北师大版数学七上期末培优训练专题09 线段上动点问题的两种考法（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．
（1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，求的值．
【答案】（1）①AD的长为6.5；②AD的长为或；（2）的值为或
【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15，
∴BC＝5，AC＝10，
①∵E为BC中点，
∴CE＝2.5，
∵DE＝6，
∴CD＝3.5，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5；
②如图2，当点F在点C的右侧时，
∵CF＝3，AC＝10，
∴AF＝AC+CF＝13，
∵AF＝3AD，
∴AD＝；
如图3，当点F在点C的左侧时，
∵AC＝10，CF＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝7，
∴AF＝3AD，
∴AD＝＝；
综上所述，AD的长为或；
（2）①当点E在线段BC之间时，如图4，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵，
∴，
∴y＝x，
∴CD＝1.5x﹣x＝x，BD＝3x﹣(0.5x+y)＝x，
∴＝＝；
②当点E在点A的左侧，如图5，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵＝，BE＝EC+BC＝x+y，
∴，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴，
③点D、E都在点C的右侧时，如图6，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC-DE＝y-1.5x，
∴AD＝DC+AC＝y-1.5x+2x＝y+0.5x，
∵＝，BE＝EC-BC＝y-x，
∴，
∴y＝-4x（舍去）
综上所述的值为或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，以及分类讨论的数学思想，比较难，分类讨论是解答本题的关键．
例2．已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．
(1)若，，求线段CD的长．
(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．
【答案】(1)或5
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据点C在直线AB上，分两种情况：①C在点A的右侧，②C在点A的左侧，根据线段的和与差可得结论；
（2）AB＝2DE，分三种情况：根据线段中点的定义可得结论．
【详解】（1）解：如图1，当C在点A右侧时，
∵，，
∴，
∵D是线段BC的中点，：
∴；
如图2，当C在点A左侧时，
∵，，
∴，
∵D是线段BC的中点，
∴；
综上所述，或5；
（2）解：．
理由是：如图3，当C在点A和点B之间时，
∵E是AC的中点，D是BC的中点，
∴，，∴；
如图4，当C在点A左侧时，
同理可得：；
如图5，当C在点B右侧时，
同理可得：．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
【变式训练1】如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
(1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长；
(2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点．
(3)若，是数轴上的一点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)当时点是线段的中点
(3)或1
【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据可求；
（2）先表示出BD和CD，再根据点是线段的中点，列方程求解；
（3）分在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别求解．
【详解】（1）解：∵，，
又∵点表示，点表示7，
∴，
∴
∴．
（2）解：∵点，分别表示，6，
所以，，，，，
当是的中点时，即，
∴当时点是线段的中点．
（3）解：①当点在线段上时，如图
∵，
又∵
∴，
又∵
∴，即
②当点在线段的延长线上时，如图
∵，又∵
∴，即
综上所述或1．
【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系．
【变式训练2】已知点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧．
(1)若，，线段在线段上移动，
①当点E是线段的中点时，求的长；
②当点C是线段的三等分点时，求的长；
(2)若，点E在线段上移动，且满足关系式，则 （直接写出结果）．
【答案】(1)①4，②；(2)
【分析】（1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段的三等分点时，可求得或（舍去），则，由线段的和差即可得到结论；
（2）①当点E在线段之间时，设，则，求得、、、，然后根据可得，，再代入即可解答；②当点E在线段上时，设，则，求得、、、，然后根据可得不符题意．
【详解】（1）解：∵，
∴，
①∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵点C是线段的三等分点，DE＝16，
∴或（不合题意，舍去），
∴，
∴；
（2）解：①当点E在线段上，如图，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如图：当点E在线段AC上时，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不符题意，
∴点E不可能在线段AC上．
综上所述的值为．
【点睛】本题主要考查了直线上两点间的距离、线段中点的性质、线段的和差等知识点，准确识图、分类讨论DE的位置是解题的关键．
【变式训练3】如图已知线段、，
(1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）
①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长．
②M、N分别为、的中点，求证：
(2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论
【答案】(1)①10，②见解析
(2)不成立，见解析
【分析】（1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证；
（2）分点在点的左侧，点在点的右侧，点在点的左侧，点在点的左侧，以及点在点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵M、N分别为、的中点，
∴，
∴；
②∵M、N分别为、的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）不成立；
∵M、N分别为、的中点，
∴，
①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图：
或
；
②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图：
或
；
③当点在点的左侧时，如图：
或
；
综上：或；故结论不成立．
【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论．
类型二、定值问题
例．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.
【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置；
（2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值.

