北师大版数学七上期末培优训练专题11 一元一次方程特殊解的三种考法（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知k为非负整数，且关于x的方程的解为正整数，则k的所有可能取值的和为（ ）
A．12B．13C．14D．
【答案】C
【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出k的值即可．
【详解】解：，
方程去分母得：
方程去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
由x为正整数，k 为非负整数，
得到，4，3，2，0，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，关键是掌握解方程的基本步骤．
例2．关于x的方程的解为整数，则符合条件的正整数m的值之和为（ ）
A．19B．18C．8D．4
【答案】A
【分析】先将方程化简为，根据方程的解为整数，得到关于m的方程，进而得出答案．
【详解】去分母得：，
去括号、移项、合并同类项得：，
方程的解为整数，
或，
解得，或3或或15，
符合条件的正整数m的值之和为：，
故选：A．
【点睛】本题考查含参数的一元一次方程，解题的关键是得到关于参数的方程．
【变式训练1】已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得，
是非负整数解，
∴取，
或，时，的解都是非负整数，
则，
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
【变式训练2】已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（ ）
A．B．或
C．或或D．或或或
【答案】A
【分析】先解关于x的方程得到，然后根据整数的整除性求解．
【详解】解：整理得，
∴，
∵x为整数，m为正整数，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
【变式训练3】若关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则k的值是（ ）
A．1或3B．3或5C．2或3D．1或6
【答案】A
【分析】先解方程，再依据解是整数求解即可．
【详解】去分母得，
去括号得：
移项合并同类项得：，
系数化1得：，
∵关于x的方程的解是整数，
∴或，
∴或或或
∵k是正整数，
∴或，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，先解方程再利用整数解求值是解题的关键．
类型二、含绝对值的方程
例1．如果|x|＝4，那么x＝ ，如果|x－2|＝8，那么x＝ .
【答案】 ±4 －6或10
【详解】如果|x|＝4，那么x＝±4；
如果|x－2|＝8，那么x-2=±8，所以x=10或x=-6，
故答案为±4，－6或10.
例2．若，，则 ．
【答案】3
【分析】分两种情况：； ．依次解出即可解答．
【详解】当时，
，
，解得：，
当是时，
，，
此时方程无解，综上，．故答案为：3.
【点睛】本题考查解绝对值方程，注意：要分类讨论．
【变式训练1】方程的解为 ．
【答案】或
【分析】由绝对值的性质可得出，从而可分类讨论：①当时和②当时，再根据方程有意义可得出x的取值范围，最后再次根据绝对值的性质解方程即可．
【详解】解：∵
∴，
∴；
分类讨论：①当时，
∵方程有意义，
∴，
解得：，
∴，
∴
解得，，舍去；
②当时，
∵方程有意义，
∴，
解得：，
∴，即或，
解得：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解一元一次方程．根据绝对值的性质去绝对值是解题关键．
【变式训练2】若｜x2｜2x6，则x= ；
【答案】4
【分析】分x≤2和x>2两种情况求解方程即可．
【详解】解：当x≤2，即x-2≤0时，方程｜x2｜2x6变形为：
-(x-2)=2x-6
去括号整理得，-3x=-8
解得，（不符合题意，舍去）
当x>2，即x-2>0时，方程｜x2｜2x6变形为：
x-2=2x-6
移项合并得，x=4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了绝对值方程的解法，正确去绝对值符号是解答此题的关键．
【变式训练3】解方程：．
【答案】时，；时
【分析】令，，得，，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求值.
