8  r)2  r2 ，
解得： r  5 ，
O 的半径为 5， 故选： D ．
7．（3 分）如图，将 ABC 绕点C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E ，点 A 的对应点为点 D ，当点 E 恰好落在边 AC 上时，连接 AD ，若ACB  30 ，则DAC 的度数是()
A． 60B． 65C． 70D． 75
【解答】解：由题意知ABC  DEC ， 则ACB  DCE  30 ， AC  DC ，
DAC  180  DCA  180  30  75 ，
22
故选： D ．
8．（3 分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有 225 人感染，若设 1 人平均感染 x 人，依题意可列方程()
A．1  x  225
B．1  x2  225
C．1  x  x2  225
D． (1  x)2  225
【解答】解：设 1 人平均感染 x 人，
依题意可列方程：1  x  (1  x)x  225 ， (x  1)2  225 ． 故选： D ．
9．（3 分）如图，由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的，过点 A1 的线段分别与 BC1 ，
BE 交于点 M ， N ，则 1  1  ()
MBNB
5
A． 5  1B．
2
C． 2 2
D．1
【解答】解： AA1 / / BM ，
NAA1∽NBM ，
 AA1  NA1 ，即 1
 NA1 ①，
BMNM
 B1 A1 / / BN ，
BMNM
△ MA1B∽MNB ，
 B1 A1  MA1 ，即 1
 MA1 ②，
BNMNBNMN
①  ②得 1
 1  NA1  MA1  MN  1．
BMBNMNMN
故选： D ．
10．（3 分）二次函数 y  ax2  bx  c(a  0) 的部分图象如图所示，图象过点(1, 0) ，对称轴
1
为直线 x  2 ，下列结论：（1）4a  b  0 ；（2）9a  c  3b ；（3）b2  4ac  0 ；（4）若点 A(3, y ) 、
点 B( 1 ， y ) 、点C(7, y ) 在该函数图象上，则 y  y
 y ；（5）若方程 a(x  1)(x  5)  3
223
123
的两根为 x1 和 x2 ，且 x1  x2 ，则 x1  1  5  x2 ．其中正确的结论有()
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
【解答】解： x   b
2a
 2 ，
 4a  b  0 ，故①正确．
由函数图象可知：函数图象与 x 轴有两个交点，
b2  4ac  0 ，故③错误．
抛物线与 x 轴的一个交点为(1, 0) ，对称轴为直线 x  2 ，
另一个交点为(5, 0) ，
当 x  3 时， y  0 ，
 9a  3b  c  0 ，
9a  c  3b ， 故②正确；
抛物线的对称轴为 x  2 ， C(7, y3 ) ，
(3, y3 ) ．
3   1 ，在对称轴的左侧，
2
 y 随 x 的增大而增大，
 y1  y3  y2 ，故④错误．
方程 a(x  1)(x  5)  0 的两根为 x  1 或 x  5 ，
过 y  3 作 x 轴的平行线，直线 y  3 与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知： x1  1  5  x2 ，故⑤正确． 故选： B ．
二、填空题（每小题 3 分，共 6 小题，满分 18 分）
11．（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 P(3, 5) 与点 Q(3, m  2) 关于原点对称，则 m 
3 ．
【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数， 得 m  2  5 ，
 m  3 ．
故答案为： 3 ．
12 ．（ 3 分） 将抛物线 y  (x  1)2 向右平移 2 个单位， 得到新抛物线的表达式是
y  (x 1)2 ．
【解答】解：二次函数 y  (x  1)2 的图象向右平移 2 个单位， 得： y  (x 1  2)2  (x 1)2 ，
故答案为： y  (x 1)2 ．
13．（3 分）设 x 、 x 是方程 x2  4x  m  0 的两个根，且 x  x  x x
 1 ．则 m  3．
12121 2
【解答】解： x 、 x 是方程 x2  4x  m  0 的两个根，
