新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第03讲 等比数列及其前n项和 (高频精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5867" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc5867 \h 1
\l "_Tc10473" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc10473 \h 2
\l "_Tc10137" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc10137 \h 4
\l "_Tc1660" 高频考点一：等比数列定义 PAGEREF _Tc1660 \h 4
\l "_Tc11817" 高频考点二：等比中项 PAGEREF _Tc11817 \h 6
\l "_Tc10900" 高频考点三：等比数列通项公式 PAGEREF _Tc10900 \h 7
\l "_Tc22963" 角度1：等比数列基本量计算 PAGEREF _Tc22963 \h 7
\l "_Tc8995" 角度2：定义法证明或判断 PAGEREF _Tc8995 \h 8
\l "_Tc13975" 高频考点四：等比数列的性质 PAGEREF _Tc13975 \h 11
\l "_Tc4197" 高频考点五：等比数列的函数特征 PAGEREF _Tc4197 \h 13
\l "_Tc23597" 角度1：等比数列的单调性 PAGEREF _Tc23597 \h 13
\l "_Tc27692" 角度2：求等比数列的最大（小）项 PAGEREF _Tc27692 \h 14
\l "_Tc9561" 高频考点六：等比数列的前项和基本量计算 PAGEREF _Tc9561 \h 16
\l "_Tc13505" 高频考点七：等比数列的前项和性质 PAGEREF _Tc13505 \h 19
\l "_Tc12908" 角度1：等比数列片段和性质 PAGEREF _Tc12908 \h 19
\l "_Tc24503" 角度2：等比数列奇偶项和 PAGEREF _Tc24503 \h 20
\l "_Tc10021" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc10021 \h 23
\l "_Tc23642" 第五部分：高考新题型（开放性试题） PAGEREF _Tc23642 \h 27
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第一部分：知识点必背
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
3.等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
2．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
3．（2022·全国（甲卷文理）·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：等比数列定义
典型例题
例题1．（2023·北京·高三专题练习）已知数列中，，，为其前项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由得，又∵，∴数列为首项为1，公比为的等比数列，
∴，
故选：B.
例题2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．
【答案】
【详解】因为数列是以为公差的等差数列，则，
所以，，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·全国·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】由题意可得：，
即，且，
所以数列是以首项，公比的等比数列，则，
可得，
当时，，且满足上式，
故，
可得，即数列是以首项，公比的等比数列，
可得，
综上可得：，，，.
故A、C正确，B、D错误.
故选：AC.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，且、是函数的两个零点，则___________.
【答案】
【详解】因为在数列中，，，则，所以，，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
因为、是函数的两个零点，
由韦达定理可得，
因为，可得，所以，，
由等比中项的性质可得，因此，.
故答案为：.
高频考点二：等比中项
典型例题
例题1．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为是等差数列，所以，故，则，
因为是等比数列，所以，故，则，
所以.
故选：A
例题2．（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，，
因为成等比数列，所以，即，
因为，所以，
所以.
故选：A
例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）在各项为正数的数列中，，，则________．
【答案】4
【详解】由题意且，即为等比数列且，令公比为，
所以，则，故.
故答案为：4
练透核心考点
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列，，是方程的两根，则的值是（ ）
A．或B．2或C．D．
【答案】C
【详解】因为，是方程的两根，
所以，，且，都是负数，
又因为为等比数列，所以，所以，
且，所以.
故选：C
2．（2023春·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）在等比数列中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，得，
因为、、都为奇数项，在等比数列中应该为同号，所以，
故.
故选：A.
3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）等比数列中，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】A
【详解】因为等比数列，则，故.
故选：A
高频考点三：等比数列通项公式
角度1：等比数列基本量计算
例题1．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，公比为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
解得，A错误，C错误，D正确，
所以， B错误；
故选：D.
例题2．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区前锋学校校考期中）等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，
所以，所以，
所以
故选：C
例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考期中）已知公比大于的等比数列满足，，则的公比______．
【答案】
【详解】由题意可得，则，
上述两个等式作商可得，即，
因为，解得.
故答案为：.
角度2：定义法证明或判断
典型例题
例题1．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区前锋学校校考期中）若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可知，若数列为“梦想数列”，则，可得，
所以，“梦想数列”是公比为的等比数列，
若正项数列为“梦想数列”，则，所以，，
即正项数列是公比为的等比数列，
因为，因此，.
故选：B
例题2．（2023·四川凉山·三模）数列的前n项和为，若，，则______．
【答案】
【详解】由已知，，①，
当时，，
当时，②，
①－②得：，整理得：，即，
又符合上式，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，
所以.
故答案为：.
练透核心考点三
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等比数列满足，，则的公比（ ）
A．B．或C．或D．或
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，由，，可得，
则，即，解得或.
故选：C.
2．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知等比数列的前三项和为，则（ ）
A．81B．243C．27D．729
【答案】B
【详解】由.而，∴ ，
又，
.
故选：.
3．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（ ）
A．64B．81C．128D．192
【答案】B
【详解】由等比数列的性质可知，所以，
由，得，所以，解得或（舍去），
所以.
