初中数学人教版（2024）八年级下册18.2.2 菱形试讲课ppt课件

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观察下面的图片，其中有你熟悉的图形吗？
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考：在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
画出菱形的两条折痕，并通过折叠手中的图形回答以下问题：
2、菱形是轴对称图形吗？菱形有几条对称轴？对称轴之间有什么关系？
1、菱形是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？
菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．
菱形是轴对称图形，对称轴有两条是对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直．
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心是对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线．
因此，菱形具备平行四边形所有的性质
既是轴对称图形又是中心对称图形
菱形是特殊的平行四边形，因此菱形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质．你能说出菱形有哪些特殊性质吗?
有一组邻边相等的平行四边形.
画出菱形的两条对称轴，从边、角、对角线三个方面猜想菱形具有哪些特殊的性质？如何证明？
猜想：1、菱形的四条边都相等．2、菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．
如何验证以上的猜想？　
命题：菱形的四条边都相等．
已知：如图，四边形ABCD是菱形．求证：AB=BC=CD=AD．
证明： ∵四边形ABCD是菱形，　　　 ∴ AB=BC， ∵四边形ABCD是平行四边形，　　　 ∴ AB=DC，AD=BC， ∴ AB=BC=CD=AD．
定理：菱形的四条边都相等．
命题：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．
已知：如图，四边形ABCD是菱形．求证：AC⊥BD ；AC平分∠DAB和∠DCB；BD平分∠ADC和∠ABC．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA=AB，OB＝OD，在等腰△DAC中，∵AO=CO，∴DB⊥AC，DB平分∠ADC（三线合一）．同理AC平分∠BCD；BD平分∠ABD和∠ADC．
定理：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．
既是中心对称图形又是轴对称图形
平行四边形、矩形、菱形的性质对比
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形．
解：在菱形ABCD中，∵∠BAD+∠B=180°，∠BAD=2∠B，∴∠B=60°．在菱形ABCD中，∵AB=BC（菱形的四条边都相等），∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．
如图，已知菱形ABCD的边长为2 cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O．试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．（结果保留根号）
如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD， CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E．求∠BCD的大小．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA（菱形的四条边都相等）．又∵AE垂直平分CD，∴AC=AD，∴AC=AD=DC=CB=BA，即△ADC与△ABC都为等边三角形．∴∠ACD=∠ACB=60°，∠BCD=120°．
如图，在△ABC 中，AB =AC，D，E，F 分别是 AB，BC，AC 边的中点．（1）求证：四边形 ADEF 是菱形；（2）若 AB = 12 cm，求菱形 ADEF 的周长．
（1）证明: 因为 D, E, F, 分别是 AB, BC, AC 的中点,所以 DE, EF 是△ABC 的中位线.所以 DE∥AC, DE ＝0.5AC, EF∥AB, EF ＝ 0.5AB.所以四边形 ADEF 是平行四边形.又因为AB ＝AC,所以 DE ＝ EF. 所以 □ ADEF 是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
（2）解: 若AB ＝12 cm,则 EF ＝0.5AB ＝6 cm.所以菱形ADEF 的周长为 4EF ＝ 4×6＝ 24(cm).
菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗?
计算菱形的面积除了上式方法外，利用对角线能计算菱形的面积公式吗?
【菱形的面积公式】 S菱形 = 底×高 = 对角线乘积的一半．
菱形 ABCD 的两条对角线的交点为 O. 已知 AB=5cm，OB = 3cm. 求菱形 ABCD 的两条对角线的长度以及它的面积.
解：如右图所示.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=60°.∵OB=3cm，AB=5cm，在Rt△AOB中，由勾股定理，
得AO=
故AC=2OA=8cm，BD=2OB=6cm.
所以菱形ABCD的两条对角线的长度分别是8cm，6cm，它的面积为24 cm2.
解 ∵ AC 是∠DAB 的平分线，∴点 P 到 AB 的距离等于点 P 到 AD 的距离，故点 P 到 AB 的距离是 4 cm .
如图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上一点，PE⊥AD 于点 E，PE = 4 cm，求点 P 到 AB 的距离.
如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵又∵菱形两组对边的距离相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ .
1.周长=边长的四倍2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
1.两组对边平行且相等；2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角
1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A．对角相等 　　B．对角线互相垂直C．对角线互相平分 D．对角线相等2.下列说法错误的是 （ ）A．菱形的四边都相等B．菱形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相平分且平分一组对角D．菱形的对角线相等且互相平分
3.如图在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，下列说法错误的是（ ）A． AB∥CD B． AC=BD C．AC ⊥BD D．OA=OC4.如图在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，AE ⊥BC于点E，则AE的长是（ ）A．3 　　　B．2 C．9.6 　　D．4.8
5.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　）A．8 B．7 C．4 D．3 6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）A．20 B．24 C．40 D．48
7.如图, 两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm,一只甲虫从点 A 开始按 ABCDAEFGABCD …的 顺序沿菱形的边循环爬行,当甲虫爬行2020 cm 时停下,则它停下的位置是（ ） A. 点 F B. 点 E C. 点 A D. 点 C
8.如图, 在菱形 ABCD 中, AB 的垂直平分线 EF 交对角线 AC 于点 F , 垂足为 E , 连接 DF．若∠CDF ＝24°, 则∠DAB 等于（ ） A. 100° B. 104° C. 105° D. 110°
9.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE．
10.如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F．求证：AE=CF．
证明：∵菱形ABCD，∴BA=BC，∠A=∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA=∠BFC=90°，在△ABE与△CBF中 ∠BEA＝∠BFC＝90° ，∠A＝∠C，BA＝BC ，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE=CF．
11.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过C作CE⊥AC，交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E=50°，求∠DAB的度数．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DC∥BE，又∵CE⊥AC， ∴BD∥EC，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∴∠ADB=∠ABD，∵四边形BECD是平行四边形，∴DB∥CE，∴∠CEA=∠DBA=50°，∴∠ADB=50°，∴∠DAB=180°-50°-50°=80°．
12.如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE， ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB. 又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA ，∴AO＝BE .