12
 x1  x2  4 ， x1 x2  m ，
 x1  x2  x1 x2  1
 4  m  1 ，
 m  3
故答案为：3
14．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(3, 6) ，B(9, 3) ，以原点O 为位似中心，
1
相似比为
，把ABO 缩小，则点 A 的对应点 A 的坐标是(1, 2) 或(1, 2) ．
3
【解答】解：位似中心为原点，相似比为 1 ，
3
点 A 的对应点 A 的坐标为(3  1 ， 6  1) 或[3  ( 1) ， 6  ( 1)] ，即(1, 2) 或(1, 2) ．
3333
故答案为(1, 2) 或(1, 2) ．
15．（3 分）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r  2cm ，圆锥的母线长为6cm ，则侧面展开图的圆心角的度数为 120
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是： 2r  2 2  4(cm) ， 设圆心角的度数是度，则 6  4，
180
解得 120 ， 故答案为：120．
16．（3 分）如图， RtABC 中， ACB  90 ， AC  BC  4 ， D 为线段 AC 上一动点，连
5
接 BD ，过点C 作CH  BD 于 H ，连接 AH ，则 AH 的最小值为2 2 ．
【解答】解：如图，取 BC 中点G ，连接 HG ， AG ，
 CH  DB ，点G 是 BC 中点
 HG  CG  BG  1 BC  2 ，
2
AC2  CG2
5
在RtACG 中， AG  2
在AHG 中， AHAG  HG ，
5
即当点 H 在线段 AG 上时， AH 最小值为 2
 2 ，
5
故答案为： 2 2
三、填空题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4 分）解方程： x2  2x  15  0 ．
【解答】解： x2  2x  15  0 ， 分解因式得： (x  5)(x  3)  0 ，
可得 x  5  0 或 x  3  0 ， 解得： x1  5 ， x2  3 ．
18．（4 分）已知 AB / /CD ， AD 与 BC 相交于点 P ， AB  4 ， CD  7 ， AD  10 ．求 AP 的长．
【解答】解： AB / /CD ，
ABP∽DCP ，
 AP  AB ，
DPCD
即 AP  4 ，
DP
 AP 
AD
 AP 
7
4 ，
11
4 AD  40 ．
1111
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将CAB 绕点O 顺时针旋转90 得到△ C AB ，点 A 旋转后的对应点为 A ，点 B 旋转后的对应点为 B ，点C 旋转后的对应点为C  ，
画出旋转后的△ CAB ，并写出点 A 的坐标；
求点 B 经过的路径 BB 的长（结果保留) ．
【解答】解：（1）如图，△ CAB 为所作，点 A 的坐标为(2,1) ；
32  32
（2）OB  3 2 ，
点 B 经过的路径 BB 的长为 90  3 2  3 2 ．
1802
20．（6 分）如图，抛物线 y1 的顶点坐标为(1, 4) ，与 x 轴交于点 A(3, 0) ，与 y 轴交于点 B ．直线 AB 的解析式为 y2  kx  b(k  0) ．
求抛物线 y1 的解析式；
当 y1  y2 时， x 的取值范围是0  x  3 ；
当 x 的取值范围是时， y1 和 y2 都随着 x 的增大而减小；
当0x3 时， y1 的取值范围是；
当 y1  0 时， x 的取值范围是．
【解答】解：（1）抛物线 y1 的顶点坐标为(1, 4) ，
设抛物线解析式为 y1  a(x 1)  4
2
与 x 轴交于点 A(3, 0) ，
0  a(3 1)2  4
解得： a  1 ，
 y1  (x 1)  4
2
（2）在 y1  (x 1)  4 中，令 x  0 ，解得 y  3 ，
2
 B(0, 3) ，
结合函数图象可得，
当 y1  y2 时， x 的取值范围是0  x  3 ； 故答案为： 0  x  3 ；
（3） y1  (x 1)  4 ， a  1  0 ，对称轴为 x  1 ，
2
当 x  1 时， y1 随 x 的增大而减小，
将点 A(3, 0) ， B(0, 3) 代入 y2  kx  b(k  0) ，
b  3
 3k  b  0 ，

