2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之概率的进一步认识练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之概率的进一步认识练习，共19页。试卷主要包含了成立了“交通秩序维护”小分队等内容，欢迎下载使用。
1．（2024秋•碑林区校级期中）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数可能是（ ）
A．12B．16C．18D．20
2．（2024秋•兰州期中）近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分面积的频率稳定在0.7左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ）
A．9.6B．11.2C．4.8D．0.3
3．（2024秋•崂山区期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ）
A．2.9枚B．3枚C．7枚D．7.1枚
4．（2024秋•西湖区校级期中）从甲、乙、丙三人中任选一人参加育年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A．19B．13C．12D．23
5．（2024秋•萧山区期中）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2%左右，则鱼塘中估计有鱼（ ）条．
A．4000B．5000C．10000D．2000
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•乐清市期中）在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其他差别，随机从中摸出1个，记下颜色后，放回并摇匀．通过大量实验后发现摸出白球的频率逐渐稳定于0.4，则盒子中白球的个数可能是 ．
7．（2024秋•慈溪市期中）“服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是 ．
8．（2024•青秀区校级二模）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 ．
9．（2024秋•龙岗区期中）为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为 度．
10．（2024秋•福田区校级期中）如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•深圳期中） 2024年10月，红岭中学举行了第十三届创意运动会，其中田赛共设置跳高、跳远、铅球三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了 名选手，m＝ ，n＝ ；
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度；
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率．
12．（2024秋•沈阳期中）据统计，2024年辽宁省国庆假期旅游呈现良好态势，各项指标再创历史新高，旅游接待规模位列全国第10位，文旅消费规模位列全国第11位．南方李先生一家打算在12月份利用假期到辽宁旅游，李先生的家人想到辽宁的四个景点：A（沈阳故宫），B（大连老虎滩海洋公园），C（锦州辽沈战役纪念馆），D（丹东鸭绿江断桥），选择每个景点的机会是相同的．
（1）李先生一家第一站选择到D（丹东鸭绿江断桥）的概率是 ；
（2）由于时间原因，李先生一家只能从这四个景点中选择两个出游，利用树状图或者表格求出恰好选择A（沈阳故宫）和C（锦州辽沈战役纪念馆）的概率．
13．（2024•五华区校级模拟）化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）
（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为 ；
（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．
14．（2024秋•市南区校级期中）某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 °；
（2）若该校有4000名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为 名；
（3）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
15．（2024秋•崂山区期中）“回文”是指正读反读都能读通的句子，是古今中外都有的一种修辞手法和文字游戏．例如“处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺”等．在数学中，如果一个正整数从左往右读与从右往左读都一样，那我们称之为回文数，例如11，22，121…都是回文数．
将牌面数字分别为0，1，2，3四张纸牌（除牌面数字外，其余均相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机抽取一张．将小明、小红抽取的数字分别作为一个四位数（该四位数的千位数字和个位数字均为2）的百位和十位数字．请用列表或画树状图的方法求组成的四位数是回文数的概率．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之概率的进一步认识
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•碑林区校级期中）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数可能是（ ）
A．12B．16C．18D．20
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据红球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案．
【解答】解：设袋中红球有x个，
根据题意，可得x30=0.6，
解得：x＝18，
则红球的个数为18个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
2．（2024秋•兰州期中）近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分面积的频率稳定在0.7左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（ ）
A．9.6B．11.2C．4.8D．0.3
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先求出落入白色部分的概率，进而可得出结论．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，
∴落在白色部分的概率约为1﹣0.7＝0.3，
∴估计此二维码中白色部分的面积＝16×0.3＝4.8．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．
3．（2024秋•崂山区期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共10枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，共摸了100次，发现有71次摸到白色棋子，则盒子中黑色棋子可能有（ ）
A．2.9枚B．3枚C．7枚D．7.1枚
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据题意，可以计算出白球出现的概率，从而可以得到黑球出现的概率，从而可以求得黑球的个数，本题得以解决．
【解答】解：∵71÷100≈0.7，
∴黑球的数量为：10×（1﹣0.7）＝10×0.3＝3（枚），
故选：B．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．
4．（2024秋•西湖区校级期中）从甲、乙、丙三人中任选一人参加育年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A．19B．13C．12D．23