故选：B.
4．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区前锋学校校考期中）数列中，，，则等于（ ）
A．18B．27C．36D．54
【答案】D
【详解】由题意可得出，即可证明是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：D .
5．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）若正项数列满足，则（ ）
A．B．1C．6D．12
【答案】D
【详解】由可得，即
即数列是公比的等比数列，
又，可得；
将代入计算可得.
故选：D
高频考点四：等比数列的性质
典型例题
例题1．（2023·河南驻马店·统考二模）设等比数列的前项之积为，若，，则=（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【详解】因为，，所以，，
解得，，
则，故．
故选：C.
例题3．（多选）（2023春·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）在正项等比数列中，公比为，已知，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】正项等比数列的公比为，则，
由，得，B正确；
而，于是，即，A错误；
而，则，C错误；
由，得，即，因为，
因此，显然，所以，解得，D正确.
故选：BD
例题3．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）在正项等比数列中，，则__________.
【答案】5
【详解】数列为正项等比数列，则，
∵，，
∴.
故答案为：5.
练透核心考点
1．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为等比数列的各项均为正数，且，
由等比数列的性质可得，
所以，，即，
因此，
.
故选：B.
2．（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若已知，求的值.
【答案】32
【详解】∵，又，∴，
∴.
3．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则_________ .
【答案】5
【详解】因为与是方程 的两个根，所以，
因为为正项等比数列，所以，
所以，
故答案为：5.
高频考点五：等比数列的函数特征
角度1：等比数列的单调性
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比为．若为递增数列且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，，又，
∴要使为递增数列，则，
当时，为递增数列，符合题设；
当时，为递减数列，符合题设；
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项之积为，且，则取最小值时，的值是___________．
【答案】9
【详解】由得，即故
因为，则，由于，得
所以等比数列是递增数列，故
则取最小值时，
故答案为：9
例题3．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）设等比数列的前项和为，且满足①，②是递增数列，③.写出一个满足上述三个条件的的公比：__________.
【答案】2（答案不唯一，只要满足即可）
【详解】因为，是递增数列，所以．
由且，而，
所以．
故答案为：2（答案不唯一）
角度2：求等比数列的最大（小）项
典型例题
例题1．（多选）（2023·高二课时练习）已知等比数列各项均为正数，满足，，记等比数列的前项的积为，则当取得最大值时，（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】CD
【详解】因为，由等比数列的性质可得，
所以，因为，
所以，
因为，即，
所以，
∴，
因为，
所以等比数列为递减数列，
所以当时，，
∴当或时，取得最大值.
故选：CD
例题2．（2023春·高二课时练习）设正项等比数列的前项和为，，若，则数列中最大的项为_____.
【答案】
【详解】根据题意，设正项等比数列的公比为，其中，
因为，可得，解得或，
因为，所以，所以，
则，故，
当时，则由，
则有，
所以数列中最大的项为.
故答案为：.
练透核心考点五
1．（多选）（2023秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．与均为的最大值
【答案】BD
【详解】由题意知，
：由得，由得，
所以，又，所以，故错误；
：由得，故正确；
：因为是各项为正数的等比数列，，
有
所以，
所以，故错误；
：，
则与均为的最大值，故正确.
故选：
2．（多选）（2023春·高二课时练习）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（ ）
A．B．C．的值是中最大的D．T99的值是Tn中最大的
【答案】ABD
【详解】对于A，，，即，
，又，又，
，且，
，故A正确；
对于B，，，即，故B正确；
对于C，由于，而，故有，故C错误；
对于D，由题可知，
所以当时，，即，当时，，即，
∴T99的值是Tn中最大的，故D正确.
故选：.
3．（2023春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）设等比数列的前项和为，且满足①，②是递增数列，③，写出一个满足上述三个条件的一个数列通项=________.
【答案】(答案不唯一，只要满足,即可)
【详解】因为，是递增数列，所以
由且，而，
所以，即只需满足
取，则
故答案为:
高频考点六：等比数列的前项和基本量计算
典型例题
例题1．（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）已知等比数列满足，，若的前项和，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得，
所以.
因为，所以，
所以,解得.
故选:A.
例题2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【详解】因为，
当时，，
当时，，则，
当时，，则，
因为是等比数列，所以，则，
所以，解得，
则，
则.
故选：B.
例题3．（2023春·高二课时练习）在等比数列中．
(1)若，，，求和；
(2)已知，，求.
【答案】(1)，.
(2)或
【详解】（1）由得，解得，
又由得，解得.
所以，.
（2）显然，则，，
两式相除得，解得，
时可解得，则；
时可解得，则.
所以或
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．127B．254C．510D．255
【答案】D
【详解】设等比数列的首项为，公比为，则显然，
因为
所以，解得，
由，得，
所以.
故选:D.
2．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）在等比数列 中， 为数列的前n项和，，，则＝_______
【答案】21
【详解】设等比数列的公比为，由，，得，
而，于是，
所以.
