北师大版数学七上期末培优训练专题10 几何图形中动角问题的三种考法（2份，原卷版+解析版）

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例．如图1，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得．
(1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角尺运动时间为秒．
①当时， ；
②求当为何值时，使得；
(2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分．
①当时， ；
②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请叙述理由；如果不发生变化，请求出的度数．
【答案】(1)①；②
(2)①；②不变化，
【分析】（1）①根据题意和角的和差进行求解即可；
②由，结合题意可得，从而得出，，进而求出时间；
（2）①根据平分，平分，可得，则可以将整理为，进而得出答案；
②根据平分，平分，可得，，进而推导出，继而得出答案．
【详解】（1）解：①当时，，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，
∴秒，
∴当为秒时，；
（2）①∵平分，平分，
∴，
∴
，
故答案为：；
②的度数不发生变化，
理由：平分，
∴，
∵平分，
∴，
，
∵，
∴，
．
【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键．
【变式训练1】已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．
(1)若
①如图1，当时， ；
②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数；
(2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由．
【答案】(1)①150；②，或，
(2)不改变，其度数为
【分析】（1）①先根据求出，再根据计算即可；
②设，分两种情况：(Ⅰ) 在内部，(Ⅱ) 在内部，分别讨论即可；
（2）设，求出所有情况后判断即可．
【详解】（1）①∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为150；
②(Ⅰ)当在内部时（如图1），
设，则，
，
由得，，
解得，
∴，
∴；

(Ⅱ) 当在内部时（如图2），
设，则，
由得，，
解得，
，
，
∴；
（2）不改变，其度数为．
设，由条件知，
分四种情况：
ⅰ)当在内部时（如图3），

，
，
，
∴；
ⅱ) 当在内部时（如图4），
，
，
∴；
ⅲ)当在内部时（如图5），
，
，
∴；
ⅳ)当在外部时（如图6），
；
综上所述，在旋转过程中，的度数不改变，其度数为．
【点睛】本题考查了角的和差，关键是运用角的和差正确表示所需要的角．
【变式训练2】已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，．
(1)如图2，填空：当时，______．
(2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)30
(2)
(3)是定值，理由见解析
【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案；
（2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案；
（3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定．
【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角，
∴，
又∵平分，
∴．
故答案为：30；
（2）当时，如图2，
∵是平角，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）当时（如图3），为定值．
理由如下：
∵是平角，，，
∴，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为定值，定值为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
类型二、数量关系问题
例．已知，保持不动，的边与边重合，然后将绕点O按顺时针方向任意转动一个角度，（本题中研究的其它角的度数均小于）
(1)[特例分析]如图1，若，则_______°，_______°
(2)[一般化研究]如图2，若，随着的变化，探索与的数量关系，并说明理由．
(3)[继续一般化]随着的变化，直接写出与的数量关系、（结果用含的代数式表示）．
【答案】(1)30；180
(2)，理由见解析
(3)当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．
【分析】（1）由转动角度可知，，进而利用已知角的和差关系可求的度数；
（2）分在内部，在外部时，在外部时，在外部时，在外部时，在外部时，作出图形进行讨论即可；
（3）根据在转动的过程中的度数，分五种情况，当时；当时；当时；当时；当时，作出图形进行讨论即可．
【详解】（1）由转动角度可知，，
∵，即：，
∴，
故答案为：30；180．
（2），理由如下：
如图，在内部，在外部时，
∵；
∴，
如图，在外部时，在外部时，
如图，在外部时，在内部时，
∵；
∴，
综上，；
（3）A、O、D线
B、O、C线
①当时，，则，
∴；
②当时，，
∴
③当时，，∴
④当时，，
∴
⑤当时，，
∴
综上，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查了角的有关计算，根据题目要求作出图形，利用角度的和差关系是解决问题的关键问题．
【变式训练1】已知，平分．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，和有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)将绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)不成立，理由见解析
【分析】（1）先求出的度数，根据，求出，角平分线得到，再利用，即可得解；
（2）设，易得：，求出，即可得出结论；
（3）设，则，，求出，进而得到和的数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴ ，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：；理由如下：
设，则，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（3）不成立，理由如下：
设，则，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∴（2）中的关系不成立．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键．
【变式训练2】如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．
(1)如图，当，重合时，求的度数；
(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．
(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？
【答案】(1)
(2)为定值，理由见解析
(3)当时， ；当时，；当时，
【分析】(1)根据角平分线的定义知、，再根据可得答案；
(2)由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案；
(3)分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解．
【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分，
、，
；
（2）解：的值为定值，
理由如下：如图：
从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度
，，点C、D在直线的右侧，
射线平分，射线平分，
，，
，
的值为定值；
（3）解：当时，如图2：由(2)知，；
当时，如图3所示，
，
，
射线平分，射线平分，
，，
；
当时，如图4所示，
，
，
射线平分，射线平分，
，，
；
综上，与具有的数量关系为：当时， ；当时，；当时，．
【点睛】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
类型三、求运动时间问题
例1．已知，射线均为内的射线．
(1)如图1，若为的三等分线，则＝ ；
(2)如图2，若，平分平分，求的大小
(3)射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线以每秒的速度顺时针方向旋转，射线始终平分，两条射线同时从图1的位置出发，当其中一条射线到达的位置时两条射线同时停止运动．设运动的时间为t秒，当t为何值时，.