b  3
解得： k  1 ，

 y2  x  b ， y2 随 x 的增大而减小，
当 x  1 时， y1 和 y2 都随着 x 的增大而减小； 故答案为： x  1 ；
（4）根据函数图象可知：当0x3 时， y1 的取值范围是0y14 ，故答案为： 0y14 ；
（5）由 y1  (x 1)  4 ，令 y  0 ，
2
即(x 1)2  4  0 ，
解得： x1  1 ， x2  3 ，
根据函数图象可知，抛物线开口向下，
当 y1  0 时， 1  x  3 ． 故答案为： 1  x  3 ．
21．（8 分）“2022 卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计， 绘制了下面两幅统计图．根据图中信息回答下列问题：
接受问卷调查的学生共有 50人，条形统计图中 m 的值为；
若该中学共有学生 1500 人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为人；
若从足球运动达到“非常了解”程度的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人解说一场
足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率．
【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有 29  58%  50 （人) ，
不了解的人数有： 50  4  29  10  7 （人) ， 故答案为：50，7；
根据题意得：
1500  4  29  990 （人) ，
50
答：估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为 990
人；
故答案为：990；
由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有 12 种，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 8 种，
恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率为 8  2 ．
123
22．（10 分）如图，有长为12m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为5m) 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 xm ，面积为 Sm2 ．
求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围；
要围成面积为9m2 的花圃， AB 的长是多少米？
当 AB 的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
【解答】解：（1）由题意，得： BC  12  3x ，
 S  AB  BC  x(12  3x)  3x2  12x ；
0  BC5 ，
即0  12  3x5 ，
解得： 7 x  4 ，
3
 x 值的取值范围为： 7 x  4 ；
3
（2）当 S  9 时， 即3x2  12x  9 ，
解得： x1  1 ， x2  3 ，
 7 x  4 ，
3
 x  3 ，
即 AB 的长是 3 米；
（3） S  3x2  12x  3(x  2)2  12 ，
 a  3  0 ，抛物线开口向下，对称轴为： x  2 ，
抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
 7 x  4 ，
3
当 x  7 时， S 取的最大值，最大值为： 3( 7  2)2  12  35 m2 ，
333
当 AB 的长是 7 米时，围成的花圃面积最大．
3
23．（10 分）如图，四边形 ABCD 中， A  B  90 ，以CD 为直径的O 与边 AB 相切于点 E ．
求作O ，并标出点 E （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
连接CE ，求证： CE 平分BCD ；
若 BC  5 ， AB  6 ，求CD 的长．
【解答】（1）解：如图，
证明：OE  OC ，
OEC  OCE ，
 AB 为O 的切线，
OE  AB ，
B  90 ，
OE / / BC ，
OEC  ECB ，
ECB  ECO ， 即CE 平分BCD ；
解：OE / / AD / / BC ， O 为CD 的中点，
OE 为梯形的中位线，
OE  1 ( AD  BC) ，
2
 AD  BC  CD ， 连接 DF ，
 CD 为O 的直径，
DFC  90 ，
四边形 ABFD 为矩形，
 AD  BF ， 设 AD  x ，
CF  5  x ，
 DF 2  CF 2  CD2 ，
62  (5  x)2  (x  5)2 ，
解得 x  9 ，
5
 AD  9 ，
5
CD  5  x  5  9  34 ．
55
24．（12 分）已知抛物线 y  ax2  2ax  3a(a 为常数， a  0) ．
请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含 a 的代数式表示）；
如图 1，当 a  1 时，若点 P 是直线 AC 上方抛物线上的一个动点，求点 P 到直线 AC
距离的最大值；
如图 2，当 a  1 时，设该抛物线与 x 轴分别交于 A 、 B 两点，点 A 在点 B 的左侧， 与 y 轴交于点C ．点 D 是直线 AC 上方抛物线上的一个动点， BD 交 AC 于点 E ，设点 E 的
横坐标为 n ，记 S  SADE ，当 n 为何值时， S 取得最大值？并求出 S 的最大值．
SABE
【解答】解：（1） y  ax2  2ax  3a  a(x2  2x  3)  a(x  1)2  4a ，
顶点为(1, 4a) ，对称轴为直线 x  1 ；
（2）如图 1 中，过点 P 作 PT / / y 轴，交 AC 于点 T ，过点 P 作 PH  AC 于点 H ．设
P(m, m2  2m  3) ，
 A(3, 0) ， C(0, 3) ，
OA  OC  3 ，
OA2  OC2
32  32
 AC  3 2 ，
直线 AC 的解析式为 y  x  3 ，
T (m, m  3) ，
 SAPC
 1  3  PT  3 (m2  2m  3  m  3)   3 (m  3)2  27 ，
22228
 3  0 ，
2
 m   3 时， PAC 的面积最大，最大值为 27 ，此时 PH 的值最大，
28
2  27
2
PH 的最大值8
3
 9 2 ；
8
（3）当 a  1 时， y  x2  2x  3 ， 令 y  0 ，则 x  3 或 x  1 ，
 B(1, 0) ，
 S  SADE ，
SABE
 S  ED ，
BE
过点 D 作 DF  x 轴交 AC 于点 F ，过 B 点作 BG  x 轴交 AC 于点G ，
 DF / / BG ，
DEF∽BEG ，
 ED  DF  S ，
BEBG
设直线 AC 的解析式为 y  kx  b ，
3k  b  3
 b  3，

