苏科版数学九上期末培优训练专题05 类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份苏科版数学九上期末培优训练专题05 类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用（2份，原卷版+解析版），文件包含苏科版数学九上期末培优训练专题05类比归纳专题一元二次方程的解法与配方法的应用原卷版doc、苏科版数学九上期末培优训练专题05类比归纳专题一元二次方程的解法与配方法的应用解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16646" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16646 \h 1
\l "_Tc25819" 【类型一 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】 PAGEREF _Tc25819 \h 1
\l "_Tc30427" 【类型二 当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】 PAGEREF _Tc30427 \h 3
\l "_Tc31187" 【类型三 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】 PAGEREF _Tc31187 \h 8
\l "_Tc29109" 【类型四 所有一元二次方程均可用公式法求解】 PAGEREF _Tc29109 \h 11
\l "_Tc17569" 【类型五 一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 PAGEREF _Tc17569 \h 18
\l "_Tc9562" 【类型六 一元二次方程的特殊解法——换元法】 PAGEREF _Tc9562 \h 20
\l "_Tc6946" 【类型七 完全平方式中的配方】 PAGEREF _Tc6946 \h 23
\l "_Tc17564" 【类型八 判断代数式的正负或求最值】 PAGEREF _Tc17564 \h 26
\l "_Tc28586" 【类型九 比较两个代数式的大小】 PAGEREF _Tc28586 \h 31
\l "_Tc24636" 【类型十 利用配方法构造非负数求值】 PAGEREF _Tc24636 \h 33
【典型例题】
【类型一 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】
1．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的两根分别为 ．
【答案】，
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
∴，，
解得：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
2．（2023秋·九年级单元测试）方程的根是 ．
【答案】
【分析】直接利用开方法求解即可.
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴，
故答案为：，.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解题的关键.
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程：．
【答案】
【分析】先开平方，再分情况求解．
【详解】解：两边开平方，得
．
①当时，．
②当时，．
综上所述，原方程的解是：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，两边开方后先将一边加上绝对值，再分情况讨论．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）解下列方程：．
【答案】
【分析】直接将方程开方求解即可．
【详解】解：方程开方得：或，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）用直接开平方法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）用直接开平方法解答即可；
（2）用直接开平方法解答即可．
【详解】（1），
移项，得，
两边同时除以49，得，
开方，得，
则方程的两个根为，．
（2）
两边同时除以9，得，
开方，得，
即或，
则方程的两个根为，．
【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法.
6．（2023春·全国·八年级专题练习）解方程：
(1)． (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1），
，
，
解得：．
（2），
，
∴，
即，
解得： 或
∴原方程的根是．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）解方程：
(1) (2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先移项，写成的形式，然后利用数的开方解答．
（2）方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
【详解】（1）解：移项得，，
开方得，，
解得，．
（2）方程两边直接开方得：
，或，
∴，或，
解得：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用直接开平方法解一元二次方程”是解本题的关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）解下列方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：（1）方程变形得
，
开平方，得
，
∴；
（2）由原方程，得，
开平方，得，
∴．
【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
【类型二 当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】
1．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）若用配方法解方程时，将其配方为的形式，则 ．
【答案】
【分析】根据配方法进行计算即可求解．
【详解】解：
∴
即
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）把方程用配方法化为的形式，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
．
，．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程：（用配方法）．
【答案】
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
所以．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）用配方法解方程：．
【答案】
【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
∴ ．
∴．
∴．
∴．
解得：．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）用配方法解方程：
【答案】，
【分析】移常数项，加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解.
