新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第03讲 平面向量的数量积 (高频精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10649" 第03讲 平面向量的数量积 (精讲） PAGEREF _Tc10649 \h 1
\l "_Tc13179" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc13179 \h 2
\l "_Tc31682" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc31682 \h 4
\l "_Tc15192" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15192 \h 4
\l "_Tc5320" 高频考点一：平面向量数量积的定义 PAGEREF _Tc5320 \h 4
\l "_Tc23437" 角度1：平面向量数量积的定义及辨析 PAGEREF _Tc23437 \h 4
\l "_Tc31467" 角度2：平面向量数量积的几何意义 PAGEREF _Tc31467 \h 5
\l "_Tc15101" 高频考点二：平面向量数量积的运算 PAGEREF _Tc15101 \h 6
\l "_Tc29880" 角度1：求数量积 PAGEREF _Tc29880 \h 6
\l "_Tc7269" 角度2：向量模运算 PAGEREF _Tc7269 \h 8
\l "_Tc7862" 角度3：向量的夹角 PAGEREF _Tc7862 \h 9
\l "_Tc1001" 角度4：两向量成锐角（钝角）求参数 PAGEREF _Tc1001 \h 10
\l "_Tc18250" 角度5：已知模求数量积 PAGEREF _Tc18250 \h 11
\l "_Tc15848" 角度6：已知模求参数 PAGEREF _Tc15848 \h 12
\l "_Tc2751" 高频考点三：向量的垂直关系 PAGEREF _Tc2751 \h 13
\l "_Tc31064" 高频考点四：向量的投影（投影向量） PAGEREF _Tc31064 \h 14
\l "_Tc14494" 高频考点五：平面向量的综合应用 PAGEREF _Tc14494 \h 16
\l "_Tc31307" 高频考点六：最值范围问题 PAGEREF _Tc31307 \h 17
\l "_Tc5304" 高频考点七：极化恒等式 PAGEREF _Tc5304 \h 20
\l "_Tc19781" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc19781 \h 21
\l "_Tc22929" 第五部分：高考新题型 PAGEREF _Tc22929 \h 23
\l "_Tc27270" ①开放性试题 PAGEREF _Tc27270 \h 23
\l "_Tc20236" ②探究性试题 PAGEREF _Tc20236 \h 23
\l "_Tc28799" 第六部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc28799 \h 24
\l "_Tc8068" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc8068 \h 24
\l "_Tc5893" ②数形结合的思想 PAGEREF _Tc5893 \h 25
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第一部分：知识点必背
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量和，如图所示，作，，则
()叫做向量与的夹角，记作．
(2)范围：夹角的范围是．
当时，两向量，共线且同向；
当时，两向量，相互垂直，记作；
当时，两向量，共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.
当时，，所以；
当时，，所以
综上可知，对于任意的，都有.
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量，为向量和的夹角：
2.1数量积
2.2模：
2.3夹角：
2.4非零向量的充要条件：
2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）
3、平面向量数量积的运算
①
②
③
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形中，则
②三角形形式：在中，为的中点，所以
5、常用结论
①
②
③
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
2．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）已知向量．若，则______________．
5．（2022·天津·统考高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知在方向上的投影为，则的值为
A．3B． C．2D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，||＝6，||＝3.若点是的中点，点是的三等分点，且，则·＝（ ）
A．6B．4C．3D．2
例题3．（2023春·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）在中，为边上上的中点，，．
（1）___________．
（2）为内一点，最小值为___________
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，，为的外心，则（ ）
A．5B．2C．D．
角度2：平面向量数量积的几何意义
典型例题
例题1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点为该三角形的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
例题2．（2023·全国·高一专题练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正六边形边长为1，点是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，P为正六边形边上的动点，则的值可能为（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
2．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．
3．（2023·全国·高一专题练习）在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：求数量积
典型例题
例题1．（2023·河南郑州·统考二模）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．12B．4C．3D．1
例题2．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．9B．C．16D．
例题3．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在边长为2的正三角形中，，，则（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023春·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考阶段练习）平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是___________.
练透核心考点
1．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知，，其中．满足，则（ ）
A．B．C．9D．22
3．（多选）（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的可能取值是（ ）
A．－2B．2
C．4D．8
4．（2023春·吉林·高一校考阶段练习）在中，，，，D是边BC上一点，，设，．
(1)试用，表示；
(2)求的值．
角度2：向量模运算
典型例题
例题1．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考阶段练习）已知向量与的夹角为60°，，，则（ ）
A．12B．16C．D．4
例题2．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）若平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）
A．B．C．5或2D．10或4
例题3．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知向量，满足，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023春·山西运城·高一校考阶段练习）已知向量，，且，则________．
练透核心考点
1．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考阶段练习）已知向量，若与方向相反，则=（ ）
A．54B．8C．D．
2．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）设平面向量，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知向量，为单位向量，，的夹角为，则_______．
4．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，且，则_________.
角度3：向量的夹角
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知向量满足，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）在以为边､为对角线的菱形中，，，则（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，若，则______
例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面四边形中，，，，，，则_______.
练透核心考点
1．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、点、点，，若，则与的夹角为( )
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量，满足，则______．
4．（2023·广东·统考一模）已知向量满足，则与的夹角为___________.
5．（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）如图，在梯形，，，，，.
(1)若，求的值；
(2)若，求与的夹角的正切值.