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有3种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有1种，
则甲被选中的概率为13．
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解题的关键是画出树状图．
5．（2024秋•萧山区期中）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2%左右，则鱼塘中估计有鱼（ ）条．
A．4000B．5000C．10000D．2000
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】用标记鱼的数量除以其频率的稳定值即可得出答案．
【解答】解：鱼塘中鱼的数量约为100÷2%＝5000（条），
故选：B．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•乐清市期中）在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其他差别，随机从中摸出1个，记下颜色后，放回并摇匀．通过大量实验后发现摸出白球的频率逐渐稳定于0.4，则盒子中白球的个数可能是 8 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】8．
【分析】球的总个数乘以白球频率的稳定数值即可得出答案．
【解答】解：盒子中白球的个数约为20×0.4＝8（个），
故答案为：8．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
7．（2024秋•慈溪市期中）“服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是 23 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】23．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及恰是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中恰是一男一女的结果有4种，
∴恰是一男一女的概率为46=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（2024•青秀区校级二模）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 0.9 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．
【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，
∴该植物的种子发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（2024秋•龙岗区期中）为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为 72 度．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】72．
【分析】利用频率估计概率，可知当n很大时，频率将会接近其概率，所以可估计指针落入优胜奖区域的概率，用360°乘概率即可得出答案．
【解答】解：由图（b）可估计指针落入优胜奖区域的概率为0.2，
∴转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为：0.2×360°＝72°．
故答案为：72．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10．（2024秋•福田区校级期中）如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是 16 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】16．
【分析】画树状图，共有12种等可能出现的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的情况有2种，再用概率公式求解即可．
【解答】解：将4张卡片分别记为A、B、C、D，则属于化学变化的有A、D，不属于化学变化的有B、C，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有2种，即AD、DA，
∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是212=16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•深圳期中） 2024年10月，红岭中学举行了第十三届创意运动会，其中田赛共设置跳高、跳远、铅球三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了 800 名选手，m＝ 40 ，n＝ 5 ；
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 126 度；
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【答案】（1）800，40，5；
（2）126；
（3）13．
【分析】（1）先用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数乘以C等级所占的百分比得到m的值，然后D等级人数乘以调查的总人数得到n的值；
（2）用360°乘以B等级所占的百分比即可；
（3）用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．则通过画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出马拉松和欢乐跑冠军的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）此次调查共抽取的选手总人数为440÷55%＝800（名）；
所以m＝800×5%＝40，
所以n%=40800×100%＝5%，
即n＝5；
故答案为：800，40，5；
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数＝360°×280800=126°；
故答案为：126；
（3）用A、B、C分别表示跳高、跳远、铅球三个项目．
画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中恰好抽到跳高和跳远冠军的结果数为2种，
所以恰好抽到跳高和跳远冠军的概率=26=13．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
12．（2024秋•沈阳期中）据统计，2024年辽宁省国庆假期旅游呈现良好态势，各项指标再创历史新高，旅游接待规模位列全国第10位，文旅消费规模位列全国第11位．南方李先生一家打算在12月份利用假期到辽宁旅游，李先生的家人想到辽宁的四个景点：A（沈阳故宫），B（大连老虎滩海洋公园），C（锦州辽沈战役纪念馆），D（丹东鸭绿江断桥），选择每个景点的机会是相同的．
（1）李先生一家第一站选择到D（丹东鸭绿江断桥）的概率是 14 ；
（2）由于时间原因，李先生一家只能从这四个景点中选择两个出游，利用树状图或者表格求出恰好选择A（沈阳故宫）和C（锦州辽沈战役纪念馆）的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）14．
（2）16．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中李先生一家第一站选择到D（丹东鸭绿江断桥）的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择A（沈阳故宫）和C（锦州辽沈战役纪念馆）的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中李先生一家第一站选择到D（丹东鸭绿江断桥）的结果有1种，
∴李先生一家第一站选择到D（丹东鸭绿江断桥）的概率为14．