【详解】解：，
，
，
，
∴，．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键．
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程：（配方法）．
【答案】
【分析】先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
配方得：，
即，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）用配方法解方程：．
【答案】，
【分析】首先把移到等号右边，然后再等式两边同时加上8，可得，然后再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
则，，
解得：，
【点睛】此题主要考查了配方法解一元二次方程，关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
8．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解下列方程：
(1)． (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
即，
∴，
解得：；
（2）解：，
，
即，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
【类型三 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】
1．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．，D．，
【答案】C
【分析】利用因式分解法直接解方程即可．
【详解】解：，
可得或，
解得：，．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的方法及根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
2．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）方程的根是（ ）
A．3和B．C．3D．和
【答案】A
【分析】先移项，再通过提公因式法因式分解，进而求根．
【详解】解：，
，
或，
或．
选A．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握相关计算技巧是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级假期作业）方程的解为________．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
分解因式得：，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查的知识点是解一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握因式分解法解一元二次方程．
4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）方程的解为_______．
【答案】
【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】移项得，
，
∴，
∴
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）解方程：．
【答案】，
【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．
6．（2023秋·广东湛江·九年级统考期末）解下列方程：．
【答案】，．
【分析】用因式分解法解方程即可．
【详解】解:
∴
∴或
∴，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，用合适的方法解方程是解题的关键．
7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）解方程：
【答案】，
【分析】移项，然后用因式分解法解方程即可．
【详解】解：移项整理得：，
因式分解得：，即，
∴或，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
8．（2023·陕西西安·校考二模）解方程：．
【答案】，
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
，．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解解方程是解题的关键．
9．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）解方程：．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
或，
，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，常见的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活选择适当的解法是解题的关键．
【类型四 所有一元二次方程均可用公式法求解】
1．（2023秋·青海西宁·九年级统考期末）解方程：
【答案】，．
【分析】将方程转化为一般形式运用公式法求解即可．
【详解】解：，
，
，，，
，
则，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法求解一元二次方程是解题的关键．
2．（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）解方程：．（用求根公式法）
【答案】，
【分析】根据一元二次方程的求根公式即可得到方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法（公式法），熟记求根公式是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）用公式法解下列方程：．
【答案】，．
【分析】先写出各项的系数，再利用求根公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，注意各项系数的符号．
4．（2023秋·四川眉山·九年级统考期末）解方程：
【答案】或
【分析】先整理方程，然后利用公式法解方程，即可得到答案．
【详解】，
整理方程，得：，
∵，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握公式法解方程．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）用公式法解方程：．
【答案】
【分析】利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键．注意，先求判别式．
6．（2023春·浙江·八年级专题练习）公式法解方程：．
【答案】，
【分析】先求出的值，再利用公式法求出x的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，准确进行计算．
7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）解方程：
【答案】，
【分析】根据题意先求出，再代入求根公式，即求出即可．
【详解】解：，
方程的系数分别是，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查公式法求一元二次方程的解，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
8．（2023·全国·九年级假期作业）用公式法解方程：
(1)． (2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）
∵，，；
∴，
∴，
（2）
方程整理得：．
∵，，，，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是公式法解一元二次方程时要化成一般形式．
9．（2023秋·河南南阳·九年级校考期末）（1）我们发现，利用配方法解一元二次方程的步骤是相同的，因此，用配方法解一元二次方程，可以得到一元二次方程的求根公式．一般地，对于一元二次方程，当时，它的求根公式是_____，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
（2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过如下：
，，，（第一步）
．（第二步）
∴．（第三步）
∴，．（第四步）
小明解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是 ．
（3）请你写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）；（2）一，方程没有化成一般式；（3），，正确的解答过程见解析
【分析】(1)根据配方法解一元二次方程，即可求得；
(2)根据公式法解一元二次方程，即可解答；
(3)用公式法解此方程，即可求解．
【详解】解：（1）当时，
由原方程得：，
得，
得，
故，
故，
故答案为：；
（2）由原方程得：，
，，，
∴小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式．
故答案为：一，方程没有化成一般式；
（3）方程化为，
，，，
．
∴．
∴，．
【点睛】本题考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，熟练掌握和运用利用配方法解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
【类型五 一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】
1．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）解方程：．
【答案】，
【分析】根据因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见的解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择合适的解法解方程是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．
【答案】
【分析】利用因式分解法解方程．
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）解一元二次方程：．
【答案】，
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
∴，
∴或，
解得，；
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
4．（2023春·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试）解方程：
【答案】,
【分析】首先移项并合并同类项，再根据因式分解法求解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∴