（3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值.
【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则，
由得，即
，，，即
所以点P在线段AB的处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，
由可知，


②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
，

综合上述，的值为或；
（3）②的值不变.
由点、运动5秒可得，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，






当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
，




当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
所以②的值不变正确，.
【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.
【变式训练】已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点．
（1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长；
（2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值；
（3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中：
①是定值；
②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．
【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析.
【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得；
（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；
（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E在BC之间，F在E右侧；
【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，
∴AB＝30；
（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，
∴BM＝BD，DN＝NC，
①D在BC之间时：
BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，
∴＝2；
②D在AB之间时：
BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，
∴＝2；
③D在A点左侧时：
BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，
∴＝2；
故＝2；
（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．
∴AE＝EP，BF＝CF，
①
EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，
∴＝2．
②
EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴＝2．
③
EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+AB，
BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，
∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴＝2．
【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．
课后训练
1．已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点．



（1）如图1，若，，求的长；
（2）若，求的值；
（3）若，，取的中点，的中点，的中点，则=______（用含a的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）的值为或；（3）
【分析】（1）由D为AC的中点，E为BC的中点得到DC=AC=2，CE=BC=3，则可计算出DE=5，再利用F为DE的中点得到DF=DE，然后利用CF=DF-DC求解；
（2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解；
（3）如图，设AC=x，BC=y，即x-y=a，利用线段中点定义得到DC=，CE=，则，所以，再利用的中点，得到，于是可计算出，即有．
【详解】解：（1）∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC=2，CE=BC=3，
∴DE=DC+CE=2+3=5，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=，
∴CF=DF-DC=；
（2）①当AC＞BC，点F在点C左侧时，如图所示：

∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC，CE=BC，
∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DC-DF=AC-4CF，
∴AC=10CF，
∴BC=AB-AC=16CF-10CF =6CF，
∴，
②当AC＜BC，点F在点C右侧时，如图所示：

∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC，CE=BC，
∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，
∵F为DE的中点，
∴DF=DE=AB，
∵AB=16CF ，
∴DF=4CF，
∴CF=DF-DC=4CF-AC，
∴AC=6CF，
∴BC=AB-AC=16CF-6CF =10CF，
∴，
综上所述，的值为或．
（3）如图，

