江苏省连云港市2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份江苏省连云港市2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A，B. ，
C. ，D. ，
2. 若集合，，则（）
A. B. C. D.
3. 函数的最小值为（）
A. 10B. 9C. 8D. 7
4. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数是（）
A. B. C. D.
5. 已知，则（）
A. B. 0C. 2D. 4
6. 设是定义在上的奇函数，则（）
A. B. C. D.
7. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 定义域为函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设全集，若，则（）
A. B. C. D.
10. 若，，则下列各式中，恒等的是（）
A. B.
C. D.
11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
12. 已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，，给出以下结论，正确的是（）
A.
B.
C. 为R上的减函数
D. 为奇函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则函数__________.
14. 是__________条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）.
15. 设，，且，则的最小值是__________.
16. 若集合，则实数的取值范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求：
（1）求，；
（2）求，.
18. 计算：
（1），
（2）.
19. 设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
20. 已知a，b均为正实数.
（1）证明：；
（2）若的两条直角边分别为a，b，斜边，求周长的最大值.
21. 如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地，其长为36米，宽为24米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为米与米均不小于3米，要求“转角处（图中矩形）”的面积为12平方米.
（1）试用表示草坪的面积，并指出的取值范围；
（2）如何设计人行道的宽度，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积.
22. 已知定义在R上的奇函数过原点，且.
（1）求实数的值;
（2）判断在上的单调性并用定义证明;
（3）画出在上的图像.
2023—2024学年第一学期期中考试
高一数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题“，”是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即为，，
故选：D
2. 若集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集的含义
【详解】根据并集的定义得，
故选：A.
3. 函数的最小值为（）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数形式，结合基本不等式求解函数最小值即可.
【详解】函数中，，
由基本不等式可得
当且仅当时，即时取等号，
所以函数的最小值为9.
故选：B.
4. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的定义及性质可以得出答案.
【详解】首先定义域必须关于0对称，C错；不是奇函数，D错；在定义域内不是增函数，B错；
故选：A.
5. 已知，则（）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】对数式化为指数式，再由指数的运算法则求解．
【详解】由得，即，又且，所以，
故选：C．
6. 设是定义在上的奇函数，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意有，从而可得，进一步可以算出，.
【详解】由题意是定义在上奇函数，
则由奇函数的性质可得，
解得，
所以，从而.
故选：C.
7. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分离参数，求出右边的范围即可得到答案.
【详解】由题意得对恒成立，
设，则在上单调递减，则，
所以，
故选：B.
8. 定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的对称性和单调性比较大小即可求解.
【详解】因为定义域为的函数满足，
所以函数的图象关于对称，所以，
又因为当时，，
所以函数在单调递增，则在单调递减，
因为，
所以，
所以，即，
故选:C,
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设为全集，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据包含关系结合集合间的运算求解.
【详解】因为，等价于，等价于和，
故A错误，BCD正确；
故选：BCD.
10. 若，，则下列各式中，恒等的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据对数运算法则和性质即可判断.
【详解】对于A：，故选项A不正确；
对于B，根据对数的运算法则得，故B正确；
对于C：，故选项B不正确；
对于D：，故选项D正确；
故选：BD.
11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式的解集为或，可得，且和是的两个根，进而可判断选项.
【详解】由题意可知
且和是的两个根，
故，，得，，
A选项：由可判断A正确；
B选项：由得得，故B错误；
C选项：由得，得，得或，
故C正确；
D选项：，故D错误，
故选：AC
12. 已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，且，当时，，给出以下结论，正确的是（）
A.
B.
C. 为R上的减函数
D. 为奇函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用抽象函数的关系式，令判断A的正误；令，，判断B的正误；当时，，再令，结合单调性的定义判断C的正误；令判断D的正误.
【详解】因为，
则令，可得，
即，解得，故A正确；
令，，可得，
即，解得，
再令，可得，
即，故B正确；
因，所以，
令，不妨设，
可得，即，
因为，则，则，
可得，即，
所以为R上的增函数，故C错误；
令，可得，
即，整理得，
所以奇函数，故D正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：利用抽象函数的定义通过赋值法，并结合函数单调性、奇偶性的定义才是解题的关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则函数__________.
【答案】0
【解析】
【分析】直接赋值代入即可.
【详解】令得，
故答案为：0.
14. 是的__________条件（从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填）.
【答案】充分条件
【解析】
【分析】解出绝对值不等式，再根据充分条件的判定即可.
【详解】，解得或，则是的充分条件，
故答案为：充分条件.
15. 设，，且，则的最小值是__________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.
【详解】因为，，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是9.
故答案为：9.
16. 若集合，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知：对任意的恒成立，分和两种情况，结合二次函数以及判别式分析求解.
【详解】由题意可知：对任意的恒成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求：
（1）求，；
（2）求，.
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据根式的定义求的定义域，根据二次函数求的值域；
（2）根据集合间运算求解.
【小问1详解】
对于函数，则，解得，
所以，
对于，当且仅当时，等号成立，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得：，，
所以.
18. 计算：
（1），
（2）.
【答案】（1）11 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据指数幂和对数的运算法则计算即可；
（2）根据对数的运算法则计算．
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
19. 设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；
（2）“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可
【小问1详解】
由题意得到A＝[1，5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当时，2-a＞1+2a，即a＜时，满足题意，
当时，即a≥时，则，
解得≤a≤1.
综上a≤1，
故实数a的取值范围是.
20. 已知a，b均为正实数.
（1）证明：；
（2）若的两条直角边分别为a，b，斜边，求周长的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质即可得证；
（2）利用（1）中的结论和三角形性质即可得出结果.
【小问1详解】
因为，则，
当且仅当时取“”.
又为正实数，
所以
【小问2详解】
由题意，得.
由（1）的结论，，
当时取“”.
所以直角周长的最大值为.
21. 如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地，其长为36米，宽为24米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为米与米均不小于3米，要求“转角处（图中矩形）”的面积为12平方米.
（1）试用表示草坪的面积，并指出的取值范围；
（2）如何设计人行道的宽度，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积.
【答案】（1）
（2）当人行道的宽度才能使草坪的面积最大，且草坪的最大面积为.
【解析】
【分析】（1）根据题意列出表达式即可；
（2）利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由条件知，
因为，所以，所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
由（1），
当且仅当时取等号，
即时，的最大值为600.
所以当人行道的宽度才能使草坪的面积最大，
且草坪的最大面积为.
22. 已知定义在R上的奇函数过原点，且.
（1）求实数的值;
（2）判断在上的单调性并用定义证明;
（3）画出在上的图像.
【答案】（1）
（2）函数在上是增函数，证明见解析
（3）图像见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，由可求得，再将点的坐标代入即可求得；
（2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可；
（3）根据题意，直接绘制函数图像.
【小问1详解】
定义在上的奇函数，则，即，解得，又，即，解得，，经检验符合题意.
【小问2详解】
函数在上是增函数，
证明如下：任取且，则
，
因为，则，，
故，即，
因此函数在上是增函数.
【小问3详解】