苏科版数学九下单元复习第8章《统计和概率的简单应用》知识点梳理+讲与练（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：频率与概率1.定义 频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值.概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即.2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.要点诠释：（1）频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复实验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.知识点02：用列举法求概率常用的列举法有两种：树状图法和列表法.1.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.2.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.3.用列举法求概率的一般步骤（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=知识点03：利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•丹徒区期末）甲、乙两人做填数游戏：每个方格填一个数，甲把1～9这9个自然数以任意的顺序填在图中第一行的方格内，乙把1～9这9个自然数以任意的顺序填在图中第二行的方格内，然后计算每一列的两个数的差（大数减小数），最后将计算所得的9个差值相乘，规定：如果积为偶数，则甲胜；如果积为奇数，则乙胜．事件“最终甲胜出”是（　　）A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定解：因为1～9这9个自然数中有5个奇数，4个偶数，无论怎么填写，一定有一列是奇数，其差是偶数，所以积一定是偶数，故甲一定胜出，所以事件“最终甲胜出”是必然事件．故选：A．2．（2分）（2023•盐城一模）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　）A． B． C． D．解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，则它最终停留在黑砖上的概率是．故选：C．3．（2分）（2023•泰州）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（　　）A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．故选：D．4．（2分）（2023•姑苏区校级二模）2023年苏州市体育中考，某校6名学生的体育成绩折线统计图，如图所示，则这组数据的众数、中位数、平均数依次是（　　）​A．48，47.5，47.5 B．48，48，48 C．48，48，48.5 D．48，47.5，48.5解：这组数据48出现的次数最多，出现了3次，则这组数据的众数是48；把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（48+48）÷2＝48，则中位数是48；这组数据的平均数是：（47×2+48×3+50）÷6＝48，故选：B．5．（2分）（2023•邗江区一模）如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；④乙的综合评分比甲要高．其中合理的是（　　）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④解：由图形可知：甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理；甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②合理；甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故乙与他人的沟通和合作能力弱于甲，故③合理；甲的各项得分为5，5，4，4，1；乙的各项得分为5，5，4，4，3，乙的综合评分比甲要高2分，故④合理．综上，合理的选项有①②③④．故选：D．6．（2分）（2023•秦淮区一模）某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如图的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是（　　）A．4.5 B．4.7 C．4.9 D．5.1解：把全校学生的视力从低到高排列，排在中间的数在4.6﹣4.7，所以该校学生视力的中位数可能是4.7．故选：B．7．（2分）（2023春•亭湖区校级期末）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式S＝来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为（　　）​A．0.79 B．0.99 C．1.01 D．1.27解：由图1可知，矩形的面积大于叶的面积，即S＜ab，∴S＝＜ab，∴k＞1，由图2可知，叶片的尖端可以近似看作等腰三角形，∴稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分，∴矩形的长为4t，等腰三角形的高为3t，稻叶的宽为b，∴k＝＝≈1.27，故选：D．8．（2分）（2023春•泰州期末）下列事件是必然事件的为（　　）A．