角度4：两向量成锐角（钝角）求参数
典型例题
例题1．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知，，向量与的夹角为，且与向量的夹角为钝角．则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中学校联考阶段练习）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________．
例题3．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知，且向量与不共线.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
例题4．（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．
(1)若且与垂直，求与的夹角；
(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023春·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为____________.
2．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________．
3．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
4．（2023春·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）设两个向量满足，
(1)求方向的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
角度5：已知模求数量积
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考阶段练习）已知向量满足则＝（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知，是单位向量，若，则，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．
练透核心考点
1．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）空间向量，，若，，，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（2023春·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考阶段练习）已知向量，满足，，则，则______．
3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知非零向量，，满足且，则的取值范围是______.
角度6：已知模求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知向量满足，，若与的夹角为，则的值为（ ）
A．2B．C．1D．
例题2．（2023·山西吕梁·高一校联考）已知单位向量，，与的夹角为.
(1)求证；
(2)若，，且，求的值.
练透核心考点
1．（2023春·安徽·高一校联考阶段练习）已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高二课时练习）已知空间三个向量､､的模均为1，它们相互之间的夹角均为.
(1)求证：向量垂直于向量；
(2)已知，求k的取值范围.
高频考点三：向量的垂直关系
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，，若，则__________
例题3．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）已知向量，，若，则______．
例题4．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知，，．
(1)求与的夹角；
(2)若，且，求实数的值．
练透核心考点
1．（多选）（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）已知向量，，与垂直，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考阶段练习）已知向量，，若，则______．
3．（2023春·宁夏银川·高一贺兰县第一中学校考阶段练习）已知两个非零向量与不共线，
(1)试确定实数k，使得与共线；
(2)若，且，求实数的值．
4．（2023春·湖北十堰·高一校考阶段练习）已知，.
(1)若与的夹角为，求；
(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？
高频考点四：向量的投影（投影向量）
典型例题
例题1．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·河南·统考模拟预测）已知，，且，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知向量，则在方向上的数量投影为___________
例题4．（2023·浙江温州·统考二模）若向量满足，且，则在方向上的投影的取值范围是______.
练透核心考点
1．（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知的外接圆圆心为O，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A．B．
C．D．
2．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知点，，，，则向量在方向上的投影向量的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·福建三明·高一校考阶段练习）若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知非零向量，满足，且则向量在向量上的投影为______.
高频考点五：平面向量的综合应用
典型例题
例题1．（多选）（2023春·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）是的重心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影等于2
C．
D．的最小值为
例题2．（多选）（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形，其中，，动点在上（含端点），连结交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
例题3．（2023春·福建泉州·高一校考阶段练习）已知平面向量，，函数.
(1)若，，求满足方程的值；
(2)已知函数为定义在上的减函数，且对任意的，都满足，是否存在实数，使对任意恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.
练透核心考点
1．（多选）（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知，是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．为锐角的充要条件是
C．若O为所在平面内一点，且，则O为的重心
D．若，且，则为等边三角形
2．（2023春·山东泰安·高一山东省泰安第二中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，，，，．
(1)若，，为轴上的一动点，点．当，，三点共线时，求点的坐标；
(2)若，，且与的夹角，求的取值范围．
高频考点六：最值范围问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，，，，设点为直角梯形内一点（不包含边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）在中，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
例题4．（2023春·湖北省直辖县级单位·高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）如图，已知直角的斜边长为4，设是以为圆心的单位圆的任意一点，为边的中线的中点，则__________，的取值范围为__________.
练透核心考点
1．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则•的取值范围为（ ）
A．[2，3]B．[4，3]C．[2，4]D．[2，5]
2．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，称为这个三角形的旁切圆．已知正的中心为，，点为与边相切的旁切圆上的动点，则的取值范围为_______．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，为外接圆上一个动点，若，则的最大值为__________.
4．（2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，.
(1)若，，求；
(2)若菱形的边长为6，求的取值范围.
高频考点七：极化恒等式
典型例题
例题1．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）圆为锐角的外接圆，，则的取值范围为__________．
练透核心考点
1．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）已知为圆的直径，点为直线上的任意一点，则的最小值为______．
第四部分：数学文化题
1．（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，给出下列结论：
①与的夹角为；
②；
③；
④在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）．
其中正确结论为（ ）
A．①B．②C．③D．④
2．（2023·河南安阳·统考二模）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
3．（多选）（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量为
C．若，则为的中点
D．若在线段上，且，则的取值范围为
4．（2023春·上海宝山·高三统考阶段练习）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
5．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则__________．
第五部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023·山东青岛·统考一模）已知，，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______．
2．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量满足，请写出一个符合题意的向量的坐标______.
3．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，非零向量满足，请写出的一个坐标________．
②探究性试题
1．（多选）（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；
②的模(表示向量，的夹角)．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A．B．与共线
C．D．与正方体表面积的数值相等
2．（多选）（2023春·湖北武汉·高一武钢三中校联考）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（ ）
A．设，，若，则，
B．设，则
C．设，，若，则
D．设，，若与的夹角为，则
第六部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知平面向量、满足，则的取值范围是______
2．（2023·浙江·模拟预测）已知，则的取值范围是_________．
3．（2023·天津·）在中，，，，，，则_________，若是线段上的一个动点，则的最小值为_____________.
②数形结合的思想
1．（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）设M为内一点，且，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·山东枣庄·高一滕州市第一中学新校校考阶段练习）已知的外接圆圆心为O， 为的重心且则_________
3．（2021春·陕西西安·高一统考期末）骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为__________．
4．（2020秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知向量，的夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为_________.