2024-2025学年上学期初中数学华东师大版（2024）七年级期末必刷常考题之平行线练习

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A．∠5＝∠CB．∠1＝∠2
C．∠B＝∠CD．∠C+∠CAB＝180°
2．（2024秋•深圳校级期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（ ）
A．58°B．48°C．26°D．32°
3．（2024秋•长沙期中）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝25°，则∠BCD的度数为（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
4．（2024春•天津期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，则∠4等于（ ）
A．108°B．82°C．80°D．72°
5．（2024•东莞市校级三模）电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中AB∥CD∥EF，BC∥DE．若∠ABC＝60°，则∠DEF的度数为（ ）
A．100°B．120°C．140°D．160°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•武进区期中）如图，点F是∠ABC的平分线BM上一点，E在AC上，且EF∥AB．若∠CEF＝40°，则∠BFE的大小为 °．
7．（2024秋•江南区期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝145°，∠3＝60°，则∠2的度数为 ．
8．（2024秋•金牛区校级期中）如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，∠DCF＝∠ECF，已知∠F﹣∠E＝15°，则∠ABE+∠DCF＝ 度．
9．（2024春•湛江期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置上，若∠EFB＝65°，则∠AED'＝ °．
10．（2024秋•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD翻折后，点C落到点E处．若DE∥AB，则∠AFC的度数为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•鱼台县期末）如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．
（1）求证：FE∥OC；
（2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数．
12．（2024秋•惠州期中）如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）求证：BE∥DF．
13．（2024秋•市南区校级期中）如图，∠A+∠D＝180°，CD∥EF．若∠CFE＝75°，求∠B的度数．
14．（2024秋•市南区校级期中）如图，DB⊥BC于点B，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，试说明AB∥DC．请补充完整下面的说理过程：
解：AB∥DC，理由如下：因为DB⊥BC，EF⊥BC，
所以∠DBC＝∠EFB＝90°（① ），
所以∠DBC+∠EFB＝180°，所以DB∥EF（② ），
所以∠BDC＝∠2（③ ），
又因为∠1＝∠2（已知）所以④ （等量代换），
所以AB∥DC（⑤ ）．
15．（2024秋•凉州区期中）如图，已知△ABC，∠ACB＝80°，点E，F分别在AB，AC上，ED交AC于点G，交BC的延长线于点D，∠FEG＝32°，∠CGD＝48°．求证：EF∥BC．
2024-2025学年上学期初中数学华东师大版（2024）七年级期末必刷常考题之平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•长沙期中）如图，点E在CD延长线上，下列条件中能判定AB∥CE的是（ ）
A．∠5＝∠CB．∠1＝∠2
C．∠B＝∠CD．∠C+∠CAB＝180°
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A、当∠5＝∠C时，可得：AC∥BD，不合题意；
B、当∠1＝∠2时，可得：AC∥BD，不合题意；
C、由∠B＝∠C，不能判定AB∥CE，不合题意；
D、当∠C+∠CAB＝180°时，可得：AB∥CE，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
2．（2024秋•深圳校级期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（ ）
A．58°B．48°C．26°D．32°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定义得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠CGF+∠AFG＝180°，
∵∠2+∠1+∠AFG＝180°，
∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°．
3．（2024秋•长沙期中）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝25°，则∠BCD的度数为（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】B
【分析】因为AC⊥CB，所以∠ACB＝90°，由三角形内角和定理可求出∠ABC，再由平行线的性质可知∠BCD＝∠ABC．
【解答】解：∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣90°＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝65°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
4．（2024春•天津期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，则∠4等于（ ）
A．108°B．82°C．80°D．72°
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】由已知和邻补角互补易得∠5＝∠2，则a∥b，所以∠6+∠4＝180°，再根据对顶角相等可得∠6的度数，即可求出∠4的度数．