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法求一元二次方程的性质，从而完成求解．
5．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．
【答案】，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【类型六 一元二次方程的特殊解法——换元法】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)x1＝，x2＝，x3＝，x4＝
(2)
【分析】（1）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；
（2）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解
【详解】（1）解：
设
则
或
解得，
∴或
∴或
解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝；
（2）解：
设，
则
，
或，
解得，，
或，
或，
解得，
【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知，求的值；
解：设，则原方程可变形为．即
∴得，
∴或
已知，求的值．
【答案】6
【分析】设，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．
【详解】解：设，则原方程可变形为，即
∴，
解得：；
又∵
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握题目给出的解方程的方法，是解题的关键．注意：．
3．（2023秋·九年级单元测试）阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为， ．
(2)把看做整体，设，则原方程可化为，解得，．
【详解】（1）解：
把看做一个整体，设
则原方程可化为
解得，
∴或者
∴，
（2）解：
把看做整体，设
则原方程可化为
解得，
∴，
【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程的方法，熟练运用换元法将次是解题的关键．
4．（2023春·八年级单元测试）（换元法）解方程：
解：设则原方程可化为
解得：
当时，，解得
当时，，解得
∴原方程的根是，
根据以上材料，请解方程：
(1)．
(2)
【答案】(1)原方程的根是；
(2)原方程的根是．
【分析】(1)设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根；
(2)设，则原方程可化为，解得的值，检验后即可得到原方程的根．
【详解】（1）设，则原方程可化为
解得∶
当时，，解得
当时，，方程无解
原方程的根是；
（2）设，则原方程可化为
去分母，可得
解得
当时，，解得
当时，，方程无解
经检验∶都是原方程的解
原方程的根是．
【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
【类型七 完全平方式中的配方】
1．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）如果是一个完全平方式，那么_________．
【答案】或
【分析】根据完全平方公式即可解答．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案为或；
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如果是一个完全平方式，那么________
【答案】4或或
【分析】由于为完全平方公式，则可为平方项，也可为2倍乘积项，分情况讨论即可得到答案．
【详解】解：∵是完全平方式，
当和为平方项时，即，
∴；
当和为平方项时，即，
∴；
当和为平方项时，即，
∴．
故填：4或或．
【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）若是完全平方公式，则的值为________．
【答案】5或
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：多项式是完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：5或．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）阅读下列材料：
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
(1)若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______；
A．4 B．8 C． D．
(2)若多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为______；
(3)配方：______；______；
【知识运用】
(4)通过配方发现，代数式有最小值，则最小值为______；
(5)已知，则______，______．
【答案】(1)C；
(2)4；
(3)，；
(4)3
(5)，；
【分析】（1）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（2）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（3）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（4）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
（5）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式，
∴，
故选：C；
（2）解：∵多项式是一个完全平方式，
∴，
故答案为：4；
（3）解：由题意可得，
，
，
故答案为：，；
（4）解：∵，
∴，
∴最小值为：3；
（5）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，；
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握．
【类型八 判断代数式的正负或求最值】
1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知，则的最小值是（ ）
A．8B．C．D．9
【答案】A
【分析】由已知得，注意x的取值范围，代入再配方，利用非负数的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，且即，
∴
，
∵，
∴当时，的最小值是，
故选：A．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范围是解决问题的关键．
2．（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0B．的最小值是
C．当时，为正数D．当时，为负数
【答案】B
【分析】利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
∴当时，有最小值；
当时，即：，
∴，
∴，
∴，即是非正数；
故选项错误，选项正确；
故选B．
【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．
3．（2023春·广东清远·八年级校考期中）多项式的最小值是_____．
【答案】3
【分析】利用完全平方公式把多项式化成一个偶次方加常数的形式，偶次方为0时，代数式有最小值．
【详解】解：
，
∵，
∴
∴的最小值是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握如何化为完全平方式．
4．（2023春·江苏·七年级期中）阅读材料：
求的最小值．
解：，
∵即的最小值为0，
∴的最小值为4．
解决问题：
(1)若a为任意实数，则代数式的最小值为 ．
(2)求的最大值．
(3)拓展：
①不论x，y为何实数，代数式的值 ．（填序号）
A．总不小于1 B．总不大于1 C．总不小于6 D．可为任何实数
②已知，求．
【答案】(1)
(2)5
(3)①A；②
【分析】（1）对式子利用配方法求解即可；
（2）对式子利用配方法求解即可；
（3）①对式子中的利用配方法求解即可；
②对式子进行配方，求得的值，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴的最小值为；
故答案为：；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
即的最大值为5；
（3）解：①，
∵，，
∴的最小值为，故A正确．
故选：A．
②∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式变形计算，解题的关键是熟练掌握配方法的应用．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式
②，利用配方法求M的最小值：
解：
因为，所以当时，M有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式 ；
(2)用配方法因式分解；
(3)若，求M的最小值．
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可；
（2）利用配方法分解因式即可；
（3）利用配方法得到，然后根据非负数的性质确定M的最小值．
【详解】（1）解：，
故答案为：16；
（2）解：
；
（3）解：
∵，
∴当时，M有最小值．
【点睛】本题考查了因式分解−配方法等，熟练掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解决问题的关键．
【类型九 比较两个代数式的大小】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）若，，则A、B的大小关系为（ ）
A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A＝B
【答案】A
【分析】利用做差法求出，然后利用偶数次幂的非负性即可得出，即可得出，从而得出正确选项．
【详解】解：
∵，，
∴，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，考查了通过做差法判断式子的大小，熟练掌握配方法是本题的关键所在．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）若代数式，，则的值（ ）
A．一定是负数B．一定是正数C．一定不是负数D．一定不是正数
【答案】B
【分析】此题可直接用多项式减去多项式，然后化简，最后把得出的结果与零比较确定的正负．
【详解】解：由于，，
则
所以一定是正数．
故选：．
【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是需注意整式的加减运算；另外题中含有的配方得完全平方式的思想，同学们也需要灵活掌握．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A B（填＞，＜或＝）．
【答案】