新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第08讲：拓展一：基本不等式（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16460" 基本不等式必背知识 PAGEREF _Tc16460 \h 1
\l "_Tc31379" 基本不等式高频考点类型 PAGEREF _Tc31379 \h 3
\l "_Tc14944" 类型一：直接法 PAGEREF _Tc14944 \h 3
\l "_Tc25474" 类型二：凑配法 PAGEREF _Tc25474 \h 6
\l "_Tc20784" 类型三：分离法 PAGEREF _Tc20784 \h 8
\l "_Tc9430" 类型四：换元法 PAGEREF _Tc9430 \h 11
\l "_Tc3074" 类型五：常数代换“1”的代换 PAGEREF _Tc3074 \h 13
\l "_Tc18321" 类型六：消元法 PAGEREF _Tc18321 \h 16
\l "_Tc15196" 类型七：对钩函数 PAGEREF _Tc15196 \h 18
基本不等式必背知识
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、对钩函数：
对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.

5、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
基本不等式高频考点类型
类型一：直接法
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．的最小值是2B．的最小值是2
C．的最小值是2D．的最小值是2
例题3．（多选）（2022秋·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，
B．若，则的最小值是
C．当时，
D．的最小值是
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三对口高考）下列结论正确的是（ ）
A．有最小值2B．有最小值2
C．时，有最大值-2D．时，有最小值2
3．（2022秋·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．B．
C．D．
类型二：凑配法
典型例题
例题1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．B．4
C．D．
例题2．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
例题3．（2023秋·山西吕梁·高一统考期末）设，，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
练透核心考点
1．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）已知函数，则此函数的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知，则的最小值是________；
4．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知函数，且.
(1)求a的值；
(2)当x>1时，求函数f(x)的最小值．
类型三：分离法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取最小值，则（ ）
A．B．2C．4D．6
例题2．（2022秋·云南楚雄·高一云南省楚雄第一中学校考阶段练习）函数 的最小值是（ ）
A．B．3C．6D．12
例题3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数的值域是__________．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________.
3．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）已知，的最小值为____________.
4．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）
求函数的最小值．
类型四：换元法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022秋·福建泉州·高三校联考期中）函数在上的最大值为_______________．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为________.
练透核心考点
1．（2022秋·湖北襄阳·高三枣阳一中校考阶段练习）函数 的最小值为______．
2．（2022春·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）函数的最小值为___．
类型五：常数代换“1”的代换
典型例题
例题1．（2023春·河南信阳·高一统考开学考试）若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例题2．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．5C．8D．9
例题3．（2023春·天津·高三校联考期末）已知，则的最小值为__________.
练透核心考点
1．（2023春·海南·高一统考学业考试）设，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．5D．
2．（多选）（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是1B．的最小值是4
C．的最大值是D．的最小值是1
3．（2023·贵州贵阳·统考一模）正实数a，b满足，则的最小值为__________．
类型六：消元法
典型例题
例题1．（2023秋·天津·高三统考期末）若，，，则的最小值为_______．
例题2．（多选）（2023秋·安徽黄山·高一统考期末）已知、，，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．的最小值为8
C．的最小值为3D．的最小值为4
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（ ）
A．有最小值为+1B．有最小值为+1C．有最小值为D．有最小值为4
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
类型七：对钩函数
典型例题
例题1．（2023春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知，则函数（ ）．
A．有最小值4B．有最大值4C．无最小值D．有最大值5
例题2．（2023·高一课时练习）下列函数的最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若，则的取值范围为__________．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．（其中）
C．D．（其中）
3．（2023·高一课时练习）已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．（1，4）
函数
（）
常考对钩函数
（）
定义域
定义域
值域
值域
奇偶性
奇函数
奇偶性
奇函数
单调性
在，上单调递增；在，单调递减
单调性
在，上单调递增；在，单调递减