新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第11讲 拓展四：导数中的隐零点问题 (高频精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点必背
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：
①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
(2)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.
第二部分：高频考点一遍过
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)当时，函数在单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；
(2).
【详解】（1）因为函数，
所以，
当时，，所以函数在单调递增，
当时，另，得，
当时，，所以函数单调递增，
当时，，所以函数单调递减，
综上所述，当时，函数在单调递增，
当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；
（2）若不等式恒成立，则有，
即，
化简得，
设函数，，
，
令得，即，
所以存在，使得成立，
所以，①，
且，即，②，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
代入①②，可得，
要使得恒成立，则即可，
所以.
例题2．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数．
(1)若时，函数有2个极值点，求的取值范围；
(2)若，，方程有几个解？
【答案】(1)
(2)两个
【详解】（1）时，，，
则方程有两实根，即有两实根．
设，，则时，，单调递减；
时，，单调递增，
所以，且，时，，
所以当有两个实根时，；
（2）当，时，设，
则，，
因为在上单调递增，且，．
所以恰有一根，且，．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
且，．
所以有且仅有两个实根，即方程有且仅有两个实根．
例题3．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数.
(1)若，证明：存在唯一的极值点.
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）当时，，，
因为函数，在上单调递减，所以在上单调递减，
，，所以在上存在唯一一个零点，且当时，，时，，
所以在上单调递增，上单调递减，存在唯一的极值点.
（2），可以转化为，
，在上单调递减，
当，即或时，在上大于零，在上单调递增，所以，解得，
所以或；
当时，，时，，所以在上存在一个零点，，
所以在上单调递增，上单调递减，
，
因为，所以，，，则，所以成立；
综上可得，的取值范围为.
例题4．（2023·上海·高三专题练习）已知函数．
(1)设，求在 上的最大值；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
（1）
解：因为，则，其中，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，
所以，对任意的恒成立，且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，
所以，当时，.
（2）
证明：因为，则，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，，，，
由零点存在定理可知，函数在区间上必有一个零点，且.
所以.
所以，当时，，当时，，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
，.
对称轴为，所以当时，，
所以，，
综上所述，当时，.
例题5．（2023秋·山东青岛·高二青岛二中校考期末）已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
，
∵，
∴切点为，
∵，
∴切线斜率，
∴切线方程为
（2），．
当时，，单调递增，
∴，．
，，
令，，
∴在上单调递增，且，，
∴，使得，即，
也即．
令，，，
显然时，，单调递增，
∴，即．
∵当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
∴．
∵，，都有，
∴，得，
故实数的取值范围为．
练透核心考点
1．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知函数（k为常数，且）．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，，
所以，
所以，
所以在处的切线的斜率为，
所以在处的切线方程为，即.
（2）因为，，
所以，
因为函数在区间上存在极值，
所以，使得，两侧的导数异号，
所以，即，，
令，，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增，
所以，即,
所以实数k的取值范围为.
2．（2023·贵州·校联考二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在上的单调性．
【答案】(1)
(2)在上是减函数．
【详解】（1），
∴，又，
∴曲线在点处的切线方程是，
即；
（2）令，
则在上递减，且，，
∴，使，即，
当时，，当时，，
∴在上递增，在上递减，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，故，
∴在上是减函数．
3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知函数
(1)若，求的极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，恒成立，求的最大整数值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）当时，，的定义域为，，
所以在区间，，递减；在区间，，递增．
所以当时，取得极小值．
（2）的定义域为，．
令，，
当时，恒成立，所以即在上递增．
当时，在区间，，即递减；
在区间，，即递增．
（3）当时，，，
由（2）知，在上递增，，，
所以存在使得，即．
在区间，，递减；在区间，，递增．
所以当时，取得极小值也即是最小值为，
∵，∴，所以．
由恒成立，得，故的最大整数值为．
4．（2023秋·天津·高三统考期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．
(1)求a的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对成立，求b的取值范围．
【答案】(1)2
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）的定义域为，
，
由于直线的斜率为，.
（2），，
①当时，，在R上单调递增；
②当时，令有，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述：，的单调递增区间为R，
，的单调减区间为，的单调增区间为.
（3）由恒成立，
等价于，
令（），
，
①若时，，所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则，所以在上单调递增，
当趋近于0时，趋近于，不成立，
故不满足题意.
③若时，令，，，，
，单调递减，，单调递增，
只需即可，
，，
令，，在上单调递增，
，时，，
，，所以在上单调递增，
，即，
综上：.
5．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数．
(1)若，求的极小值．
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：有且只有个零点．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，的定义域为，
，
在区间递减；
在区间递增．
所以当时，取得极小值．
（2）的定义域为，
．
令，
当时，恒成立，所以即在上递增．
当时，在区间即递减；
在区间即递增．
（3）当时，，
由（2）知，在上递增，，
所以存在使得，即．
在区间，递减；在区间递增．
所以当时，取得极小值也即最小值为，
由于，所以．
，
，
根据零点存在性定理可知在区间和，各有个零点，
所以有个零点．