新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第06讲 第六章 数列（综合测试）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）在数列，，，，…，，…中，是它的（ ）
A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项
【答案】C
【详解】令，化简得，解得n=10.
故选：C.
2．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）数列中，，，，则（ ）
A．B．9C．D．13
【答案】A
【详解】由，，，可得，
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题意可得
，故选A．
4．（2023·全国·高三对口高考）已知数列满足，且对任意的正整数，，都有，若数列的前n项和为，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】令，则，
所以数列是以公比，首项为的等比数列，
所以，
故选：C．
5．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102B．103C．104D．105
【答案】C
【详解】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，
由已知是的倍数，也是的倍数，
故为的倍数，
所以首项为，公差为的等差数列，
所以，
令，可得，又
解得，且，
故获得精品足球的人数为.
故选：C.
6．（2023春·高二课时练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，，，.该数列的特点如下：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，，则，
故当时，
，
此时，
又∵，因此，.
故选：C.
7．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】数列满足，①
当时，，②
①②得，，故，
则，
则，
由于恒成立，
故，
整理得：，
因随的增加而减小，
所以当时，最大，且为，
即.
故选：D
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列由首项及递推关系确定．若为有穷数列，则称为“坏数”．将所有“坏数”从小到大排成数列，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
注意到： 是有穷数列的条件是，即，这是第一个坏数，
再由：，这是第二个坏数，
依此类推， 满足：，
即：，
注意到：，
则，且有：，，
一方面：，
，
则，
，
则，
另一方面：，
故，
则，
，
则，
则，
，故正确，
同理，我们有：，
，综上所述，故均错．
故选．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期末）已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A．B．数列的通项公式为：
C．数列的前n项和为：D．数列为递减数列
【答案】ACD
【详解】因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，
，
所以
，
故C正确；
因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，
故D正确.
故选:ACD.
10．（2023春·山东青岛·高二山东省青岛第十九中学校考阶段练习）记为等差数列的前项和，则（ ）
A．B．
C．，，成等差数列D．，，成等差数列
【答案】BCD
【详解】由已知得，
A选项，，，，所以，A选项错误；
B选项，，B选项正确；
C选项，，，，，，则，C选项正确；
D选项，，，，则，D选项正确；
故选：BCD.
11．（2023秋·安徽滁州·高二校联考期末）已知数列满足，（，），其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，数列是等比数列B．当时，数列是等差数列
C．当时，D．数列总存在最大值
【答案】ACD
【详解】对选项A，当时，，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，故A正确；
对选项B，当时，，，即，
所以数列是等差数列，故B错误；
对选项C，当时，，，
所以是等差数列，又，所以，所以，故C正确；
对选项D，当时最大值是；
当时，，，
当时，，所以数列最大值为；
当时，，，
所以最大值是，故D正确．
故选：ACD．
12．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．则（ ）

A．数列是以4为首项，为公比的等比数列
B．从正方形开始，连续个正方形的面积之和为32
C．使得不等式成立的的最大值为3
D．数列的前项和
【答案】ACD
【详解】对于A选项，由题意知，且，
所以，又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；
对于B选项，由上知，，，，，
所以，故B错误；
对于C选项，，
易知是单调递减数列，且，，
故使得不等式成立的的最大值为，故C正确；
对于D选项，因为，且，
所以，所以，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023·广东·高三专题练习）已知无穷数列满足，，，写出满足条件的的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）
【答案】（答案不唯一）
【详解】由，，，
猜想.
故答案为：.（答案不唯一）
14．（2023·江苏无锡·校联考三模）已约是一组平面向量，记，若，则满足的的值为______.
【答案】5或6
【详解】记的前项和为，则，
因为，所以，
又，所以，整理得，
解得或或，因为，所以或.
故答案为：或
15．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中摄出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了子安贝（其中，），数列的前n项和为．若关于n的不等式恒成立，则实数t的取值范围为____．
【答案】
【详解】由题意可知，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故．
所以．
由，得，
整理得对任意，且恒成立．
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以t＜15，即实数t的取值范围是
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）若在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列进行构造，第一次得到数列；第二次得到数列；依次构造﹐第次得到数列.记，则___________，设数列的前项和为，则___________.
【答案】
【详解】∵，，···，
通过规律可发现，
∴，
即，
∴.
故答案为：；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知两个正项数列，满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)若数列满足，其中表示不超过的最大整数，求的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由，得，
由，得，，因为是正项数列，，
；
（2）因为，
所以，
所以当时
，
当时满足，
所以.
18．（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为，
①，，
当时，有，
当时，②，
由①②得，即，
，，
，
；
（2）由（1）得，则，
，，
，
．
19．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知，∵，∴，
∵，
∴，
又∵，∴，
∴易知数列中任意一项不为，∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由第（1）问，，∴，
∴设数列的前项和为，则
①，
①得，
②，
①②得，
，
∴，
∴.
∴数列的前项和为.
20．（2023·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，且，_______.
请在（1）;（2）成等比数列;（3），这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
注:如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，即，所以数列是首项为，公差为2的等差数列.
若选（1）:由，得，即，
所以，解得，所以，
即数列的通项公式为.
若选（2）:因为成等比数列，
所以，即，解得，
所以，即数列的通项公式为.
若选（3）:由，得，即，
所以，即数列的通项公式为.
（2）由（1）得，令，得，所以当时，
，
当时，
综上所述，
21．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，得，
当时，，
整理得，即，
又时，也适合上式，
故.
（2）若不等式对恒成立，即对恒成立，
即对恒成立，
令，
则
，
则为递增数列，所以当时，取得最小值，
所以.
22．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）已知正项数列的前项和为，在①，且；②；③，，这三个条件中任选一个，解答下列问题：
(1)证明数列是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若恒成立，求的最小值.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析，；
(2)
【详解】（1）若选择条件①：因为，
所以，又，所以，即，
又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；
若选择条件②：因为，所以当时，有，
两式相减，得，即（），
又，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以；
若选择条件③：由，得，即，
又，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以；
（2）由（1）知，，
则，
因为数列为递增数列，所以的最小值为，
又恒成立，则，解得，
故的最小值为.