2024-2025学年云南省昆明市高三上学期12月大联考数学检测试题

这是一份2024-2025学年云南省昆明市高三上学期12月大联考数学检测试题，共5页。试卷主要包含了 已知，且满足，则， 已知向量，，则的最小值为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
3. 苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为，则该圆锥的体积为（ ）
A B. C. D.
4. 已知，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
6. 下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数，，都有”的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数，若在区间上单调，在处取得最大值，且.将曲线向左平移1个单位长度，得到曲线，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
8. 已知函数，，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据、、、、的第百分位数是
B. 若随机变量服从正态分布，，则
C. 张中只有张能中奖，现从中一次性抽取张，若其中至少有一张中奖的概率大于，则的最小值为
D. 已知数据、、、的平均数为，方差为，现加入和两个数，则这个数的方差
10. 已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A. 若在上单调递增，则实数取值范围是
B. 有3个零点
C. 在上最小值为
D. 在R上恒成立
11. 如图，已知圆，过原点作射线交圆于点（异于点），交直线于点（异于点），再以为圆心、线段的长为半径作圆与射线交于点，记点的轨迹为曲线.设，，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线上所有点的横坐标的取值范围是
B.
C. 曲线的方程为
D. 过点且与垂直的直线必与抛物线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为______.
13. 甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为，没有平局，各局比赛的结果互不影响.约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束.设最终比赛局数为，则______.
14. 过双曲线的左焦点作轴的垂线，为上一动点，已知，，若的最大值为，则双曲线的离心率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记内角，，所对的边分别为，，，已知，.
（1）求；
（2）若的周长为，求的面积.
16. 如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为，，点为椭圆上两点（均位于轴上方），且满足，面积的最大值为2，椭圆的离心率小于，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：为定值.
17. 已知函数.
（1）若，求证：；
（2）若且在上恒成立，求的最大值.
18. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，.延长至点，使得，连接.

（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若点，分别是直线，上的动点，求的最小值.
19. 设数列是一个无限数列，若对于一个给定的正整数，不等式对每一个大于的正整数都成立，则称是阶友好数列.
（1）若，证明：是2阶友好数列，但不是1阶友好数列.
（2）若是1阶友好数列，为数列的前项和.
证明：①；
②.