抛一枚均匀骰子，点数是1的一面朝上 B．打开电视，正在播放神州十六号载人飞船发射实况 C．端午节赛龙舟，甲队获得冠军 D．三角形的内角和是180°解：A、抛一枚均匀骰子，点数是1的一面朝上，是随机事件，不符合题意；B、开电视，正在播放神州十六号载人飞船发射实况，是随机事件，不符合题意；C、端午节赛龙舟，甲队获得冠军，是随机事件，不符合题意；D、三角形的内角和是180°，是必然事件，符合题意．故选：D．9．（2分）（2023•射阳县校级二模）如图，点C、D在线段AB上，且AC：CD：DB＝3：2：1．以点A为圆心，分别以线段AC、AD、AB为半径画同心圆，记以AC为半径的圆为区域Ⅰ，CD所在的圆环为区域Ⅱ，DB所在的圆环为区域Ⅲ．现在此图形中随机撒一把豆子，统计落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则（　　）A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同解：∵AC：CD：DB＝3：2：1，∴设AC＝3x，CD＝2x，DB＝x，∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积分别为S1＝π•（3x）2＝9x2π，S2＝π•（5x）2﹣π•（3x）2＝16x2π，S3＝π•（6x）2﹣π•（5x）2＝11x2π，∵S2＞S3＞S1，∴豆子落在区域Ⅰ的概率最小．故选：A．10．（2分）（2023•鼓楼区校级二模）如图是小宁连续两周居家记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的信息正确的是（　　）A．第一周体温的中位数为37.1°C B．这两周体温的众数为36.6°C C．第二周平均体温高于第一周平均体温 D．第一周的体温比第一周的体温更加平稳解：A．第一周体温的中位数为36.9℃，信息不正确，故本选项不符合题意；B．这两周体温36.6℃出现的次数最多，是4次，所以众数是36.6，故本选项符合题意；C．第一周平均体温是×（36.7+37.1+36.6+37.1+37.1+36.6+36.9）≈36.9（℃），第二周平均体温×（36.7+36.6+36.7+36.8+36.6+36.6+36.8）≈36.7（℃），第一周平均体温高于第二周平均体温，故本选项不符合题意；D．根据折线统计图可得：第二周的体温比第一周的体温更加平稳，故本选项不符合题意．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•高邮市期末）某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级500名学生每天做课后作业的总时间情况进行调查，从中随机抽取了50名学生进行每天做课后作业的时间情况的调查，该调查中的样本容量是 　50　．解：某校为了有效落实“双减”政策，切实减轻学生过重的作业负担，针对八年级500名学生每天做课后作业的总时间情况进行调查，从中随机抽取了50名学生进行每天做课后作业的时间情况的调查，该调查中的样本容量是50，故答案为：50．12．（2分）（2023•苏州一模）如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 　　．​解：∵共有16小正方形，其中阴影部分为4个小正方形，∴任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是＝．故答案为：．13．（2分）（2023•泰州）七（1）班40名同学上周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示，设这组数据的中位数为mh，则m　＜　2.6．（填“＞”“＝”“＜”）​解：因为有40个数据，中位数应是数据有小到大排列第20、21个数据的平均数，由频数分布直方图可知：第1﹣5组的人数分别为5，7，12，9，7，所以第20、21个数据都在第3组，即2.0～2.5，这两个数的平均数一定小于2.6，故答案为：＜．14．（2分）（2023•宝应县校级三模）为确保产品质量，某厂质检部门定期对该厂生产的各类产品按一定比例进行随机检查．并统计产品的合格情况，如图表示的是A产品的部分质检数据：估计该厂生产的A产品合格的概率是 　0.95　．（结果精确到0.01）解：由图可知，随着取样的不断增大，产品合格的频率在0.95附近波动，故估计该厂生产的A产品合格的概率为0.95．故答案为：0.95．15．（2分）（2023春•淮阴区校级期末）某种水稻种子在相同条件下发芽实验的结果如表：则该种水稻种子发芽的概率的估计值为 　0.9　（精确到0.1）．解：由表格知，该种水稻种子发芽的概率的估计值为0.9，故答案为：0.9．16．（2分）（2023•姜堰区一模）如图，小明制作了一个含内接正三角形的圆形标靶，图中的阴影部分是正三角形的内切圆，小明随意向该标靶区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为 　　．解：如图，由题意，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，设OA＝R，OB＝r，则OA＝2OB，∴外接圆的面积为πR2＝4πr2，内切圆面积为πr2，∴飞镖落在阴影区域的概率为，故答案为：．17．（2分）（2023•盐都区三模）在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩如图所示（单位：环），在这三人中，此次射击成绩最稳定的是 　乙　．解：根据统计图波动情况来看，此次射击成绩最稳定的是乙，波动比较小，比较稳定．故答案为：乙．18．