新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第07讲 抛物线(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8763" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc8763 \h 1
\l "_Tc11931" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc11931 \h 2
\l "_Tc21489" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc21489 \h 4
\l "_Tc27708" 高频考点一：抛物线定义理解 PAGEREF _Tc27708 \h 4
\l "_Tc4964" 高频考点二：利用抛物线定义求轨迹 PAGEREF _Tc4964 \h 5
\l "_Tc29444" 高频考点三：抛物线中的距离及最值问题 PAGEREF _Tc29444 \h 7
\l "_Tc9544" 高频考点四：抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc9544 \h 11
\l "_Tc27074" 高频考点五：抛物线的简单几何性质 PAGEREF _Tc27074 \h 12
\l "_Tc24181" 高频考点六：抛物线焦点弦（焦半径） PAGEREF _Tc24181 \h 14
\l "_Tc32290" 高频考点七：求实际问题中的抛物线 PAGEREF _Tc32290 \h 16
\l "_Tc6458" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc6458 \h 19
第一部分：知识点必背
知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质
知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
第二部分：高考真题回归
1．（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
2．（多选）（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

3．（2023·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：抛物线定义理解
典型例题
例题1．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】到其准线的距离为，
故抛物线方程为，
故选：A
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为,是上一点，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】依题意知，焦点，
由定义知：，
所以，所以．
故选：C.
练透核心考点
1．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】B
【详解】由抛物线的准线方程为，焦点，
因为抛物线上一点的纵坐标为2，
根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为.
故选：B.
2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知点是抛物线：的焦点，是抛物线上的一点，若，，则点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设点的坐标为，
由题意，得，所以，
根据抛物线的定义，知，
所以，代入抛物线方程得，，
则，
故选：C．
高频考点二：利用抛物线定义求轨迹
典型例题
例题1．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）已知动圆经过点，且与直线：相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
故选：A.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）动点到轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．
【答案】或．
【详解】解：∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2，
∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等．
∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且．
∴抛物线的方程为，
又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2，
∴M点的轨迹方程为②．
综上，得动点M的轨迹方程为或．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若点满足方程，则点P的轨迹是 ．
【答案】抛物线
【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离.
整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，
其轨迹为抛物线.
故答案为：抛物线
2．（2023·全国·高三专题练习）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】解：由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，
设抛物线的方程为，
可知，解得，
所以该抛物线方程是，
故答案为：
高频考点三：抛物线中的距离及最值问题
典型例题
例题1．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
【答案】A
【详解】，故,
记抛物线的准线为，则：，
记点到的距离为，点到的距离为，
则.
故选：A.

例题2．（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当垂直于抛物线的准线时，最小，
此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，
半径为，所以的最小值为.
故选：C
例题3．（2023·河北沧州·统考三模）设为抛物线：上的动点，关于的对称点为，记到直线的距离分别，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，

因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点，
所以
.
当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.
故选：A
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，，则的最小值为 .
【答案】4
【详解】解：如图所示：
设点M在准线上的射影为D，
由抛物线的定义知，
∴要求的最小值，即求的最小值，
当D，M，P三点共线时，最小，
最小值为.
故答案为：4
练透核心考点
1．（2023·广西·校联考模拟预测）抛物线的焦点为F，点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】A
【详解】如图，过点P作PH垂直于准线，垂直为H，
根据抛物线的定义，所以当A，P，H三点共线时最小，
此时.
故选：A．