故答案为：14．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选择A（沈阳故宫）和C（锦州辽沈战役纪念馆）的结果有：（A，C），（C，A），共2种，
∴恰好选择A（沈阳故宫）和C（锦州辽沈战役纪念馆）的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13．（2024•五华区校级模拟）化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、Al、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）
（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为 14 ；
（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）14．
（2）916．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“Al”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“Al”的结果有1种，
∴小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al”的概率为14．
故答案为：14．
（2）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有：（Mg，Mg），（Mg，Al），（Mg，Zn），（Al，Mg），（Al，Al），（Al，Zn），（Zn，Mg），（Zn，Al），（Zn，Zn），共9种，
∴小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为916．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（2024秋•市南区校级期中）某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 220 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 180 °；
（2）若该校有4000名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为 291 名；
（3）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；概率公式．
【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）220；180．
（2）291．
（3）16．
【分析】（1）用条形统计图中“蓝”的人数除以扇形统计图中“蓝”的百分比可得此次调查一共随机采访的学生人数；用360°乘以本次调查中选择“灰”的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）根据用样本估计总体，用4000乘以样本中选择“红”的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽中A，B两人的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）此次调查一共随机采访了44÷20%＝220（名）学生．
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×110220=180°．
故答案为：220；180．
（2）4000×16220≈291（名），
∴估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数约为291名．
故答案为：291．
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中A，B两人的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴恰好抽中A，B两人的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键．
15．（2024秋•崂山区期中）“回文”是指正读反读都能读通的句子，是古今中外都有的一种修辞手法和文字游戏．例如“处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺”等．在数学中，如果一个正整数从左往右读与从右往左读都一样，那我们称之为回文数，例如11，22，121…都是回文数．
将牌面数字分别为0，1，2，3四张纸牌（除牌面数字外，其余均相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机抽取一张．将小明、小红抽取的数字分别作为一个四位数（该四位数的千位数字和个位数字均为2）的百位和十位数字．请用列表或画树状图的方法求组成的四位数是回文数的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】14．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及组成的四位数是回文数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有16种等可能的结果，其中组成的四位数是回文数的结果有：（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），共4种，
∴组成的四位数是回文数的概率为416=14．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
考点卡片
1．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
2．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
3．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
4．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
5．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
6．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
7．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率种子个数
100
400
900
1500
2500
4000
发芽种子个数
92
352
818
1336
2251
3601
发芽种子频率
0.92
0.88
0.91
0.89
0.90
0.90
等级
A
B
C
D
分数段
90﹣100
80﹣89
70﹣79
60﹣69
频数
440
280
m
40
男
男
女
男
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
种子个数
100
400
900
1500
2500
4000
发芽种子个数
92
352
818
1336
2251
3601
发芽种子频率
0.92
0.88
0.91
0.89
0.90
0.90
等级
A
B
C
D
分数段
90﹣100
80﹣89
70﹣79
60﹣69
频数
440
280
m
40
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
Mg
Al
Zn
Cu
Mg
（Mg，Mg）
（Mg，Al）
（Mg，Zn）
（Mg，Cu）
Al
（Al，Mg）
（Al，Al）
（Al，Zn）
（Al，Cu）
Zn
（Zn，Mg）
（Zn，Al）
（Zn，Zn）
（Zn，Cu）
Cu
（Cu，Mg）
（Cu，Al）
（Cu，Zn）
（Cu，Cu）
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
0
1
2
3
0
（0，0）
（0，1）
（0，2）
（0，3）
1
（1，0）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，0）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，0）
（3，1）
（3，2）
（3，3）