（2分）（2023春•兴化市月考）在一个不透明的袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中绿球2个，红球3个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是　　．解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：共有20种等可能出现的情况，其中都是红球的有6种，∴P＝＝．故答案为：．19．（2分）（2022•宜兴市二模）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式S＝来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k　＞　1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 　1.27　（结果保留小数点后两位）．解：由图1可知，矩形的面积大于叶的面积，即S＜ab，∴S＝＜ab，∴k＞1，由图2可知，叶片的尖端可以近似看作等腰三角形，∴稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分，∴矩形的长为4t，等腰三角形的高为3t，稻叶的宽为b，∴k＝＝≈1.27，故答案为：＞，1.27．20．（2分）（2021•武进区校级自主招生）有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程+2＝有正整数解的概率为 　　解：解分式方程得：x＝，∵分式方程的解为正整数，∴2﹣a＞0，∴a＜2，∴a＝0，1，∵分式方程的解为正整数，当a＝1时，x＝2不合题意，∴a＝0，∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为，故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•宿迁）为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图．学生参加周末活动人数统计表请结合图表中提供的信息，解答下列问题：（1）m＝　24　，n＝　62　；（2）扇形统计图中A对应的圆心角是 　72　度；（3）若该校九年级有800名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数．解：（1）由题意得：48÷24%＝200（人），则n＝200×31%＝62（人），m＝200﹣40﹣48﹣62﹣26＝24（人）；故答案为：24，62；（2）扇形统计图中A对应的圆心角是：360°×＝72°，故答案为：72；（3）800×＝96（人），答：该校九年级周末参加家务劳动的人数约有96人．22．（6分）（2023•建邺区二模）某初中2013年至2022年这十年间入学人数如下表：根据表格内容，解决下列问题：（1）若要反映该初中这十年入学人数的变化趋势，最适合的统计图是 　C　．A．条形统计图B．扇形统计图C．折线统计图（2）与上年相比，该初中入学人数增加最多的年份是 　2022　年；（3）假定每年学生入学后没有转入转出的情况．到2021年底，该初中在校教师总数与在校的三个年级学生总数的比是1：13．如果到2022年底该比值仍不低于1：13，那么2022年该初中在校教师人数至少增加多少？解：（1）若要反映该初中这十年入学人数的变化趋势，最适合的统计图是是扇形统计图，故选：C；（2）从表中数据可以看出，与上年相比，该初中入学人数增加最多的年份是2022年；故答案为：2022；（3）496+517+521＝1534 （人），1534÷13＝118（人），设教师人数增加了x人．．解得 ．答：教师人数至少增加4人．23．（8分）（2023•建邺区二模）“五一”假期期间，南京旅游市场强劲复苏．甲、乙两位游客准备在5月3日各自游玩玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点，他们游玩每个景点的顺序是随机的．（1）求甲游玩的第一处景点是鸡鸣寺的概率；（2）甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的概率是 　　．解：（1）将玄武湖、鸡鸣寺、台城这三处景点分别记为A，B，C．甲所有可能的游玩顺序有：（A，B，C）、（A，C，B）、（B，A，C）、（B，C，A）、（C，A，B）、（C，B，A），共有6种结果，它们出现的可能性相同．满足甲游客最先去鸡鸣寺（记为事件M）的结果有2种，即（B，A，C）、（B，C，A），所以 ；（2）将（A，B，C）、（A，C，B）、（B，A，C）、（B，C，A）、（C，A，B）、（C，B，A）分别记作①、②、③、④、⑤、⑥，列表如下：由表知，共有36种等可能结果，其中甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的有6种结果，所以甲、乙以相同顺序游玩这三处景点的概率为＝，故答案为：．24．（8分）（2023•泉山区校级三模）夏季是中小学生溺水事故的高发期．某学校为了解学生对防溺水“六不准”内容的掌握程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有以下四个选项：A．全部了解；B．了解较多；C．了解较少；D．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被抽取的学生共有 　100　名；（2）扇形统计图中的选项“B．了解较多”部分所占扇形的圆心角的大小为 　144°　；（3）若该校共有2000名学生，请根据上述调查结果估计该校对于防溺水“六不准”内容“全部了解”和“了解较多”的学生共有多少名？