初中数学人教版（2024）八年级下册18.2.3 正方形试讲课课件ppt

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1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定
有一个角是直角或对角线相等
有一组邻边相等 或对角线互相垂直
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
正方形的对边平行且相等
正方形的四个角都是直角
2.正方形的定义及性质
将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？
剪口与折痕成 45°角
满足怎样条件的矩形是正方形？
满足怎样条件的菱形是正方形？
定理1 有一组邻边相等的矩形是正方形. 定理2 对角线互相垂直的矩形是正方形. 定理3 有一个角是直角的菱形是正方形. 定理4 对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
判断以下说法是否正确：
1.四个角都相等的四边形是正方形. 2.四条边都相等的四边形是正方形.3.对角线相等的菱形是正方形.4.对角线垂直的平行四边形是正方形.5.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.6.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.7.对角线互相垂直的矩形是正方形.8.对角线垂直且相等的四边形是正方形.9.四边相等，有一角是直角的四边形是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形 又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE平分∠DCB ∴∠EBA=∠ECB=45° ∴BE=CE ∴四边形BECF是菱形. 又∵∠BEC=90°， ∴四边形BECF是正方形．
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
如图1，已知在△ABC中，点D是BC上一点，DE∥AC交AB于E， DF∥AB交AC于F．请分别回答下列问题，并简述理由. （不添加任何线段）（1）四边形AEDF是什么四边形？解： ∵ DE∥AC，DF∥AB ∴ 四边形AEDF是平行四边形（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形 ∴ ∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
（4）当满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
解：∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形， ∴∠BAC=90°且AD平分∠BAC时， 四边形AEDF是正方形．
如果一个四边形变为特殊的四边形，中点四边形会有怎样的变化呢？
平行四边形的中点四边形是平行四边形
菱形的中点四边形是矩形
矩形的中点四边形是菱形
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形
一般四边形的中点四边形：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.
已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'求证：四边形A'B'C'D'是正方形
①、由已知正方形证三角形全等；②、证得菱形；③、再证直角； ④、是正方形
①证明是正方形就先证是 菱形即证四边相等②再证又是矩形即只证明有个角是直角
证明：∵四边形ABCD是正方形
又∵A'A=B'B=C'C=D'D
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴四边形A'B'C'D'是菱形
又∵∠AD'A'=∠BA'B'， ∠ AA'D'+∠AD'A'=90°
∵∠D'A'B'=180°—（∠AA'D'+∠BA'B'）=90°
∴AB=BC=CD=DA
∴D'A=A'B=B'C=C'D
∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'A'D'=A'B'=B'C'=C'D'
∴ ∠AA'D'+∠BA'B'=90 °
∴四边形A'B'C'D'是正方形
如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四边形EFGH为正方形.
如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.
证明：（1）∵BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. 又∵AB = BC, ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB. （2）∵PM⊥AD,PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°.
又∵∠ADC=90°， ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是正方形.
1.下列命题正确的是（ ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形
2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
3．四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
4．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　 B．AD∥BC ∠A＝∠C　 C．AO＝CO　BO＝DO　AB＝BC D．AC＝BD
5. 已知在□ABCD中，∠A=90°，如果添加一个条件， 即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
6. （1）顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是 （　 　）Ａ．正方形 Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．梯形
（2）顺次连接菱形的各边中点，所得的四边形一定是（　 　） Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．平行四边形
（3）顺次连接正方形的各边中点，所得的四边形一定是（　 　） Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．平行四边形
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，∴∠DEC= ∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 °，∴四边形EDFC是矩形.过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，∴ DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四边形EDFC是正方形.
7.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D. DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.