2．（2023春·四川遂宁·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．10B．16C．11D．26
【答案】C
【详解】记抛物线的准线为，作于，由抛物线的定义知，
所以，当，，三点共线时，有最小值，最小值为．
故选：C
3．（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【答案】D
【详解】由焦点到其准线的距离为得；
设在准线上的射影为如图,
则，
当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4．
故选：D．
4．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，则的最小值为 .
【答案】7
【详解】依题意，如图所示：
其中，准线，
由抛物线的定义知：，
要使取得最小值，只需点移动到点时，
三点共线时取得最小值，
此时准线，
所以的最小值为：.
故答案为：7.
高频考点四：抛物线的标准方程
典型例题
例题1．（2023春·陕西商洛·高二统考期末）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意可设的标准方程为，
因为的焦点到准线的距离为3，所以，
所以的标准方程为.
故选：A
例题2．（2023春·云南保山·高二统考期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 .
【答案】
【详解】设方程为，则有，
解得，即有.
故答案为：.
例题3．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若抛物线的焦点到准线的距离为，且的开口朝上，则的标准方程为 .
【答案】
【详解】依题意可设C的标准方程为，
因为C的焦点到准线的距离为，所以，
所以C的标准方程为.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是 .
【答案】
【详解】设方程为，则有，解得，即有，
所以过点且焦点在y轴上的抛物线的标准方程为.
故答案为：
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，则此抛物线的标准方程为 ．
【答案】
【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，
所以设抛物线方程为，
将点代入可得，
所以此抛物线的标准方程为．
故答案为：．
高频考点五：抛物线的简单几何性质
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左B．焦点坐标为C．准线为D．对称轴为轴
【答案】AD
【详解】对选项A，，开口向左，故A正确；
对选项B，，焦点为，故B错误；
对选项C，，准线方程为，故C错误；
对选项D，，对称轴为轴，故D正确.
故选：AD
例题2．（2023·高二课时练习）对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，2)B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0)D．开口向上，焦点为
【答案】A
【详解】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为.
故选A项.
练透核心考点
1．（多选）（2023春·广东湛江·高二统考期末）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为
【答案】AC
【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
2．（2023·高二课时练习）在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线.
（1）；
（2）；
（3）．
通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系．
【答案】答案见解析.
【详解】在同一平面直角坐标系内做出抛物线，如图，
通过图象可以看出来，当x的系数为正数且越大时，抛物线的开口向右且开口越大.
高频考点六：抛物线焦点弦（焦半径）
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）已知点为抛物线：上一点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】将代入，得，
所以抛物线C：，焦点，准线方程为，
由抛物线的定义知.
故选：D.
例题2．（2023秋·广东广州·高二广州市白云中学校考期末）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则 ．
【答案】
【详解】因为抛物线，所以,
因为是抛物线的焦点，点在抛物线上，
由抛物线的定义可得：.
故答案为：.
例题3．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）过抛物线：焦点的直线交抛物线于，两点，若线段的中点到的准线的距离等于9，则 ．
【答案】
【详解】因为抛物线M：，所以记抛物线M的焦点为F，抛物线准线方程为，
设，，，则，
所以点P到M的准线的距离为，
所以，
由抛物线定义知：，，
则
故答案为：．
练透核心考点
1．（2023·河南新乡·统考二模）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，，若的面积为，则（ ）
A．4B．3C．5D．2
【答案】A
【详解】由题意知,准线方程为，
设．因为，的面积为，
所以，则，所以．
故选：A
2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上不同两点，且中点的横坐标为，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】D
【详解】解：由题知，即，设，
因为中点的横坐标为，所以，
所以，由抛物线焦半径公式得
故选：D．
3．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为3，则 .
【答案】10
【详解】根据抛物线的定义可得，又，所以.
故答案为：10.
高频考点七：求实际问题中的抛物线
典型例题
例题1．（2023·湖北·统考模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（ ）（结果精确到0.01）
A．4.96B．5.06C．4.26D．3.68
【答案】A
【详解】如图，
设该抛物线的方程为，易知抛物线经过点，
所以，解得，故该抛物线的顶点到焦点的距离为，
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为：米.
故选：A
例题2．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为 cm.
【答案】
【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，
设抛物线的标准方程为，则，解得.
故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图，设口径的轴截面为.
以点为坐标原点，以的垂直平分线为轴，过点作的平行线为轴，建立平面直角坐标系.
则由已知可设抛物线的方程为，点坐标为，
将点坐标代入抛物线方程可得，解得.
所以抛物线的焦点到顶点的距离为.
故选：D.
2．（2023秋·山东德州·高二统考期末）如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为 米．
【答案】4.5/
【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，
将代入，得，所以．
设，代入，得．
所以拱桥到水面的距离为．
故答案为：4.5.
第四部分：数学文化题
1．（2023春·江苏镇江·高二统考期中）青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，
设抛物线的方程为，其焦点为，
碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为，
设，过中点作轴，
由抛物线的定义可得，解得，
所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.
故选：B.

2．（2023·河北·统考模拟预测）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．年阿塔姆斯又曾作了许多研究和改进，到了年全世界就有了许多太阳灶的专利，有了各种各样形式的太阳灶．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为，高为的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，根据图可得点在抛物线上即
解得，轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为．
故选：A
3．（2023·江西南昌·统考三模）两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯发现用平面切割圆锥可以得到不同的曲线.用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支.已知圆锥的轴截面是一个边长为的正三角形(为圆锥的顶点)，过的中点作截面与圆锥相交得到抛物线，将放置在合适的平面直角坐标系中可得到方程，则 .
【答案】/0.5
【详解】
如图，取底面圆的圆心为，作于点，
因为,所以根据线面平行的判定定理可知，
过的中点作截面与圆锥相交得到抛物线过，
且,
作出抛物线的图象如下，
则有点,
因为点在抛物线上，所以，解得，
故答案为: .
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长