【解答】解：如图，
∵∠5+∠1＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠5＝∠2，
∴a∥b，
∴∠6+∠4＝180°，
∵∠6＝∠3＝108°，
∴∠4＝180°﹣108°＝72°．
故选：D．
【点评】此题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．要灵活应用，同时考查了邻补角与对顶角的性质．
5．（2024•东莞市校级三模）电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中AB∥CD∥EF，BC∥DE．若∠ABC＝60°，则∠DEF的度数为（ ）
A．100°B．120°C．140°D．160°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】先利用两直线平行，内错角相等可得∠ABC＝∠C＝60°，再利用两直线平行，同旁内角互补可得∠D＝120°，然后利用两直线平行，内错角相等可得∠DEF＝∠D＝120°，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠C＝60°，
∵BC∥DE，
∴∠D＝180°﹣∠C＝120°，
∵EF∥CD，
∴∠DEF＝∠D＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•武进区期中）如图，点F是∠ABC的平分线BM上一点，E在AC上，且EF∥AB．若∠CEF＝40°，则∠BFE的大小为 20 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】20．
【分析】由平行线的性质推出∠ABC＝∠CEF＝40°，∠BFE＝∠ABM，由角平分线定义求出∠ABM=12∠ABC＝20°，得到∠BFE＝20°．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠ABC＝∠CEF＝40°，∠BFE＝∠ABM，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABM=12∠ABC＝20°，
∴∠BFE＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC＝∠CEF，∠BFE＝∠ABM．
7．（2024秋•江南区期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝145°，∠3＝60°，则∠2的度数为 25° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】25°．
【分析】由平行线的性质推出∠1+∠PFO＝180°，求出∠PFO＝35°，由三角形的外角性质得到∠POF＝∠3﹣∠PFO＝25°，由对顶角的性质得到∠2＝∠POF＝25°．
【解答】解：∵光线与主光轴平行，
∴∠1+∠PFO＝180°，
∵∠1＝145°，
∴∠PFO＝35°，
∵∠3＝60°，
∴∠POF＝∠3﹣∠PFO＝25°，
∴∠2＝∠POF＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1+∠PFO＝180°．
8．（2024秋•金牛区校级期中）如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，∠DCF＝∠ECF，已知∠F﹣∠E＝15°，则∠ABE+∠DCF＝ 115 度．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】115．
【分析】首先根据已知条件证明∴∠ABE＝∠EBF=12∠ABF=12∠CDF，在△CDF中，得到∠F+∠2+∠CDF＝180°，在四边形中得到∠E+∠EBF+∠F+（360°﹣∠1）＝360°，再根据∠1＝∠2和∠F﹣∠E＝15°，求出∠ABE与∠E，∠DCF与∠E的关系，进而求出∠ABE+∠DCF的度数．
【解答】解：如图所示：
∵BE平分∠ABF，
∴∠ABE＝∠EBF=12∠ABF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDF，
∴∠ABE=12∠CDF，即∠CDF＝2∠ABE，
在△CDF中，∠F+∠2+∠CDF＝180°，
∴∠F+∠2+2∠ABE＝180°①，
在四边形BFCE中，∠E+∠EBF+∠F+（360°﹣∠1）＝360°，
∴∠E+∠ABE+∠F﹣∠1＝0°②，
∵∠1＝∠2，
∴①+②得：2∠F+∠E+3∠ABE＝180°③，
①﹣②×2得：∠2+2∠1﹣2∠E﹣∠F＝180°④，
∵∠F﹣∠E＝15°，
∴③为2（15°+∠E）+∠E+3∠ABE＝180°，
∴3∠E+3∠ABE＝150°⑤，
④为3∠2﹣2∠E﹣（15°+∠E）＝180°，
∴3∠2﹣3∠E＝195°⑥，
∴⑤+⑥得：3∠ABE+3∠2＝345°，
∴∠ABE+∠2＝115°，即∠ABE+∠DCF＝115°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质，正确的识别图形，找出角与角之间的关系．
9．（2024春•湛江期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置上，若∠EFB＝65°，则∠AED'＝ 50 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】50．
【分析】根据矩形的对边平行知AD∥BC，据此得∠DEF＝∠EFB＝65°，再根据折叠变换的性质知∠D′EF＝∠DEF＝65°，继而由∠AED′＝180°﹣∠DEF﹣∠D′EF可得答案．
【解答】解：由题意知AD∥BC，∠EFB＝65°，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
根据折叠变换的性质知∠D′EF＝∠DEF＝65°，
则∠AED′＝180°﹣∠DEF﹣∠D′EF＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质、翻折变换的性质及矩形的性质．
10．（2024秋•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD翻折后，点C落到点E处．若DE∥AB，则∠AFC的度数为 70° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】三角形；展开与折叠；推理能力．
【答案】70°．
