2024-2025学年广东省深圳市龙岗区八年级（上）期末数学模拟试卷

这是一份2024-2025学年广东省深圳市龙岗区八年级（上）期末数学模拟试卷，共24页。试卷主要包含了变化的函数图象，以下说法，的平均数及方差s2如表所示等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在实数3.1415926，，1.010010001…，，，，2.15中，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）若是关于x、y的二元一次方程ax﹣2y＝1的解，则a的值为（ ）
A．3B．5C．﹣3D．﹣5
4．（3分）在学校演讲比赛中，10名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．最高分90B．众数是5
C．中位数是90D．平均分为87.5
5．（3分）光在不同介质中的传播速度不同，当光从空气射向某透明液体时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，其两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，当∠1＝50°，∠2＝115°时，∠3+∠4＝（ ）
A．105°B．115°C．155°D．165°
6．（3分）若函数y＝kx+k（k为常数，且k≠0）中，y随x的增大而增大，则其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点C坐标为（3，2），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2）D．（﹣3，3）
8．（3分）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离学校10km的文博中心参加学习，图中l1和l2分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程（千米）随时间（分）变化的函数图象，以下说法：
①乙比甲提前12分钟到达；
②甲平均速度为0.25千米/小时；
③甲、乙相遇时，乙走了6千米；
④乙出发6分钟后追上甲；
其中正确的是（ ）
A．②③④B．①③④C．③④D．①②
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9．（3分）如图，如果所在位置的坐标为（﹣2，﹣2），所在位置的坐标为（1，﹣2），那么所在位置的坐标为（ ， ）．
10．（3分）某村欲购进一批杏树，考察中随机从甲、乙、丙、丁四个品种中各选了10棵，每棵产量（单位：kg）的平均数及方差s2如表所示：
该村准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的杏树，则应选的品种是 ．
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx和y＝﹣x+b的图象，如图所示，则方程kx＝﹣x+b的解为 ．
12．（3分）某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，AB，CD都与地面l平行，AM与CB平行．已知∠BCD＝58°，∠MAC＝72°，则∠BAC＝ ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点P是直线l：x+y＝4上的一个动点，若∠PAB＝∠ABO，则点P的坐标是 ．
三．解答题（共7小题，共61分）
14．（8分）计算
（1）；
（2）（2）2﹣（1）（1）．
15．（8分）解方程组：
（1）
（2）．
16．（8分）某校开展了以“追梦新时代”为主题的读书活动，并对本校八年级学生12月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题；
（1）求出随机被抽查的学生总数，并补全不完整的条形统计图；
（2）填写本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为 本，众数为 本；
（3）求本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数．
17．（8分）某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
（1）若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件？
（2）若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
18．（8分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整过行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数关系如图示．请回答下列问题．
（1）A，B两城相距 km，甲车的速度是 ．乙车的速度是 ．
（2）求乙车追上甲车所用的时间．
19．（8分）问题情境：如图1，将含30°角的三角板ABC和含45°角的三角板ADE叠放在一起，使直角顶点重合，点D落在直线AB上，点E落在直线AC上．△ADE绕点A旋转，边DE与AB、BC分别相交于点F、点N，边AE与BC相交于点M．
（1）如图2，当AD∥BC时：
①求∠DFB的度数．
②判断∠DAB与∠CAE的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，当AE平分∠BAC时：
①求∠DFB的度数；
②判断AC与DE的位置关系，并说明理由．
20．（13分）综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．
（1）求直线BC的表达式与点C的坐标；
（2）如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
2024-2025学年广东省深圳市龙岗区八年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）在实数3.1415926，，1.010010001…，，，，2.15中，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：∵4，
所以无理数有1.010010001…，，，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的定义，算术平方根和立方根等知识点，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数是指无限不循环小数．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
【解答】解：A．3与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． 3，所以B选项符合题意；
C． ，所以C选项不符合题意；
D 32，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
3．（3分）若是关于x、y的二元一次方程ax﹣2y＝1的解，则a的值为（ ）
A．3B．5C．﹣3D．﹣5
【分析】把代入ax﹣2y＝1计算即可．
