初中数学人教版（2024）七年级下册5.1.1 相交线优秀学案设计

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知识点1：相交线
1. 相交线的定义
在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点.如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O.

图1 图2 图3
2. 对顶角的定义
若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角．
如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角．
注意：两个角互为对顶角的特征是：
（1）角的顶点公用；
（2）角的两边互为反向延长线；
（3）两条相交线形成2对对顶角．
3. 对顶角的性质：对顶角相等．
4. 邻补角的定义
如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角．如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°．
知识点2：垂线
1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂足为点O.

注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即：
CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
注意：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．

图4
如图4所示，m的垂线段PB的长度叫做点P 到直线m的距离．
注意：
点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
知识点3：三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示．
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角．图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8．
（2）内错角：可以发现∠3与∠5处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角．图中的内错角还有∠4与∠6．
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角．图中的同旁内角还有∠3与∠6．

图5
考点剖析
考点一：邻补角
【典例1】如图所示，直线，交于点O，射线平分，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
【变式1-1】下列图形中，与是邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，直线，相交于点O，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【变式1-3】如图，已知是直线上的点，平分，，则的度数为 ．
考点二：对顶角及其性质
【典例2】如图，已知直线与相交于点F，平分，若，则度数是（ ）

A．B．C．D．
【变式2-1】光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，的对顶角是 （ ）

A． B． C． D．
【变式2-2】如图，两条直线相交于点O，若，则 度．
【变式2-3】【真实问题情境】如图，为了测量古塔外墙底角的度数，王明设计了如下方案：作，的延长线，，量出的度数，就得到了的度数，王明这样做的依据是 ．

考点三：垂线的定义
【典例3】如图，直线相交于点O，平分，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【变式3-1】如图，在同一平面内，，，垂足为O，则与重合的理由是（ ）

A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂直于同一直线的两条直线平行
【变式3-2】如图，直线相交于点于点，且，则（ ）

A．B．C．D．
【变式3-3】如图，，，则A，，三点共线的理由是（ ）

A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点只能作一条垂线
D．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
考点四：垂线的画法
【典例4】如图，已知直线和直线外一点A，按下列要求作图：过点C作，垂足为点D．
【变式4-1】下列各图中，过直线l外一点P画它的垂线，三角板操作正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】如图是一条河，是河边外一点，是河边上一码头．

(1)若要从走到码头，请在图1中作出最短路线示意图．
(2)现欲用水管从河边将水引到处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案．
考点五：垂线段的性质
【典例5】如图，测量运动员跳远成绩选取的是的长度，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．垂直的定义
【变式5-1】如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）

A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短D．两点确定一条直线
【变式5-2】如图所示，小畅家住在点处，计划从门前小河引河水到家，过点作于点，然后沿铺水管，可节省材料和工钱，这样做法的依据是 ．
【变式5-3】如图，三角形中，，为边上的任意一点，连接，为线段上的一个动点，过点作点F．，，，则的最小值为（ ）

A．6B．C．D．5
考点六：点到直线的距离
【典例6】如图，在三角形中，，，垂足为D，则下列说法不正确的是（ ）

A．线段的长是点A到的距离B．线段的长是点C到的距离
C．线段的长是点B到的距离D．线段的长是点B到的距离
【变式6-1】如图，，，则点到的距离是线段（ ）的长度

A．B．C．D．
【变式6-2】如图，点和在线段上，，，，，，则点到线段的距离是（ ）

A．7.2B．6C．4.8D．3.6
【变式6-3】P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于B．等于C．小于D．不大于
考点七：同位角
【典例7】下列图形中和不是同位角的是（ ）
A．B． C． D．
【变式7-1】下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ）
A．②③B．①②③C．①②④D．①④
【变式7-2】如图，直线被直线所截，与是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角
考点八：内错角
【典例8】如图，下列各角与是内错角的是（ ）

A．B．C．D．
【变式8-1】如图，直线被直线所截，则与是（ ）

A．邻补角B．同位角C．对顶角D．内错角
【变式8-2】下列四个图中，和是内错角的是（ ）
A． B． C． D．
考点九：同旁内角
【典例9】如图，的同旁内角是（ ）

A．B．C．D．
【变式9-1】如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成（ ）
A．同位角B．同旁内角C．内错角D．对顶角
【变式9-2】如图所示，和是（ ）

A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
【变式9-3】如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（ ）

A．与是同位角B．与是内错角
C．与是对顶角D．与是同旁内角
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一、选择题
1．如图，点O在直线DB上，OA⊥OC，∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．150°B．120°C．110°D．100°
2．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（ ）

A．点AB．点BC．点CD．点D
3．若点 P 为直线 a 外一点，点 A、B、C、D 为直线 a 上的不同的点，其中 PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3.那么点 P 到直线 a 的距离是
A．小于 3B．3C．不大于 3D．不小于 3
4．如图，直线相交形成四个角，互为对顶角的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
5．下列各图中，∠1和∠2可能是邻补角的只有（ ）
A．B．C．D．
6．已知:如图,直线AB、CD被直线EF所截,则∠EMB的同位角是（ ）
A．∠AMFB．∠BMFC．∠ENCD．∠END
7．如图，相交于点O，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
8．自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是 ．
9．如图，交于，.若，则 .
10．如图所示，与 是同位角，与 是内错角，与 是同旁内角.
11．与互为邻补角，且比的3倍还多，则的度数是 °．
三、解答题
12．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，且∠DOB＝2∠COE，求∠AOD的度数．
13．如图，直线AB和直线CD相交于O点，OE⊥OD，OF平分∠AOE，∠BOD＝26°．
(1)写出∠COB的邻补角．
(2)求∠COF的度数．