【分析】根据三角形的内角和得到∠BAC＝110°，由折叠的性质得到∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE，根据平行线的性质得到∠BAE＝∠E＝30°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠AFC＝∠BAE+∠B＝30°+40°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•鱼台县期末）如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．
（1）求证：FE∥OC；
（2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由EF与OC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，利用等角的补角相等得到∠BOC+∠DFE＝180°，结合∠BOC+∠DFE＝180°，求出∠OFE的度数即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠C＝∠A，
∵∠1＝∠A，
∴∠1＝∠C，
∴FE∥OC；
（2）解：∵FE∥OC，
∴∠FOC+∠OFE＝180°，
∵∠FOC+∠BOC＝180°，∠DFE+∠OFE＝180°，
∴∠BOC+∠DFE＝180°，
∵∠BOC﹣∠DFE＝20°，
∴∠BOC+∠DFE＝180°，
解得：∠DFE＝80°，
∴∠OFE＝100°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
12．（2024秋•惠州期中）如图所示，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F．
（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）求证：BE∥DF．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）证明见详解；
（2）证明见详解．
【分析】（1）根据四边形的内角和是360°及∠A＝∠C＝90°即可求出；
（2）由（1）及角平分线的定义证明出∠1+∠3＝90°，再根据∠5+∠3＝90°及余角的性质得出∠1＝∠5即可证平行．
【解答】证明：（1）四边形ABCD中，∠A+∠C+∠ABC+∠ADC＝360°，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°．
（2）∵BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵△ADF中∠5+∠3＝90°，
∴∠1＝∠5，
∴BE∥DF．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，熟记平行线的判定和性质定理是解题的关键．
13．（2024秋•市南区校级期中）如图，∠A+∠D＝180°，CD∥EF．若∠CFE＝75°，求∠B的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】75°．
【分析】由同旁内角互补，两直线平行推出DC∥AB，而CD∥EF．推出FE∥AB，得到∠B＝∠CFE＝75°．
【解答】解：∵∠A+∠D＝180°，
∴DC∥AB，
∵CD∥EF．
∴FE∥AB，
∴∠B＝∠CFE＝75°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，关键是判定FE∥AB，由平行线的性质推出∠B＝∠CFE．
14．（2024秋•市南区校级期中）如图，DB⊥BC于点B，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，试说明AB∥DC．请补充完整下面的说理过程：
解：AB∥DC，理由如下：因为DB⊥BC，EF⊥BC，
所以∠DBC＝∠EFB＝90°（① 垂直定义 ），
所以∠DBC+∠EFB＝180°，所以DB∥EF（② 同旁内角互补，两直线平行 ），
所以∠BDC＝∠2（③ 两直线平行，同位角相等 ），
又因为∠1＝∠2（已知）所以④ ∠BDC＝∠1 （等量代换），
所以AB∥DC（⑤ 内错角相等，两直线平行 ）．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BDC＝∠1；内错角相等，两直线平行．
【分析】根据垂直的定义，平行线的判定方法判断出DB∥EF，再利用平行线的性质找到相等的角，最后等量代换利用平行线的判定方法证明即可．
【解答】解：分别填空为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BDC＝∠1；内错角相等，两直线平行．
故答案为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BDC＝∠1；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了垂直的意义，平行线的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握平行线的判定方法．
15．（2024秋•凉州区期中）如图，已知△ABC，∠ACB＝80°，点E，F分别在AB，AC上，ED交AC于点G，交BC的延长线于点D，∠FEG＝32°，∠CGD＝48°．求证：EF∥BC．
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠AFE＝100°，再根据同旁内角互补，直线平行，即可证明结论．
【解答】证明：∵∠CGD＝48°，
∴∠EGF＝∠CGD＝48°，
∵∠FEG＝32°，
∴∠GFE＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝180°﹣48°﹣32°＝100°，
∵∠ACB＝80°，
∴∠GFE+∠ACB＝180°，
∴EF∥BC．
【点评】本题主要考查平行线的判定，涉及到对顶角性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，同旁内角互补，直线平行．
考点卡片
1．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
2．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
3．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
4．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．