b  3
 k  1 ，

 y  x  3 ，
设 D(t, t2  2t  3) ，则 F (t, t  3) ，
 DF  t 2  3t ， BG  4 ，
t 2  3t  4S ，
 S   1 (t  3)2  9 ，
4216
当t   3 时， S 有最大值 9 ，
216
此时 D( 3 ， 15) ，
24
设直线 BD 的解析式为 y  mx  n ，
m  n  0
则

 3 m  n  15 ，
 24
m   3

解得 2 ，

n  3
2
 y   3 x  3 ，
22
 y  x  3
联立

 y   3 x  3 ，
22
 x   3 ，
5
当 n   3 时， S 有最大值 9 ．
516
25．（12 分）已知： O 是ABC 的外接圆，且 AB  BC ， ABC  60 ， D 为O 上一动
点．
如图 1，若点 D 是 AB 的中点，求DBA 的度数．
过点 B 作直线 AD 的垂线，垂足为点 E ．
①如图 2，若点 D 在 AB 上，求证： CD  DE  AE ．
②若点 D 在 AC 上，当它从点 A 向点 C 运动且满足 CD  DE  AE 时，求ABD 的最大
值．
【解答】解：（1）如图 1 中，连接 BD ．
 AB  BC ，
BCA  BAC ，
ABC  60 ，
BCA  60 ，
 D 是 AB 的中点，
DCA  30 ，
 AD  AD ，
DBA  DCA  30 ．
（2）①过 B 作 BH  CD 于点 H ，则BHC  BHD  90 ．
又 BE  AD 于点 E ，
BED  90 ，
BED  BHC  BHD ，
又 BD  BD ，
BAE  BCH ，
 AB  BC ，
 BA  BC ，
BEA  BHC (AAS ) ，
 EA  CH ，
又四边形 ACBD 是O 的内接四边形，
BDE  BCA ，
又 AB  BC ，
BCA  BDC ，
BDE  BDC ，
又BED  BHD  90 ， BD  BD ，
RtBED  RtBDH(HL) ，
 DE  DH ，
 DC  DH  HC  DE  AE ．
（2）②连接 BO 并延长O 交于点 I ，则点 D 在 AI 上．
如图：过 B 作 BH  CD 于点 H ，
则BHC  90 ， BHD  90 ， 又 BE  AD 于点 E ，
BED  90 ，
BED  BHC  BHD ，
又四边形 ABCD 是O 的内接四边形，
BAE  BCD ，
又 AB  BC ，
 BA  BC ，
BEA  BCH (AAS )
 EA  EH ，
 AB  BC ，
BDA  BDC ，
又 BD  BD ． BED  BHD  90 ，
RtBED  RtBHD(HL)
 ED  HD ，
CD  HD  HC  DE  AE ，
 BI 是O 直径，
AB  BC ，
 BI 垂直平分 AC ，
 AI  IC ，
 2ABI  ABC  60 ，
当点 D 运动到点 I 时ABI 取得最大值，此时ABD  30 ．