【解答】解：∵是关于x、y的二元一次方程ax﹣2y＝1的解，
∴ax﹣2y＝1，
a﹣2×2＝1，
解得：a＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键．
4．（3分）在学校演讲比赛中，10名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．最高分90B．众数是5
C．中位数是90D．平均分为87.5
【分析】根据折线统计图中提供的数据，即可求得10名选手的成绩的最高分、众数，中位数以及平均分．
【解答】解：根据折线统计图可得：
最高分为95，故A错误；
90分的人数有5个，人数最多，则众数是90，故B错误；
根据排序后的数据，可得第5和第6个数据落在90分这一组，故中位数为90，故C正确；
平均分为（2×80+85+5×90+2×95）÷10＝88.5，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了折线统计图的应用，解题时注意：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（3分）光在不同介质中的传播速度不同，当光从空气射向某透明液体时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，其两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，当∠1＝50°，∠2＝115°时，∠3+∠4＝（ ）
A．105°B．115°C．155°D．165°
【分析】根据两直线平行，同位角相等可求出∠3的度数，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，即可求出∠3+∠4的度数．
【解答】解：∵AE∥BF，
∴∠3＝∠1，
∵∠1＝50°，
∴∠3＝50°，
由题意得AB∥CD，
∴∠2+∠4＝180°，
∵∠2＝115°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣115°＝65°，
∴∠3+∠4＝50°+65°＝115°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．（3分）若函数y＝kx+k（k为常数，且k≠0）中，y随x的增大而增大，则其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意判断出函数的图象所经过的象限即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+k，y随x增大而增大，
∴k＞0，
∴此函数的图象经过一、二、三象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，k＞0，b＞0时，函数图象经过一、二、三象限是解答此题的关键．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点C坐标为（3，2），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2）D．（﹣3，3）
【分析】如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，根据正方形的性质，可证Rt△AOD≌Rt△OCE（ASA），可得DO＝EC，AD＝OE，根据点C的坐标可确定OE，CE的长，由此即可求解．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝AB＝BC＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠EOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠EOC，
在Rt△AOD，Rt△OCE中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△OCE（ASA），
∴DO＝EC，AD＝OE，
∵C（3，2），
∴OE＝3，CE＝2，
∴OD＝2，AD＝3，且点A在第二象限，
∴A（﹣2，3），
故选：B．
【点评】本题主要考查几何图形，全等三角形的判定和性质，图象与坐标的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据图象特点确定坐标的方法等知识是解题的关键．
8．（3分）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离学校10km的文博中心参加学习，图中l1和l2分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程（千米）随时间（分）变化的函数图象，以下说法：
①乙比甲提前12分钟到达；
②甲平均速度为0.25千米/小时；
③甲、乙相遇时，乙走了6千米；
④乙出发6分钟后追上甲；
其中正确的是（ ）
A．②③④B．①③④C．③④D．①②
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得l1，l2对应的函数解析式，然后根据图象中的数据即可判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由函数图象可得，
乙比甲提前40﹣28＝12（分钟）到达，故①正确，
甲的平均速度是：1015（千米/小时），故②错误，
设l1对应的函数解析式为S＝kt，则
40k＝10，得k，
即l1对应的函数解析式为St，
设l2对应的函数解析式为S＝at+b，
，得，
即l2对应的函数解析式为S＝t﹣18，
，得，
∴甲乙相遇时，乙走了6千米，故③正确，
乙出发24﹣18＝6（分钟）追上甲，故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9．（3分）如图，如果所在位置的坐标为（﹣2，﹣2），所在位置的坐标为（1，﹣2），那么所在位置的坐标为（ ﹣4 ， 1 ）．
【分析】根据士所在位置的坐标为（﹣2，﹣2），相所在位置的坐标为（1，﹣2），确定坐标原点，从而得出炮所在位置的坐标．
【解答】解：∵士所在位置的坐标为（﹣2，﹣2），相所在位置的坐标为（1，﹣2），
∴炮所在位置的坐标为（﹣4，1）．
故答案为：（﹣4，1）．
【点评】本题考查了坐标确定位置，是基础知识要熟练掌握．
10．（3分）某村欲购进一批杏树，考察中随机从甲、乙、丙、丁四个品种中各选了10棵，每棵产量（单位：kg）的平均数及方差s2如表所示：
该村准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的杏树，则应选的品种是 甲 ．
【分析】先比较平均数得到甲和乙的产量较好，然后比较方差得到甲品种既高产又稳定．
【解答】解：由题可知，甲乙的平均数比丙丁的平均数大，而甲的方差比乙的小，
∴甲品种产量既高又稳定；
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差，一组数据中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是反映一组数据波动大小的一个量方差越大则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之则它与其平均值的离散程度越小稳定性越好．
