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苏科版数学九上期末培优训练专题09 类比归纳专题:切线证明的常用方法(2份,原卷版+解析版)
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31892" 【典型例题】 PAGEREF _Tc31892 \h 1
\l "_Tc22888" 【类型一 有切点,连半径,证垂直】 PAGEREF _Tc22888 \h 1
\l "_Tc26962" 【类型二 无切点,作垂直,证半径】 PAGEREF _Tc26962 \h 13
【典型例题】
【类型一 有切点,连半径,证垂直】
例题:(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图,是的直径,C,D都是上的点,平分,过点D作的垂线交的延长线于点E,交的延长线于点F.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求的值.
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】(1)如图1,连接,由平分,可得,由,可得,,则,,进而结论得证;
(2)如图2,连接,交于H,由是的直径,可得,由勾股定理得,,由,可得,,即,,是的中位线,则,,证明四边形是矩形,则.
【详解】(1)证明:如图1,连接,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵是半径,
∴是的切线;
(2)解:如图2,连接,交于H,
∵是的直径,
∴,
由勾股定理得,,
∵,
∴,
∴,即,
∴,
∵
∴是的中位线,
∴,
∴,
∵,
∴四边形是矩形,
∴.
【点睛】本题考查了切线的判定,角平分线,等边对等角,垂径定理,平行线的判定与性质,矩形的判定与性质,中位线,勾股定理,直径所对的圆周角为直角等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
【变式训练】
1.(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图,是的直径,半径为2,交于点D,且D是的中点,于点E,连接.
(1)求证:是的切线.
(2)若,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接,利用三角形的中位线定理和平行线的性质得到,利用圆的切线的判定定理解答即可;
(2)利用线段 垂直平分线的性质,等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质求,利用勾股定理求得,则.
【详解】(1)证明:连接,如图,
∵D是的中点,
∴,
∵,
∴为的中位线,
∴,
∵,
∴,
∵为的半径,
∴是的切线;
(2)解:∵是的直径,
∴,
∵D是的中点,
∴为的垂直平分线,
∴,
∴,
∵是的直径,半径为2,
∴.
在中,.
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质,圆周角定理,三角形的中位线的性质定理,平行线的性质,圆的切线的判定定理,含角的直角三角形的性质,勾股定理,连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.
2.(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图,在中,,以为直径的与交于点D,与边交于点E,过点D作的垂线,垂足为F.
(1)求证:为的切线;
(2)若,求的半径.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接,根据是的直径,可得,再由三角形中位线定理可得,从而得到,即可求证;
(2)连接,根据圆内接四边形的性质可得,从而得到,进而得到,继而得到的长,即可求解.
【详解】(1)证明:连接,
∵是的直径,
∴,
∵,
∴点D是的中点,
∵点O是的中点,
∴是的中位线,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴为的半径;
(2)解:连接,
∵四边形是的内接四边形,
∴,
∵,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴的半径是.
【点睛】本题主要考查了切线的判定,圆内接四边形的性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,熟练掌握切线的判定定理,圆内接四边形的性质,圆周角定理,等腰三角形的性质是解题的关键.
3.(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图,已知内接于,是的直径,的平分线交于点,交于点,连接,作,交的延长线于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的半径.
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】(1)连接,根据平分,,,证明即可;
(2)设的半径为,则有,在中,,根据勾股定理建立方程,解方程即可求解.
【详解】(1)解:连接,
是的直径,
,即,
平分,
,
,
,
,
,
,
,
是的半径,
是的切线.
(2)设的半径为,
则有,
∵是的切线.
∴,
在中,,
,
解得,
的半径为.
【点睛】本题考查了切线的性质与判定,勾股定理,熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键.
4.(2022秋·山西朔州·九年级校考期中)如图,在中,,的平分线交于点E,过点E作的垂线交于点F,是的外接圆.
(1)求证:是的切线;
(2)过点E作于点H,若,求的半径.
【答案】(1)见解析;
(2)5;
【分析】(1)连接,由于是角平分线,则有再证得,根据平行线的性质和切线的判定即可解答;
(2)先证明,再根据勾股定理列方程求解即可;
【详解】(1)证明:连接
∵平分
∴
又
∴
∴
∴,
又,即
∴
∴是的切线
(2)∵平分
设
解得:
故的半径为5
【点睛】本题主要考查了切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质勾股定理,掌握切线的证明、角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题关键.
5.(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图,在中,,点在边上,平分,交于,是的外接圆.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的半径长.
【答案】(1)详见解析
(2)3
【分析】(1)连接,由于是角平分线,则有;而,就有,等量代换有,那么利用内错角相等,两直线平行,可得;又,所以,即是的切线;
(2)利用勾股定理即可求出半径.
【详解】(1)证明:连接.
平分,
.
又,
,
,
,
.
又点在上,
是的切线.
(2)解:设的半径为,
,
,
即,
解得,
的半径为3.
【点睛】本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了勾股定理.