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）根据三等分角的定义求解即可；
（2）设，根据角平分线性质表示出，，根据求解即可；
（3）根据运动时间分类讨论，表示出，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵为的三等分线，，
∴，
；
故答案为：．
（2）解：设，则，，，
∵平分平分，
∴，，
．
（3）解：如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，；
如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，（舍去）；
如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，
如图所示，当时，，，，
∵射线平分，
∴，
，
，
解得，
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，解题关键是熟练运用角平分线的性质表示出角的度数，利用角的和差关系求解．
例2．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
(1)如图1，，，若是的内半角，则 ；
(2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至．若是的内半角，求的值；
(3)把一块含有角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)的值为或30或90或
【分析】（1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数；
（2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应值即可．
【详解】（1）解：∵是的内半角，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由旋转性质可知：，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得，
∴的值为；
（3）解：①如图4所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得；
②如图所示，此时是的半角，
由旋转性质可得，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得 ；
③如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知 ，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得；
④如图所示，此时是的内半角，
由旋转性质可知，，
∴，，
∵是的内半角，
∴，即，
解得 ．
综上所述，当射线、、、构成内半角时，的值为或30或90或．
【点睛】本题主要考查了平面内角的相关计算，解题关键是理解内半角并根据旋转情况画出图形．
【变式训练1】已知直线过点O，，是的平分线．
(1)操作发现：①如图 1，若，则 °．
②如图1，若，则 °．
③如图1，若，则 ．（用含α的代数式表示）
(2)操作探究：将图 1 中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．
(3)如图3，已知，边、边分别绕着点O以每秒、每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，
【答案】(1)①；②；③
(2)成立；理由见详解
(3)或
【分析】（1）①②③如图1，根据平角的定义和角平分线的定义，求出，利用角的差可得结论；
（2）由，可得，则，根据平分，可得；所以．
（3）设t秒后，可得或，即可解得或；
【详解】（1）∵，
∴，
∵OE平分，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
③，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
∴．
故答案为．
（2）成立，理由如下：
设，
∴，
∵平分，
∴；
∴．
∴③中所求出的结论还成立．
（3）设t秒后，
根据题意得：可得或，
解得或，
经检验，或均符合题意，
答：运动或秒后，；
【点睛】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），解决本题的关键是由图形得到角度之间的关系．
【变式训练2】平面上顺时针排列射线，，，射线分别平分，（题目中所出现的角均小于）．
(1)如图1，若，则___________，___________；
(2)如图2，探究与的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时将绕点O以每秒逆时针旋转，若旋转时间为t秒，当时，直接写出t的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，或
【分析】（1）先根据，射线平分求出，进而得到，即可求出，再根据射线平分求出，最后计算即可；
（2）先由，射线平分求出，再由射线分别平分求出，最后根据计算即可．
（3）先根据题意得到，，进而求出旋转前 ，再由“将绕点O以每秒的速度顺时针旋转”得到恒定，然后分类讨论即可．
【详解】（1）∵，射线平分，
∴，
∴，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴，
故答案为，；
（2）∵，射线平分，
∴，
∵射线分别平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵将绕点O以每秒的速度顺时针旋转，
∴度数恒定，即恒定，
在和相遇前，
∵，射线平分，
∴，
∵，，
∴，解得；
在和相遇后，
此时，
∵射线平分，∴
∵，，
∴，
即，解得；即当时，或．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，难度较大，需要有良好的空间想象能力．因为题干要求题目中所出现的角均小于，所以第三问无需考虑后再次出现的情况．
课后训练
1．已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
【答案】(1)；
(2)；理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解；
（2）根据图形得出，计算，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解．
【详解】（1）如图1，，
在内部，
，，
，
，
；
（2）；理由如下：如图2，
，
射线、分别在内、外部，
，
，
，
；
（3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，
则，，如图3，
，，
，
，
；
②当时，如图4，射线、在的外部，如图4，
则，
，
，，
，
，
，
.
