四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题-A4

这是一份四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题-A4，共12页。试卷主要包含了在空间直角坐标系中，，则等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A．56B．59C．62D．64.5
4．设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
5．不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ）
A．B．C．或D．或
7．如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在空间直角坐标系中，，则（ ）
A．B．点到直线的距离为
C．D．直线与平面所成角的正弦值为
10．已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件与事件互斥，则
B．若事件与事件相互独立，则
C．若事件发生时事件一定发生，则
D．若，则事件与事件相互独立
11．已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．的最小值为D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设一组数据的平均数为11，则的平均数为______．
13．过三点的圆的标准方程为______．
14．已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）“世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”．自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；
（2）已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差．
16．（15分）已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为．
（1）当点的横坐标为2时，求切线的方程；
（2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值．
17．（15分）
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次．已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲．
（1）求第3次投篮者为乙的概率；
（2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率．
18．（17分）
在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值．
19．（17分）
一动圆与圆外切，与圆内切．
（1）设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程；
（2）①若点是直线上的动点，直线与曲线分别交于两点，证明：直线过定点；
②设和的面积分别为和，求的最大值．
2024~2025学年度上期高中2023级期末考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．解：点关于轴的对称点的坐标为，故选C．
2．解：直线的方向向量为直线的斜率，整理得：，故选A．
3．解：数据个数共有10个，且为从小到大排列，这组数据的第70百分位数为第7个数据56和第8个数据62的平均数59，故选B．
4．解：，双曲线的方程为，故选B．
5．解：从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球，共有15种情况，其中抽出2球均为白球有6种情况，，故选C．
6．解：根据题意知，圆心到直线的距离，故选A．
7．解：设，又，故选D．
8．解：设，两式相减，得
，
直线的方程为：，代入双曲线中，得，
，故选B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．解：A选项：，故A错误；
B选项：取，
点到直线的距离，故B正确；
C选项：，故C正确；
D选项：易求平面的法向量，故D错误；故选BC．
10．解：A选项：事件与事件互斥，，故A正确；B选项：事件与事件相互独立，，
，故B正确；
C选项：若事件发生时事件一定发生，，故C错误；
D选项：事件与事件相互独立，事件与事件相互独立，故D正确；故选ABD．
11．解：A选项：为焦点三角形，，故A正确；
B选项：根据椭圆和双曲线的定义，可得，
，在中，由余弦定理，可得：
，
，整理得，
，当时，，故B错误；
C选项：，故C正确；
D选项：，故取，
，故D正确；故选ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．90 解：的平均数的平均数．
13． 解：设圆的方程为，代入三点，有圆的标准方程为．
14．26 解：离心率为等边三角形，设，直线的方程为，代入中，得，
，
周长．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
解：（1）众数：75，
第1至第6组的频率分别为，
平均数：
；
（2）根据题意可知，成绩落在的学生人数为20人，成绩落在的学生人数为30人，
总体平均数：，
总体方差：．
16．（15分）
解：（1）点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为，
①当切线的斜率不存在时，满足题意，此时，切线的方程为；
②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，
即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：，
，
此时，切线方程为，
化简，得，
切线方程为或；
（2）为公共边，，
，
又当最小时，最小，
由题意可知，当时，最小，
此时，，
，
四边形面积的最小值为．
17．（15分）
解：（1）设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"，
根据题意可知，与互斥，
；
（2）设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知：
，
事件互斥，且每次投篮的结果相互独立，
．
18．（17分）
解：（1）证明：连接，在中，，
，
在中，，
同理可得：，
平面；
（2）设为的中点，，
平面平面，
平面平面，
又平面平面平面，
平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
，，
取，
设直线与平面所成角为，
（其他解法酌情给分）
（3）设，
，，
设点到平面的距离为，
，
，
是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，
．
取，
设平面与平面所成的角为，
．
19．（17分）解：（1）设动圆的半径为，动圆与圆外切，，
又动圆与圆内切，且圆在圆内部，，
，
又，
，
动圆圆心的轨迹的方程为；
（2）①设点，
则直线的方程为，
代入椭圆中，
得：，
，
，
同理可得：，
，
直线的方程为，
整理得：，
直线恒过定点；
（其他解法酌情给分）
（2）根据题意，直线恒过定点，
，
点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，
，
，
，
设直线，代入椭圆中，
得：，
，
，
设，
在上单调递增，
，
，
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
B
B
C
A
D
B
9
10
11
BC
ABD
ACD