设AC=x，BC=y，即x-y=a，
∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC=AC=x，CE=BC=y，
∵DC的中点为 ，CE的中点为，
∴，
∴，
∵的中点为 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段之间的关系是解决本题的关键．
2．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．
(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．
【答案】(1)7；(2)3或5
【分析】（1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．
（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长．
【详解】（1），，
，，
如图1，
为中点，，
，∴，∴，
（2）Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，
或
∵，，
点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，
或
，，
∴，
∴，
．
∵，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述：的长为3或5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．
3．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．
（1）当D点与B点重合时，AC=_________；
（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB–2PC的值；
（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．
【答案】（1）6
（2）PA+PB–2PC=0；
（3）MN=9．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）由（1）得AC= AB，CD= AB，根据线段的和差即可得到结论；
（3）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD-AM-DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．
【详解】（1）当D点与B点重合时，AC=AB﹣CD=6；
故答案为6；
（2）由（1）得AC=AB，∴CD=AB，
∵点P是线段AB延长线上任意一点，∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=AB+PB，
∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（AB+PB）=0；
（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=AC=（AB+BC）=8，
DN=BD=（CD+BC）=5，
∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；
如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=AC=（AB﹣BC）=4，
DN=BD=（CD﹣BC）=1，
∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，比较线段的长短.利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解本题的关键．
4．【新知理解】
如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．
(1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ cm；
(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【答案】(1)是
(2)6或4或8c
(3)t为3或或或或或6
【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案；
（2）分①当N为中点时，CN＝＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm．
（3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，
∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，
故答案为：是；
（2）解：①当N为中点时，CN＝＝6cm；
②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；
③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm．
故答案为：6cm或4cm或8cm；
（3）解：∵AB＝15cm，
∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），
由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；
①P为A、Q的和谐点，有三种情况：
1）P为中点，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝；
2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝3；
3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），
解得t＝；
②Q为A、P的和谐点，有三种情况：
1）Q为中点，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝6；
2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝；
3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，
解得t＝．
综上所述，t为3或或或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．
【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
5．如图，射线上有三点、、，满足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动.
(1)若点运动速度为秒，经过多长时间、两点相遇?
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点的运动速度;
(3)当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值.
【答案】（1）45s;（2）或 ;(3)2
【分析】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题；
（2）分两种情形求解即可；
（3）用t表示AP、EF的长，代入化简即可解决问题；
【详解】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，
则t+2t=90+30+15，
解得t=45，
所以经过45秒时间P、Q两点相遇．
（2）①当P在线段AB上时，
∵AB=90，PA=2PB，
∴PA=60，PB=30，
∴OP=OA+AP＝30+60＝90，
∴点P、Q的运动时间为90秒，
∵AB=90，OA＝30，∴OB＝120，∴BQ=OB=60，
∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，
∴点Q是速度为cm/秒；
②点P在线段AB延长线上时，
∵AB=90，PA=2PB，∴BP=90,AP=180,
∴OP=OA+AP=30+180=210,
∴点P、Q的运动时间为210秒，
∵AB=90，OA＝30，
∴OB＝120，∴BQ=OB=60，
∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，
∴点Q是速度为cm/秒；
（3）如图所示：
∵E、F分别是OP、AB的中点，∴OE=OP=t，∴OF=OA+AB=30+45=75，
∴.
【点睛】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.
6．已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.
(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
【答案】(1)6；(2) 无关，理由见解析；(3)m.
【分析】（1）根据中点可得到AC、BC的长，再根据CN=3AN，CM=3BM，可计算出CN、CM，最后根据线段的和差关系进行计算即可；
（2）根据线段之间的关系及CN=3AN，CM=3BM，分别表示出CN、AM及MN，再进行化简即可；
（3）分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可.
【详解】解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8，
∴AC=BC=AB=4，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=AC，CM=BC，
∴CN=3，CM=3，
∴MN=CN+CM=3+3=6;
（2）若C在A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴MN=CM－CN=3BM－3AN，
∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，
∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，
∴CN +2AM－2MN的值与m无关；
（3）①当点C在线段AB上时，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=AC，CM=BC，
∴MN=CM+CN=BC+AC=(BC+AC)=AB=m；
②当点C在点A的左边，如图所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴CN=AC，BM=BC，
∴MN=BC－CN－BM=BC－AC－BC =(BC－AC)=AB=m；
③当点C在点B的右边，如图所示：
∵CN=3AN，CM=3BM，
∴AN=AC，CM=BC，
∴MN=AC－AN－CM=AC－AC－BC =(AC－BC)=AB=m，
综上所述，MN的长度为m.
【点睛】本题考查线段的计算，分情况讨论，正确找出线段之间的关系是解题的关键.
7．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；
(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意表示出和的长度，然后即可求出；
（2）根据题意表示出和的长度，再表示出和的长度，即可发现和之间的数量关系；
（3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出和，即可发现，，三者之间的数量关系．
【详解】（1）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，
∴．
（2）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，
因为，所以，
因为，所以．
（3）如图①，
当点M在点B的左侧时，，
所以；
如图②，当点M在点B的右侧时，，
所以．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键．