新高考数学一轮复习考点精讲精练 第05讲 复数（2份，原卷版+解析版）

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1．复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，
其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，
即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(——→))＋eq \(OZ2,\s\up6(——→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(——→))＝eq \(OZ2,\s\up6(——→))－eq \(OZ1,\s\up6(——→)).
4．
如图的复平面中，r＝eq \r(a2＋b2)，cs θ＝eq \f(a,r)，sin θ＝eq \f(b,r)，tan θ＝eq \f(b,a)(a≠0)．
任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cs θ＋isin θ)的形式．
我们把r(cs θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式．
复数乘、除运算的三角表示：
已知复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，则
z1·z2＝r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
eq \f(z1,z2)＝eq \f(r1,r2)[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
一．复数的四则运算
例1．（1）复数＝（ ）
A． B． C． D．
（2）设为虚数单位，复数（ ）
A．B．C．D．
（3）i是虚数单位，则复数___________.
二．共轭复数
例2．（1）已知，则复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
（2）复数，则（ ）
A．B．C．D．
（3）的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
三．求复数的模
例3．（1）设复数z满足，则（ ）
A．6B．6C．D．5
（2）若，为虚数单位，则（ ）
A．1B．2C．3D．
（3）计算：___________.
四．求复数的实部与虚部
例4．（1）复数满足，则复数的实部是（ ）
A．B．C．D．
（2）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
（3）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
五．复数的相等
例5．（1）已知，若（i为虚数单位），则的值为（ ）
A．3B．C．1D．
（2）复数，，若，则（ ）
A．B．C．D．
（3）复数z满足（i为虚数单位），则实数m＝（ ）
A．2B．1C．－1D．－2
六．已知复数类型求参数
例6．（1）若复数为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A．B．10C．100D．或10
（2）已知复数是纯虚数，则___________.
（3）已知复数，其中．
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求的虚部．
七．判断复数对应的点所在象限
例7．（1）复数（表示虚数单位）在复平面内对应的点为（ ）
A．（－1，2）B．（1，－2）C．（1，2）D．（2，1）
（2）已知是虚数单位，，则复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（3）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
八．根据复数的坐标写出对应的复数
例8．（1）如图所示，在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
（2）已知点，，，复数，在复平面内对应的向量分别是，，则复数（ ）
A．B．C．D．
（3）在复平面内，复数和对应的点分别是和，则_______.
九．根据复数对应坐标的特点求参数
例9．（1）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
（2）在复平面内，若复数所对应的点落在直线上，其中i为虚数单位，则（ ）
A．B．C．9D．12
（3）复数，且z在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的值可以为（ ）
A．2B．C．D．0
十．由复数模求参数
例10．（1）已知复数z的虚部为1，且，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为___________.
（2）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．
（3）写出一个同时满足下列条件的复数__________.
①；②复数在复平面内对应的点在第四象限.
十一．与复数模相关的轨迹（图形）问题
例11．（1）若z是复数，且，则的最大值是（ ）
A．12B．8C．6D．3
（2）已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
（3）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
十二．复数的三角形式
例12．（1）法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式推动了复数领域的研究．根据该公式，可得（ ）．
A．1B．C．D．
（2）在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（ ）
A．B．4C．D．16
（3）复数在复平面内对应点为，为原点，以为始边，为终边逆时针旋转的角为，，则.法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数的乘方公式：.则（ ）
A．B．
C．D．
1．已知i为虚数单位，复数，则z的虚部为（ ）
A．iB．1C．7D．7
2．若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A．2iB．C．2D．
3．若复数，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
5．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．若复数满足，则复数的实部为（ ）
A．B．C．D．
8．若，其中，i为虚数单位，则复数所对应复平面内的点Z位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．是复数z的共轭复数，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．若（i为虚数单位），则实数a的值为（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
11．已知为复数的共轭复数，且，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知复数满足，则（ ）
A．B．1C．2D．
13．若，其中为虚数单位，则实数m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
14．在复平面内，复数z对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
15．若复数（i为虚数单位），则在复平面内，对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
16．若（i为虚数单位），则在复平面内复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
17．复数则在复平面内，对应的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
18．复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
19．非零复数满足，则复平面上表示复数的点位于（ ）
A．实轴B．虚轴C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
20．若复数是纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
21．已知复数，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．复数z的共轭复数为
C．D．
22．已知m，，是虚数单位，若，则（ ）
A．B．4C．D．3
23．若（为虚数单位），则（ ）
A．5B．2C．3D．1
24．已知复数z满足，则（ ）
A．B．2C．D．
25．设复数z满足，则|z|=（ ）
A．1B．C．2D．2
36．i是虚数单位，设复数满足，则的共轭复数（ ）
A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+i
26．已知复数满足，则（ ）
A．100B．10C．5D．
27．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A．2B．C．4D．10
28．欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，（ ）
A．B．C．D．
29．已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．1B．C．2D．4
30．世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
31．（多选）若复数，则（ ）
A．B．z的实部为
C．z的虚部为D．复平面内z对应的点在虚轴上
32．（多选）下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A．B．
C．的共轭复数为D．的虚部为1
33．（多选）若，则n可以是（ ）
A．102B．104C．106D．108
34．（多选）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
35．（多选）对于复数 (，∈R)，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数B．若，则，
C．若，则为实数D．的平方等于1
36．（多选）已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A．z的虚部是6B．
C．是纯虚数D．复数满足，则复数对应点的集合是个圆
37．（多选）若，则z可能为（ ）
A．B．C．D．
38．（多选）设有下面四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若复数z满足，则；
B．若复数z满足，则；
C．若复数满足，则；
D．若复数，则
39．（多选）已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的模为
B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
40．设，其中a，b是实数，则____________．
41．设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：___________.
42．若复数是正实数，则实数的值为________．
43．已知复数满足，则___________.
44．已知复数，则____________
45．设复数，满足，，，则________．
46．已知，，，为虚数单位．且是纯虚数．
(1)求实数的值；
(2)求的值．
47．已知复数，．
(1)若对应复平面上的点在第四象限，求的范围；
(2)若是纯虚数，求的值．
48．（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；
（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.
49．已知复数
(1)若为纯虚数，求实数的值；
(2)若在复平面内的对应点位于第四象限，求实数的取值范围及 的最小值.
50．已知复数z＝bi(b∈R)，eq \f(z－2,1＋i)是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0