故答案为：21
3．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）在等比数列中，，，则其前5项的和的值为________.
【答案】/
【详解】因为，
所以，
所以，即，
所以，
故.
故答案为：
高频考点七：等比数列的前项和性质
角度1：等比数列片段和性质
典型例题
例题1．（2023春·山东德州·高二统考期中）已知为等比数列的前项和，，，则的值为（ ）
A．85B．64C．84D．21
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，由题意可知，，得，
，
所以.
故选：A
例题2．（2023春·广西梧州·高二苍梧中学校考阶段练习）等比数列的前项和是,且,若,则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设,则,所以
由等比数列性质知成等比数列
所以,得,所以
所以
故选：D
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设这个等比数列共有项，公比为，
则奇数项之和为，
偶数项之和为，
，
等比数列的所有项之和为，则，
解得，因此，这个等比数列的项数为.
故选：C.
角度2：等比数列奇偶项和
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15B．30
C．45D．60
【答案】D
【详解】设，则，
又因为，所以，
所以.
故选: D
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
故选：B.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.
【答案】120
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
练透核心考点七
1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（ ）
A．B．43C．D．41
【答案】A
【详解】设，则，
因为为等比数列，
所以，，仍成等比数列．
因为，所以，
所以，故．
故选：A.
2．（2023春·湖北·高二校联考期中）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）
A．27B．45C．65D．73
【答案】C
【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，
所以有，即，
整理可得，解得（舍）或.
又因为，
所以有，解得.
故选：C.
3．（2023春·江西上饶·高二校考阶段练习）正项等比数列的前项和为，，，则等于（ ）
A．90B．50
C．40D．30
【答案】B
【详解】解：因为是正项等比数列的前项和，
所以，
所以，
又因为，，
所以，
所以，
解得或(舍).
故选：B.
4．（2023·高二课时练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
【答案】2
【详解】由题意, 设奇数项的和为,偶数项的和为,得
故公比
故答案为2
第四部分：数学文化题
1．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，，数列的前项和为.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，则，
所以，
则两边取对数可得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
故选：A.
2．（2023·全国·模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．15B．20C．24D．27
【答案】D
【详解】由题意可知，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故，所以2.
由，得，
整理得对任意，且恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数的最大值为27.
故选：D.
3．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.作为当今世界十分风靡和活跃的新理论､新学科，它的出现使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还具有深刻的科学方法论意义，由此可见分形的重要性.美国物理学大师JhnWheeler曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人.kch雪花曲线是一种典型的分形曲线，它的制作步骤如下：
第一步：任意画一个正三角形，记为，并把的每一条边三等分；
第二步：以三等分后的每一条边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，记所得图形为；
第三步：把的每一条边三等分，重复第二步的制作，记所得图形为；
同样的制作步骤重复下去，可以得到，直到无穷，所画出的曲线叫做kch雪花曲线.
若下图中的边长为1，则图形的周长为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【详解】解：设图形中的边数为，每条边的长度为，
所以，由题可知，数列的递推关系为，；
数列的递推关系为，，
所以，由等比数列定义与通项公式得图形的边数为，边长为，
所以，图形的周长为，
所以，当时，图形的周长为.
故选：D.
4．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，数列1，1，2，8，64，…为，且为一阶等比数列，
设，所以为等比数列，其中，，公比为，
所以，则，
所以第8项为．
故选：C.
5．（2023·全国·高二专题练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（ ）．
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【详解】不属于剩下的闭区间，属于去掉的开区间
经历第步，剩下的最后一个区间为，经历第步，剩下的最后一个区间为，……，
经历第步，剩下的最后一个区间为，去掉的最后开区间为
由化简得，解得
故选:A
6．（2023·全国·高三专题练习）如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形；把的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线段去掉，得到图形；依此下去，得到图形序列，，，，，，设的边长为1，图形的周长为，若，则n的值为________．（参考数据：，）
【答案】16
【详解】由题意可知，图形的边长为1，图形的边长为上一个图形边长的，图形的边长又是上一个图形边长的，……，
所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，
所以图形的边长为，
由图可知，各个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，
所以图形的边数为，
所以图形的周长为，
即，所以 ;
故答案为：16.
第五部分：高考新题型（开放性试题）
1．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知等比数列满足，则数列的通项公式可能是_________.（写出满足条件的一个通项公式即可）
【答案】（答案不为一，满足首项为的等比数列即可）
【详解】由，得，所以，所以，取，则（写出一个首项为的等比数列即可）.
故答案为：
2．（2023·北京·高三专题练习）已知等比数列满足，且其前n项和，则数列的通项公式可以是___________.（写出一个符合条件的即可）
【答案】（符合条件的一个即可）
【详解】由题意知，设等比数列的公比为，
由，得，
若，则，
由得，所以，
则可满足上述条件.
故答案为：.
3．（2022春·北京房山·高二北京市房山区房山中学校考期中）无穷数列满足①，②，写出一个同时满足这两个条件的通项公式______________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：依题意无穷数列满足①，②，不妨令，
满足，且，即；
故答案为：（答案不唯一）