新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第01讲 直线的方程(分层精练）（2份，原卷版+解析版）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·江西赣州·高二上犹中学校考期末）已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解析：，又因为
所以，
故选：B.
2．（2023春·陕西汉中·高二校联考期末）已知直线经过，两点，则直线的斜率为（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】D
【详解】因为直线经过，两点，
所以直线的斜率为，
故选：D．
3．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角，在y轴上的截距为，则此直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为直线l的倾斜角，则直线的斜率，
所以直线方程为.
故选：C.
4．（2023·全国·高二专题练习）直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】将变形为：，令且，解得，
所以直线恒过定点.
故选：A
5．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知直线：，点，则点A到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意直线：，则直线过原点，且斜率为，

当直线l无限靠近于y轴时，点到直线l的距离无限接近于1，
故点到直线l的距离大于1，
当l与垂直时，点A到直线l的距离最大，最大值为，
故点A到直线的距离的取值范围为，
故选：B
6．（2023秋·高二课时练习）过点，且与原点距离最远的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】当直线与垂直时，此时原点到直线的距离最大，
,所以所求直线斜率为，由点斜式可得直线方程为，即，
故选：C
7．（2023·高三课时练习）已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】A
【详解】直线方程可整理为：，则直线恒过定点，
，，
直线与线段相交，直线的斜率或.
故选：A.
8．（2023·江苏·高二专题练习）若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵直线l： 恒过定点
曲线C： 即：
∴曲线C表示：以（1，1）为圆心，1为半径的的那部分圆.
∵直线l与曲线C有两个交点，
∴如图所示，
当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点，
此时 解得：
当过点M的直线也过点 时有2个交点，
此时
∴
故选：B.
二、多选题
9．（2023春·河南驻马店·高二统考期末）下列直线在两坐标轴上的截距相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】对于A中，直线，可得在轴和轴上的截距分别为和，
不符合题意，所以A不正确；
对于B中，直线，可得在轴和轴上的截距分别为和，
符合题意，所以B正确；
对于C中，直线，可得在轴和轴上的截距分别为和，
符合题意，所以C正确；
对于D中，直线，可得在轴和轴上的截距分别为和，
不符合题意，所以D不正确.
故选：BC.
10．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）关于直线：，以下说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．若，直线与垂直
C．时，直线不过第一象限
D．时，直线过第二，三，四象限
【答案】ABD
【详解】直线：可变形为：，由解得，所以直线过定点，故A正确；
当，直线：，所以与直线的斜率之积为，即两直线垂直，故 B正确；
对于C选项，直线：可变形为：，当时，，直线经过第一，二，三，象限，故C错误；
对于D选项，直线：，当时，，直线经过第二，三，四象限，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题
11．（2023·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为 .
【答案】或.
【详解】设直线方程的截距式为.
则，解得或，
则直线方程是或，
即或.
故答案为：或.
12．（2023秋·高二课时练习）与两坐标轴围成的三角形面积为4，且斜率为的直线l的方程为 ．
【答案】
【详解】设直线l的方程为，
令，可得；令，可得；
由题意可得：，解得，
所以直线l的方程为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·江苏·高二假期作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【答案】(1)y＝2x＋5
(2)y＝－x－2
(3)y＝x＋3或y＝x－3
【详解】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.
（2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，
故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2.
（3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝．
因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，
所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，
故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.
14．（2023春·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考开学考试）已知直线，.
(1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程.
【答案】(1)定点A的坐标为
(2)或
【详解】（1）直线可化为，
则，解得，
直线l过定点，且定点A的坐标为；
（2）直线过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，
则当直线过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为，即；
当直线的横纵截距均不为零时，设直线的方程为，
代入点，得，解得，
此时直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或.
B能力提升
1．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵直线：的倾斜角为，斜率为，∴，
∵直线的倾斜角为，∴斜率为，
∴的方程为，即.
故选：B．
2．（2023春·江苏扬州·高一统考期中）设，为直线l上的两个不同的点，则，我们把向量及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量．当直线l与x轴不垂直时，（其中叫做直线l的斜率）也是直线l的一个方向向量．如果直线l经过点，且它的一个方向向量是，则直线l上任意一点的坐标x，y满足的关系式为 ．
【答案】
【详解】由题意知，，因为方向向量是，
所以即，
故答案为：.
3．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．
(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求当取得最小值时直线l的方程．
【答案】(1)6，
(2)
【详解】（1）∵点在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴 、y轴正半轴相交，
∴直线l的斜率，
则设直线l的方程为，，
令，得；令，得．
∴．
∵，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立．
∴面积的最小值为6．
此时直线l的方程为，即．
（2）设，，，．
∵A，P，B三点共线，∴，整理得，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴当取得最小值时，直线l的方程为，即．