新高考数学二轮专题圆锥曲线精练第14讲 设点设线技巧之设线技巧归纳总结（2份，原卷版+解析版）

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一．解答题（共16小题）
1．已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别是、．
（1）若△为等边三角形，求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的短轴长为2，过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，求直线的方程．
【解答】解：（1）椭圆的两个焦点分别为、，
短轴的两个端点分别是、，△为等边三角形，
，解得，
椭圆的标准方程为．
（2）椭圆的短轴长为2，椭圆的两个焦点分别为、，
椭圆的标准方程为，
过点直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，
当直线的斜率不存在时，直线为，此时以为直径的圆不经过点，不成立；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由，得．
设，，，，则
，，
，，，，
过点的直线与椭圆相交于、两点，且以为直径的圆经过点，
，，
，解得，即．
故直线的方程为或．
2．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心，，过点作 轴，垂足为，则，
，
，化为．
当时，也满足上式．
动圆圆心的轨迹的方程为．
（Ⅱ）设，，，
由题意可知，，．
轴是的角平分线，，
，，化为．
直线的方程为，
，化为，
化为，
，令，则，
直线过定点
3．设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点且为原点），求直线的斜率．
【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为，
依题意，，
又，可得，，，
所以，椭圆的方程为．
（2）由题意，设，，，，
设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，
与椭圆方程联立整理得，
可得，代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得，即，
所以直线的斜率为，
由，得，化简得，
从而．
所以，直线的斜率为或．
4．已知椭圆，抛物线，点，斜率为的直线交抛物线于、两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于、两点．
（1）若抛物线的准线经过点，求抛物线的标准方程和焦点坐标：
（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线的准线方程，焦点坐标，
则，抛物线的标准方程为，焦点．
（2）设，，，，，，，，
由，得点在直线上，且，
且四边形的面积．
，
由，得，
则，
，
因为，所以，
由，的斜率分别为，由图知必过点，
可设，且，
故直线，令，
则直线，代入椭圆方程，
得，
，
，
点 到的距离，
四边形的面积，
当且仅当时，面积最大为．
5．已知椭圆过点，左右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰好为线段的中点，为坐标原点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）与直线的斜率相同的直线与椭圆相交于，两点，求当的面积最大时直线的方程．
【解答】解：（1）由椭圆过点，则，①
连接，由为线段的中点，为线段的中点，
则，则，
由，②
由①②得，，
则椭圆的离心率；
（2）由（1）椭圆与方程，直线的斜率，
不妨设直线的方程，设，，，，
，整理得：，
则△，解得：，
，，
，
由到的距离，
则的面积，
当且仅当时，取等号，即，
则直线的方程．
6．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点（不同于点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，则①，
又过点，所以，解得，
由①可得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知，点，设，，，，
联立方程组，可得，
所以，
所以，
，
因为，所以，
整理可得，，
所以，
化简整理可得，，
解得或，
若，则过点，则，与点重合，不符合题意，
所以，
故存在定值，使当变化时总成立．
7．如图，已知椭圆经过点，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点，直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．
【解答】解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，①②
由①②得，，，
故椭圆的标准方程为．（4分）
（Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，
设的斜率为，则直线的方程为③．（5分）
代入椭圆方程，
整理得．（6分）
设，，，，
则有④．（7分）
在方程③中，令得，，从而，，．（9分）
又因为、、共线，则有，
即有，
所以
⑤
将④代入⑤得，（12分）
又，
所以，即，，成等差数列．．（13分）
8．已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上，直线的斜率为，直线被圆截得的线段的长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线为原点）的斜率的取值范围．
【解答】解：（1）由已知有，又，可得，
设直线的方程为，由圆心到直线的距离公式可得，，
故所求的椭圆方程为；
（2）设点的坐标为，直线的斜率为，
联立消去整理，
可解得或．
再设直线的斜率为，
再联立
①当时，故得
②当时，故得
综上直线的斜率的取值范围．
9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且在第一象限，满足，
（1）求抛物线的方程；
（2）已知经过点的直线交抛物线于，两点，经过定点和的直线与抛物线交于另一点，问直线是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，，满足，的的坐标为，，在抛物线上，
所以，即，，解得，所以抛物线的方程为：；
（2）设，，，，，，则，，
直线的斜率，
则直线的方程为：，即①，
同理可得直线的方程整理可得②，
将，分别代入①，②的方程可得，消可得，
易知直线，则直线的方程为：，
即，故，
所以，
因此直线恒过定点．
10．设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段的中点．
（1）若是正三角形为坐标原点），求此三角形的边长；
（2）若，求直线的方程；
（3）试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）
【解答】解：（1）设的边长为，
则，，，；
（2）设直线，
时，，符合题意；
时，方程联立可得，设，，，，
则，，
，，
，
，
，
△，，
，
，舍去，
综上所述，直线的方程为，；
（3）时，直线有4条；
，，时，2条；
，，1条．
11．如图，已知椭圆与圆在第一象限相交于点，椭圆的左、右焦点，都在圆上，且线段为圆的直径．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，且直线与轴相交于点，为线段的中点，为坐标原点，若，求的最大值．
【解答】解：（1）圆的圆心为，半径为，
由题意可得，，
由中位线定理可得，即，
由椭圆的定义可得，即，
又，
即为，解答，，
则椭圆方程为；
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，