解：（1）从条形图知“了解较少”的有30名，从扇形图知“了解较少”占30%，∴抽查的学生数为：30÷30%＝100（名）；故答案为：100；（2）∵100﹣20﹣30﹣10＝40（名）；∴“B．了解较多”的有40名，∴扇形图中的选项“B．了解较多”部分所占扇形的圆心角的大小为：，故答案为：144°；（3）“全部了解”和“了解较多”的学生占抽查学生数的百分比为：，2000×60%＝1200（名），答：估计该校对于防溺水“六不准”内容“全部了解”和“了解较多”的学生共有1200名．25．（8分）（2023春•泰州期末）2023年6月份是第22个全国“安全生产月”，主题是“人人讲安全、个个会应急”．小明同学学完统计知识后，随机调查了他所在辖区部分居民，并对安全常识进行问卷调查，根据调查情况，将结果分为4个等级：A优秀；B良好；C合格；D不合格，将调查数据绘制成如下条形统计图和扇形统计图，请根据以下不完整的统计图提供的信息；解答下列问题：（1）小明同学共调查了 　80　名居民的年龄，扇形统计图中C等级所在扇形的圆心角度数是 　108°　；（2）补全条形统计图：（3）若该辖区获得A等级的居民约有1500人，请估计获得D等级的居民人数，并根据结果提出一条合理化的建议．解：（1）这次学校抽查的学生人数是：32÷40%＝80（人），360°×＝108°，故答案为：80，108°；（2）B等级的人数为：80﹣32﹣24﹣8＝16（人），补全条形图如下：（3）1500÷40%＝3750（人），D等级的居民人数：3750×＝375（人），因为不合格人数较多，建议多在小区开展安全知识讲座，提高居民安全防范意识．答：估计该校D等级的人数375人．26．（8分）（2023•新吴区二模）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有害垃圾；B类指剩余食品等厨余垃圾；C类指塑料、废纸等可回收物；D类指其他垃圾．大伟投放了一袋垃圾，小亮投放了两袋不同类的垃圾．（1）直接写出大伟投放的垃圾恰好是A类的概率是 　14　；（2）如果大伟投放的垃圾是A类，请用画树状图或列表的方法求小亮投放的两袋垃圾与大伟投放的垃圾均是不同类的概率．解：（1）∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，分别是：A类指废电池、过期药品等有害垃圾；B类指剩余食品等厨余垃圾；C类指塑料、废纸等可回收物；D类指其他垃圾，∴大伟投放的垃圾恰好是A类的概率是：；故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：小亮投放垃圾共12种，恰有一袋与小明不一样是A类的有6种，则小亮投放的两袋垃圾与大伟投放的垃圾均是不同类的概率：＝．27．（8分）（2023•高港区二模）“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归教育的初衷．某校计划向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级，3个为九年级班级．学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．（1）第一周选择九年级班级的概率为 　　；（2）请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．解：（1）根据题意得：第一周选择的是九年级班级的概率为；故答案为：；（2）用字母A，B代表八年级两个班级，C，D，E代表九年级3个班级，根据题意画树状图如下：由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况，∴两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．28．（8分）（2023•崇川区校级四模）小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．（1）如果小明第一题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少？（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率．（3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几题使用“求助”，才能使他过关的概率较大．解：（1）∵第一道单选题有3个选项，∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；故答案为：；（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，∴小明顺利通关的概率为：；（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；∴建议小明在第一题使用“求助”每批粒数m100500800100020005000发芽的频数n9444272890217984505发芽的频率0.9400.8840.9100.9020.8990.901活动名称人数A．课外阅读40B．社会实践48C．家务劳动mD．户外运动nE．其它活动26年份20132014201520162017入学人数512495477463478年份20182019202020212022入学人数485496517521544①②③④⑤⑥①（①，①）（②，①）（③，①）（④，①）（⑤，①）（⑥，①）②（①，②）（②，②）（③，②）（④，②）（⑤，②）（⑥，②）③（①，③）（②，③）（③，③）（④，③）（⑤，③）（⑥，③）④（①，④）（②，④）（③，④）（④，④）（⑤，④）（⑥，④）⑤（①，⑤）（②，⑤）（③，⑤）（④，⑤）（⑤，⑤）（⑥，⑤）⑥（①，⑥）（②，⑥）（③，⑥）（④，⑥）（⑤，⑥）（⑥，⑥）