【详解】解：①当时，，
，不存在；
②当时，，；
③当时，，，
的解是时，；时．
【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将的值分段去绝对值解方程．
类型三、整体思想求方程的解
例．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于x的一元一次方程的解为（ ）
A．2013B．－2013C．2023D．－2023
【答案】B
【分析】观察两个一元一次方程可得即可求解．
【详解】解：由题意得：∴，
∵的解为，
∴，解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确找出两个式子之间的关系是解题关键．
【变式训练1】已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可．
【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是，
即的解是，
∴
∴，
∴，
即
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
【变式训练2】定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，求m的值；
(2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值．
（2）根据条件建立关于n的方程，再求值．
（3）先求k，再解方程．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵关于x的方程与方程是“集团方程”，
∴，
∴；
（2）∵“集团方程”的两个解和为1，
∴另一个方程的解是，
∵两个解的差是6，且n为较大的解，
∴，
∴．
（3）∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程和是“集团方程”，
∴关于x的一元一次方程的解为：．
∵关于y的一元一次方程可化为：，令，
∴．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，利用“集团方程”的定义找到方程解的关系是求解本题的关键．
课后训练
1．若关于的方程有正整数解，则整数的值为（ ）
A．或或或B．或C．D．
【答案】B
【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为，结合原方程有正整数解且为整数，即可得出的值．
【详解】解：∵方程有解，
∴，
，
，
．
又原方程有正整数解，且为整数，
或．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
2．如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】只有当的系数为0时关于x的方程无解，据此求解即可．
【详解】∵关于x的方程无解，
∴，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程无解的定义是解题关键．
3．已知为常数，且关于的方程，无论为何值，方程的根总为，则的值分别为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根据原方程推出，再由无论为何值，方程的根总为进行求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
∵无论为何值，方程的根总为，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确推出是解题的关键．
4．已知关于x的方程有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得，
∵是非负整数解，
∴取，
∴或，时，的解都是非负整数，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
5．若与的解相同，则的值为 ．
【答案】
【分析】求出第一个方程的解，再代入第二个方程并求解即可得出的值．
【详解】解：方程，
解得：，
∵与的解相同，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查同解方程，同解方程即为方程的解相同的方程．掌握同解方程的定义是解题的关键．
6．已知关于x的方程有整数解，则整数k的值为
【答案】3或
【分析】把k当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出k值．
【详解】解：解关于x的方程可得，
又∵方程的解为正整数，且k为整数，
∴为或即可，即k的值为3，，或．
所以符合整数k的值为：3或．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，根据解得的条件确定k的可能取值解答本题的关键．
7．关于x的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ．
【答案】2023
【分析】将关于的一元一次方程变形，然后根据一元一次方程解的定义得到，进而可得的值．
【详解】解：将关于的一元一次方程变形为，
∵关于x的一元一次方程的解为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键．
8．已知关于的方程有解，那么的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】分别讨论当时，当时，当时，方程的解的情况，然后找到符合题意的的情况进行求解即可．
【详解】解：①当时，原方程化为，
，
；
②当时，原方程化为，
即，此时方程的解为范围内的全体实数，
；
③当时，原方程化为，
综上，方程有解．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键在于能够根据题意讨论x的取值范围进行去绝对值进行求解．
9．关于x的方程无解，那么m、n满足的条件是 ．
【答案】且
【分析】根据方程无解的条件即可解答．
【详解】解：∵，
当，
∴，
当，时，即；
此时方程有无数个解；
当，即时，
此时，方程无解；
综上：关于x的方程无解，且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元整式方程的无解问题，根据方程无解得出关于m，n的值是解题关键．
10．已知关于x的方程是一元一次方程．求：
(1)m的值．
(2)先化简，再求值：
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）一元一次方程中，一次项指数为1，系数不为0，由此可解；
（2）先去括号，合并同类项，再将m的值代入求解．
【详解】（1）解：关于x的方程是一元一次方程，
，，
，，
；
（2）解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，整式的化简求值，解题的关键是根据一元一次方程中一次项指数为1求出m的值．
11．讨论方程的解的情况．
【答案】当，原方程无解；当时，，或；当时，，或，或，或；当时，，或，或；当时，，或
【分析】分，，，四种情况解析：当时，原方程无解；当时，原方程为，解为，或；当时，原方程为，有四个解，或，或，或；当时，原方程为：，有三个解，或，或；当时，原方程为：，有两个解，或．
【详解】当，原方程无解；
当时，原方程可化为：，
解得，或；
当，此时原方程可化为：，
此时原方程有四解：，
即：，或，或，或；
当时，原方程可化为：，
此时原方程有三解：，或，或；
当时，原方程有可化为：，
此时原方程有二解：，
即，或．
【点睛】本题主要考查了解绝对值方程等，解决问题的关键是熟练掌握绝对值的定义，绝对值的化简，分类讨论．