6.(2023秋·江苏·九年级专题练习)如图,以线段为直径作,交射线于点,平分交于点,过点作直线于点,交的延长线于点.连接并延长交于点M.
(1)求证:直线是的切线;
(2)求证:;
(3)若,,求的长.
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)2
【分析】(1)连接,由证明,得,即可证明直线是的切线;
(2)由线段是的直径证明,再根据等角的余角相等证明,则;
(3)由,证明,则是等边三角形,所以,则,所以,再证明,得.
【详解】(1)证明:连接,则,
,
平分,
,
,
,
,
,
是的半径,且,
直线是的切线.
(2)证明:线段是的直径,
,
,
,,
,
,
.
(3)解:,,
,
是等边三角形,
,
,,
,
,
,
,
,
.
【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
【类型二 无切点,作垂直,证半径】
例题:(2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试)如图,在中,,是的角平分线,以为圆心,为半径作,求证:是的切线.
【答案】证明过程见解析;
【分析】题目并没有说明直线与有没有交点,所以过点作于点,然后证明即可.
【详解】证明:如图:过点作于点,
是的角平分线,,,
,
是的切线.
【点睛】本题考查圆的切线的判定知识.结合角平分线的性质,正确构造辅助线是解题的关键.
【变式训练】
1.(2023秋·广东河源·九年级校考期末)如图,为的角平分线上的一点, 于点,以为圆心为半径作,求证:与相切.
【答案】见解析
【分析】过点作于,根据证明,推出,即可证明与相切.
【详解】证明:如图,过点作于,
平分,
,
又,,
,
在与中,
,
,
,
点D在上,
又,
与相切于点.
【点睛】本题考查切线的判定,相似三角形的判定与性质,解题的关键是掌握切线的判定方法.
2.(2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习)如图中,,平分交于点,以点为圆心,为半径作交于点.
(1)求证:与相切;
(2)若,,试求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)过作于,利用角平分线的性质定理可得即可证明:与相切;
(2)在Rt中,由勾股定理可求出的长,设圆的半径为,利用切线长定理可求出,所以,,利用勾股定理建立方程求出,进而求出的长.
【详解】(1)证明:过作于,
,
,
平分交于点,
,
与相切;
(2)解:设圆的半径为,
,,,
,
,是圆的切线,
,
,
,
,
在Rt中,,
解得:,
.
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用,解题的关键是构造直角三角形,利用勾股定理列方程.
3.(2023·湖北恩施·统考中考真题)如图,是等腰直角三角形,,点O为的中点,连接交于点E, 与相切于点D.
(1)求证:是的切线;
(2)延长交于点G,连接交于点F,若,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)连接,过点O作于点P,根据等腰三角形的性质得到,推出,即可得到结论;
(2)根据等腰直角三角形的性质求出,的长,勾股定理求出,连接,过O作于点H,利用面积法求出,勾股定理求出,即可根据等腰三角形的性质求出的长.
【详解】(1)证明:连接,过点O作于点P,
∵与相切于点D.
∴,
∵是等腰直角三角形,,点O为的中点,
∴,
∴,即是的半径,
∴是的切线;
(2)解:∵,,,
∴,,
∵点O为的中点,
∴,
∵
∴,
在中,
连接,过O作于点H,
∴,
∴
∵,
∴.
【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线,切线的性质定理,等腰直角三角形的性质,勾股定理,正确掌握各知识点是解题的关键.
4.(2022秋·九年级单元测试)如图,是的直径,,分别切于点,,交,于点,,平分.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)过点作于点,根据切线的性质由切于点可得,再根据角平分线定理得到,然后根据切线的判定定理得到是的切线;
(2)过作于,根据切线的性质得到,则得到四边形为矩形,得到,所以,再利用切线长定理得,,所以,在中,利用勾股定理计算出,则,所以,然后中,利用勾股定理可计算出.
【详解】(1)证明:如图,过点作于点,
,
切于点,
,
平分,
,
为的半径,
是的半径,
是的切线;
(2)解:如图,过作于,
,
是的直径,,分别切于点,,
,,
四边形为矩形,
,
,
,,为的切线,
,
,
在中,,
,
,
在中,.
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,也考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理.
5.(2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习)如图,点为正方形对角线上一点,以为圆心,的长为半径的与相切于点.
(1)求证:与相切;
(2)若的半径为,求正方形的边长.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】(1)过O作于H, 由正方形,可得, 证明,再证明从而可得结论;
(2)先根据勾股定理求出,从而可得,再根据正方形的性质、勾股定理即可得答案.
【详解】(1)解:如下图,过O作于H,
正方形,
,
是⊙O的切线,
,
,
为的半径,
为的半径,
与相切;
(2)的半径为,
,
由(1)可知, ,
,
,
四边形是正方形,
,
则在中,
,即,
,
解得:,
故正方形的边长为.
【点睛】本题考查的是正方形的性质,圆的切线的判定,勾股定理的应用,角平分线的性质,熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键.
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