可得，
设，，，，可得：
，，
由中点坐标公式可得，，
，由，可得，即，
即有的坐标为，，
，
又
，
即有
，
当，即，时，取得最大值．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值．
【解答】解：（1）点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，
，将点坐标代入椭圆方程可得，
又，联立可解得，，
椭圆的方程为；
（2）设切点坐标为，则．
整理，得．
，设，，，，
联立，可得，
△．
．
的中点坐标为，
的垂直平分线方程为，令，得，
即，．
，，当且仅当时取得等号．
直线的斜率的最小值为．
13．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，线段的中点为，直线与直线的交点为．判断是否为定值．若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
【解答】解：（1）设过点且与直线垂直的直线为，
则，解得，即，
由，解得，即圆心坐标为，
所以半径，
所以圆的方程为．
（2）当直线的斜率存在时，设过点的直线为，
所以，消去得，
设，、，，则，，
所以，所以的中点，
由解得，即，
所以，，
所以；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由，解得或，
即、，所以，所以，
又解得，即，
所以，所以，
综上可得．
14．下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
（1）圆上点，处的切线方程为 ．理由如下： ．
（2）椭圆上一点，处的切线方程为；
（3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，如图，则直线的方程是 ．这是因为在，，，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；
（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，
化简得△得．
若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ．
（5）抛物线上一点，处的切线方程为；
（6）抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，分别过点，作抛物线的两条切线和，设，，，，则直线的方程为．直线的方程为，设和相交于点．则①点在以线段为直径的圆上；②点在抛物线的准线上．
【解答】解：（1）圆上点，处的切线方程为．
理由如下：
①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，
所以，
又过点，，
由点斜式可得，，
化简可得，，
又，
所以切线的方程为；
②若切线的斜率不存在，则，
此时切线方程为．
综上所述，圆上点，处的切线方程为．
（3）在，，，两点处，椭圆的切线方程为和，
因为两切线都过点，
所以得到了和，
由这两个“同构方程”得到了直线的方程为；
（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，
由，可得，
由△，可得，
因为，
则，
所以式中关于的二次方程有两个解且其乘积为，
则，
可得，
所以圆的半径为2，且过原点，其方程为．
故答案为：（1），理由见解析；
（3）；
（4）．
15．如图1，在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，、是左、右焦点．
（1）已知椭圆内有一点，在椭圆上有一动点，则求的最大值和最小值分别是多少？
（2）如图1，若直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，设过点垂直于的直线为．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
（3）如图2，若直线过左焦点交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过两个定点．
（4）如图3，若，是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上除，外的任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为为定值．
（5）如图4，若动直线与椭圆有且只有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．
（6）如图5，若过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点．试探究：线段上是否存在点使得，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由．
（7）如图6，若点为抛物线上的动点，设为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的？①点在椭圆上；②点为的重心，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设为椭圆的左焦点，连结，作过、的直线交椭圆于、两点，如图所示
中，，，
，可得，．
由椭圆的定义，得，
由平面几何知识，得，
当与重合时，达到最大值；当与重合时，达到最小值．
由，可得的最大值为，最小值为．
的取值范围为，．
（2）设，，设，，，
则，，
，，三点共线，，得，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
则直线的方程为，
，
即．
所以直线过定点．
（3）证明：设，，，，，
代入椭圆方程，整理，得，
，
，，
，，
，
设与轴交于点，以线段为直径的圆与轴交于点，，
则，，
，点，的坐标为，，
以线段为直径的圆过轴上的两个定点和．
证明：设、是椭圆上关于原点对称点，设，，则，，
（4）设点坐标为，则，
．
即，，
为定值．
（5）将直线的方程代入椭圆的方程中，得．
由直线与椭圆仅有一个公共点知，△，
化简得：．
设，，
法一：当时，设直线的倾斜角为，
则，
，，
，当时，，，．
当时，四边形是矩形，．
所以四边形面积的最大值为．
法二：，．
．
四边形的面积，
．
当且仅当时，，故．
所以四边形的面积的最大值为．
（6）存在这样的点符合题意．设线段的中点为，，，，，，，
直线的斜率为，注意到，则直线的方程为，
由消去得：，
所以，
故，．
又点在直线上，所以，
由可得，
，，
整理得，
所以，在线段上存在点符合题意，其中．
（7）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设，
由条件①知，
由条件②得，又因为点，
所以即，
故，
解之得或（舍，
当时，解得不合题意，
所以同时满足两个条件的三角形不存在．
16．已知直线与抛物线交于，、两点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点，．如图所示．
（1）求抛物线的焦点坐标；
（2）求经过、两点的直线与轴交点的坐标；
（3）过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点、的直线是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线的方程化为，
，．（2分）
抛物线的焦点坐标为．（4分）
（2）联立方程组，解得点坐标为．（6分）
联立方程组，解得点坐标为．（7分）
所以直线的方程为，（8分）
令，解得．
点的坐标为．（9分）
（3）结论：过抛物线的顶点任意作两条互相垂直的直线，
过这两条直线与抛物线的交点的直线恒过定点．（10分）
证明如下：
设过抛物线的顶点的一条直线为，
则另一条为，
联立方程组，解得点坐标为．（11分）
联立方程组，解得点坐标为，．（12分）
所以直线的方程为，（13分）
令，解得．
直线恒过定点．（14分）