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx和y＝﹣x+b的图象，如图所示，则方程kx＝﹣x+b的解为 x＝1 ．
【分析】两个一次函数图象的交点的横坐标就是方程kx＝﹣x+b的解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx和y＝﹣x+b的图象交于点（1，2），
∴方程kx＝﹣x+b的解为x＝1．
故答案为：x＝1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一次方程，关键是掌握一次方程与一次函数的关系．
12．（3分）某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某共享单车放在水平地面上的实物图，其示意图如图2所示，AB，CD都与地面l平行，AM与CB平行．已知∠BCD＝58°，∠MAC＝72°，则∠BAC＝ 50° ．
【分析】根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵AM∥CB，∠MAC＝72°，
∴∠ACB＝∠MAC＝72°，
∵AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝58°，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠BAC＝50°，
故答案为：50°．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0），点P是直线l：x+y＝4上的一个动点，若∠PAB＝∠ABO，则点P的坐标是 （﹣4，8）或（12，﹣8） ．
【分析】方法一：分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定AP∥BO，容易求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为（a，﹣a+4），过AP作直线交x轴于点C，可表示出直线AP的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
方法二：设C（m，0），根据题意得到（m+4）2＝m2+82，解方程求得C的坐标，从而求得直线AP的解析式，然后通过联立解析式，解方程组即可求得P点的坐标．
【解答】解：方法一：当点P在y轴左侧时，如图1，连接AP，
∵∠PAB＝∠ABO，
∴AP∥OB，
∵A（0，8），
∴P点纵坐标为8，
又P点在直线x+y＝4上，把y＝8代入可求得x＝﹣4，
∴P点坐标为（﹣4，8）；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为（a，﹣a+4），设直线AP的解析式为y＝kx+b，
把A、P坐标代入可得，解得，
∴直线AP的解析式为yx+8，
令y＝0可得x+8＝0，解得x，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，
∵B（﹣4，0），
∴BC2＝（4）2＝（）216，
∵∠PAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）216，
解得a＝12，则﹣a+4＝﹣8，
∴P点坐标为（12，﹣8）．
方法二：设C（m，0），
∵∠ACB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
∴（m+4）2＝m2+82，
解得m＝6，
∴直线AP的解析式为yx+8，
由，解得．
∴P（12，﹣8）．
综上可知，P点坐标为（﹣4，8）或（12，﹣8）．
故答案为：（﹣4，8）或（12，﹣8）．
【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出P点的位置，由条件得到AP∥OB或AC＝BC是解题的关键．
三．解答题（共7小题，共61分）
14．（8分）计算
（1）；
（2）（2）2﹣（1）（1）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）


＝5﹣3
＝2；
（2）（2）2﹣（1）（1）
＝3﹣44﹣（2﹣1）
＝3﹣44﹣1
＝6﹣4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
15．（8分）解方程组：
（1）
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
②代入①得：3y+9+2y＝14，即y＝1，
把y＝1代入②得：x＝4，
则方程组的解为；
（2），
①×4﹣②×3得：﹣x＝﹣3，即x＝3，
把x＝3代入①得：y＝2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．（8分）某校开展了以“追梦新时代”为主题的读书活动，并对本校八年级学生12月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题；
（1）求出随机被抽查的学生总数，并补全不完整的条形统计图；
（2）填写本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为 3 本，众数为 3 本；
（3）求本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数．
【分析】（1）根据5本的人数和所占的百分比求出总人数，再减去其它的人数，求出读4本的人数，继而补全不完整的条形统计图；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可，一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；
（3）根据平均数的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）随机被抽查的学生总数为：6÷10%＝60（人），
读4本的人数为：60﹣3﹣18﹣21﹣6＝12（人）；
补图如下：
（2）本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为3本，众数为3本；
故答案为：3；3；
（3）（3+18×2+21×3+12×4+6×5）＝3（本），
答：本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数为3本．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
17．（8分）某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：
（1）若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件？
（2）若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以写出利润与A种服装数量的函数关系式，再根据A种服装数量的取值范围和一次函数的性质，可以计算出应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为多少元．