综合①②得．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
2．点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．
(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；
(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数．
【答案】(1)45
(2)
(3)为或
【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可．
（2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可．
（3）分类讨论H，K的位置关系直接求解即可．
【详解】（1）平分，平分，
，
（2）
平分，
，
根据图形有：，
，
，
，
，
（3）当H在K左侧时
平分
平分
当K在H左侧时
平分
平分
综上所述：为或
【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论H和K的位置．
3．已知，是过点O的射线，射线分别平分和．
(1)如图1，若是的三等分线，则_________；
(2)如图2，在内，若，则_________；（用含的代数式表示）
(3)如图3，若，将绕着点O逆时针旋转到的外部，请直接写出此时的度数．
【答案】(1)100
(2)
(3)或
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，，则；
（2），，，，则；
（3）反向延长、得到、，然后分类讨论：当在内部，当、在内部，当在内部三种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：、是的三等分线，
，
射线、分别平分和，
，，
；
（2）射线、分别平分和，
，，
，
，，
，
，
；
故答案为：；
（3）反向延长、得到、，如图，
当在内部，
设，则，
，，
，，
，
；
当、在内部，
设，则，
，
∵，
∴，
∴；
当在内部，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的度数为或．
【点睛】本题考查了角度的计算，理清角的关系是解题的关键．
4．问题情境：是一条射线，分别是和的角平分线．
当是直角，，射线在的内部时，我们可以发现的度数是_____；
当是直角，，射线在的内部时，的度数是____°．
探索发现：分别是和的角平分线，当射线在的外面时．
若是直角，，求出的大小；
若是直角，，写出的度数；
数学思考：分别是和的角平分线，若的度数是，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】问题情境：；；探索发现：；；数学思考：
【分析】问题情境：根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；
探索发现：根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；
数学思考：分两种情况讨论：当在内部时；当在外部时，计算得出答案即可．
【详解】解：问题情境：，分别是和的角平分线，
，
故答案为：；
，分别是和的角平分线，
，
故答案为：；
探索发现：，分别是和的角平分线，
，
为；
，，分别是和的角平分线，
，
为；
数学思考：分两种情况
当在内部时，如图所示，
，
的度数是，，
，
当在外部时，如图所示，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的角度的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，分清所求角的构成．
5．已知，过顶点O作射线，且平分．
(1)如图1，若平分，则的度数为___________；
(2)若，求的度数；
(3)嘉嘉说：“如图2，若在内，平分，则的度数不变．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由；
(4)若在外，设平分，当时，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)或
(3)正确，见解析
(4)或
【分析】（1）根据角平分线的定义先求的度数，再求的度数即可；
（2）先求，再求，然后分两种情况根据角平分线的定义即可；
（3）由角平分线的定义得，然后根据求解即可；
（4）分3种情况解答：①当时；②当时，在的下方；③当时，在的上方．
【详解】（1）∵，平分，
∴，
∵平分，
∴；
（2）∵，
∴．
当在内时，．
∵平分，
∴；
当在外时，．
∵平分，
∴；
（3）正确，理由：
∵平分，平分，
∴，
∴
；
（4）①当时，如图，
∵平分，平分，
∴．
∵，，
∴；
②当时，在的下方，如图，
∵平分，平分，
∴．
∵，，
∴；
③当时，在的上方，如图，
∵平分，平分，
∴．
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，以及数形结合的数学思想，分类讨论是解（2）（4）的关键．
6．在内部作射线，，在的右侧，且．
(1)如图1，若，平分，平分，求的度数；
(2)如图2，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，请过点作射线，使平分，再作的角平分线．若，，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用角的和差计算即可；
（2）根据角的和差与角平分线的定义可得结论；
（3）分情况：当在外部时和当在内部时，分别画出图形，再利用角的和差计算．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴
；
（2）根据角的和差可得，，
，
；
（3）①当在外部时，如图，
设，则，，
平分，
，
平分，
，即，即，
；
②当在内部时，如图，
设，则，，
平分，
，
平分，
，即，即，
；
综上，或．
【点睛】此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．容易出错的地方是解（3）小题漏掉其中的一种情况．
7．（1）【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________cm；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；
①若，，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若，，，，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．
【答案】（1）24；
（2）①90°；②．理由见详解；
（3）．
【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．点C和点D分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题．
（2）①欲求，需求．已知，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题．②与①同理可证．
（3）由，可得，，，所以，根据可得结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵点C和点D分别是，的中点，
∴，，
∴．
∴．
故答案为：24．
（2）①∵和分别平分和，
∴，．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
②．
理由如下：
∵和分别平分和，
∴，．
∴．
∴
．
（3）∵，，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键．