新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第05讲 空间向量及其应用(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4278" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc4278 \h 1
\l "_Tc15592" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc15592 \h 6
\l "_Tc20462" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc20462 \h 7
\l "_Tc26426" 高频考点一：空间向量的线性运算 PAGEREF _Tc26426 \h 7
\l "_Tc10930" 高频考点二：共线、共面向量定理的应用 PAGEREF _Tc10930 \h 10
\l "_Tc5347" 高频考点三：向量数量级及其应用 PAGEREF _Tc5347 \h 13
\l "_Tc1648" 角度1：求空间向量的数量积 PAGEREF _Tc1648 \h 13
\l "_Tc30619" 角度2：利用数量积求长度 PAGEREF _Tc30619 \h 17
\l "_Tc4121" 角度3：利用数量积求夹角 PAGEREF _Tc4121 \h 21
\l "_Tc2644" 角度4：利用向量解决平行和垂直问题 PAGEREF _Tc2644 \h 27
\l "_Tc31090" 角度5：向量的投影和投影向量 PAGEREF _Tc31090 \h 30
\l "_Tc22489" 高频考点五：空间向量夹角为钝角（锐角）求参数 PAGEREF _Tc22489 \h 32
\l "_Tc10702" 高频考点六：数量积最值（范围） PAGEREF _Tc10702 \h 34
\l "_Tc23324" 高频考点七：求法向量 PAGEREF _Tc23324 \h 38
\l "_Tc17823" 高频考点八：利用空间向量证明平行与垂直 PAGEREF _Tc17823 \h 42
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第一部分：知识点必背
知识点一：空间向量的有关概念
1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
2、几类特殊的空间向量
知识点二：空间向量的有关定理
1、共线向量定理：
对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
（1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
2、共面向量定理
如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
（1）空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
（2）拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
3、空间向量基本定理
如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得
知识点三：空间向量的数量积
1、空间两个向量的夹角
（1）定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
（2）范围：．
特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的．
（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0