【解答】解：（1）设购进A种服装a件，B种服装b件，
，
解得，
答：购进A种服装75件，B种服装25件；
（2）设A种服装进货为x件，则B种服装进货为（100﹣x）件，总的利润为w元，
由题意可得：w＝（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x）＝﹣5x+2000，
∴w随x的增大而减小，
∵商场规定A种服装进货不少于50件，购进A，B两种服装共100件，
∴50≤x≤100，
∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝1750，100﹣x＝50，
答：当购进A种服装50件，乙种服装50件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为1750元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式．列出相应的方程组，利用一次函数的性质求最值．
18．（8分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整过行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数关系如图示．请回答下列问题．
（1）A，B两城相距 300 km，甲车的速度是 60千米/小时 ．乙车的速度是 100千米/小时 ．
（2）求乙车追上甲车所用的时间．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；
（2）根据甲、乙两车行驶的路程相等列方程求解即可；
【解答】解：（1）由图象可得，A，B两城相距300千米，
甲的速度为300÷5＝60（千米/小时），
乙车的速度为100（千米/小时），
故答案为：300；60千米/小时；100千米/小时；
（2）设乙车出发a小时追上甲车，
则60（a+1）＝100a，
解得a＝1.5，
∴乙车出发1.5小时追上甲车．
【点评】本题考查的是从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，理解坐标含义是解本题的关键．
19．（8分）问题情境：如图1，将含30°角的三角板ABC和含45°角的三角板ADE叠放在一起，使直角顶点重合，点D落在直线AB上，点E落在直线AC上．△ADE绕点A旋转，边DE与AB、BC分别相交于点F、点N，边AE与BC相交于点M．
（1）如图2，当AD∥BC时：
①求∠DFB的度数．
②判断∠DAB与∠CAE的数量关系，并说明理由．
（2）如图3，当AE平分∠BAC时：
①求∠DFB的度数；
②判断AC与DE的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）①根据平行线的性质可得∠DAF＝∠B＝30°，再根据三角形的内角定理即可求解；②根据平行线的性质可得∠DAF＝∠B＝30°，再求出∠BAE的度数，最后求出∠CAE的度数即可；
（2）①根据角平分线的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠BAD的度数，最后根据三角形的外角定理即可求解；②根据角平分线的性质，可求出∠CAE的度数，再由∠E＝45°即可得到∠CAE＝∠E，据此可得出结论．
【解答】解：（1）①∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠D＝45°，
∴∠DFB＝∠D+∠DAB＝45°+30°＝75°；
②由①得∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠DAE﹣∠DAB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAB＝∠CAE；
（2）①∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAE＝90°﹣45°＝45°，
∵∠D＝45°，
∴∠DFB＝∠D+∠BAD＝45°+45°＝90°；
②由①可得∠CAE＝45°，
∵∠E＝45°，
∴∠CAE＝∠E，
∴AC∥DE．
【点评】本题主要考查的是等腰直角三角形及平行线的性质和判定，三角形的外角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的各个角的度数．
20．（13分）综合与探究：
如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．
（1）求直线BC的表达式与点C的坐标；
（2）如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）分别求出A（﹣6，0），B（0，3），再确定函数解析式即可；
（2）设P（t，t+3），则Q（t，﹣t+3），则PQ＝|t|，再求BC＝3，由题意可得|t|＝3，即可求P点坐标；
（3）分三种情况：①当以A为等腰三角形的顶点时，AB＝AM＝3；②当以B为等腰三角形的顶点时，AB＝BM，则M点与A点关于y轴对称；③当以M为等腰三角形的顶点时，MA＝MB，设M（m，0），由（m+6）2＝m2+9，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝0，则x+3＝0，
∴x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴C（3，0）；
（2）存在，理由如下：
设P（t，t+3），则Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝|t|，
∵B（0，3），C（3，0），
∴BC＝3，
∵PQ＝BC，
∴|t|＝3，
∴t＝2或t＝﹣2，
∴P（2，3）或P（﹣2，3）；
（3）存在，理由如下：
∵A（﹣6，0），B（0，3），
∴AB＝3，
①当以A为等腰三角形的顶点时，
AB＝AM＝3，
∴M（﹣6+3，0）或（﹣6﹣3，0）；
②当以B为等腰三角形的顶点时，
AB＝BM，
∴M点与A点关于y轴对称，
∴M（6，0）；
③当以M为等腰三角形的顶点时，
MA＝MB，
设M（m，0），
∴（m+6）2＝m2+9，
∴m，
∴M（，0）；
综上所述：M点的坐标为（﹣6+3，0）或（﹣6﹣3，0）或（6，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
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甲
乙
丙
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类型
进价（元/件）
售价（元/件）
A
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45
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50
70
题号
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答案
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B
B
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