沪教版数学九年级上册考点讲练第24章 相似三角形（单元提升卷）（2份，原卷版+解析版）

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考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一、单选题(本大题共6题，每题4分，满分24分)
1．若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质，两內项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由得，ac=bd，故本选项错误；
B、由得，ac=bd，故本选项错误；
C、由 得，ad=bc，故本选项正确；
D、由 得，ac=bd，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两內项之积等于两外项之积的性质，熟记性质是解题的关键．
2．如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是( )
A．，B．，
C．,D．，
【答案】C
【分析】根据各个选项的条件只要能推出 或 ，即可得出△ADE∽△ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出即可．
【详解】解：
A、根据和，不能推出DE∥BC，故本选项错误；
B、根据和，不能推出DE∥BC，故本选项错误；
C、∵ ，
∴ ，
∵，
∴=
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，故本选项正确；
D、根据= 和 =,不能推出DE∥BC，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出△ABC∽△ADE．
3．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长( )
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】分两种情况：①△ABC∽△CDB，②△ABC∽△BDC；根据相似三角形的对应成比例，从而可求得BD的长．
【详解】解：分两种情况：
①∵△ABC∽△CDB，
∴，
即，
∴BD=；
②由勾股定理得：AB= =4，
∵△ABC∽△BDC，
∴ ，即 ，
解得：BD= ；
综上可知：BD的长为；或
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于E，则下列结论正确的是( )
A．△AED∽△ACBB．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACED．△AEC∽△DAC
【答案】C
【详解】：∵∠BAC=90°，D是BC中点，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C，
又∵AE⊥AD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB=∠C，
而∠E是公共角，
∴△BAE∽△ACE
故选C．
5．已知小丽同学身高米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（ ）．
A．20米B．30米C．40米D．50米
【答案】B
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，
设建筑物的高度为xm，则可列比例为：,
解得：x=30，
故选B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用同一时刻物高和影长成正比得出是解题关键．
6．若向量与均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量与均为单位向量，可得向量与的模相等，但方向不确定．
【详解】解：∵向量与均为单位向量，
∴向量与的模相等，
∴.
故答案是：D.
【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．
【答案】
【详解】∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
故答案为．
8．如图，在中，点、分别在边、上，平分，，如果，，那么 ．
【答案】15
【分析】因为平分，，可证DE=EC ,
【详解】解：根据，
即BC=15 .
考点：三角形一边平行线的性质．
9．两个相似三角形面积比为1：9，小三角形的周长为4cm，则另一个三角形的周长为___________cm．
【答案】12
【详解】试题分析：设另一个三角形的周长是xcm，
根据相似三角形的性质得：=，
解得：x=12．
故答案为12．
考点：相似三角形的性质．
点评：本题考查了对相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，主要培养了学生运用性质进行计算的能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
10．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是_____cm．
【答案】5(3-)
【分析】把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值叫做黄金比.
【详解】由题意知,则较短线段= = .
故答案为: .
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金比是解答本题的关键.
11．在比例尺为的地图上，上海与香港之间的距离为厘米，则上海与香港之间的实际距离为______千米．
【答案】1230
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的实际距离．
【详解】解：设上海与香港之间的实际距离为x厘米，根据比例尺为1：10000000，列出比例式得：
1：10000000=12.3：x，
解得x=123000000，
则123000000厘米=1230千米，
答：上海与香港之间的实际距离为1230千米．
故答案为1230．
【点睛】本题主要考查了比例线段，掌握比例尺=图上距离：实际距离是本题的关键，注意单位的统一．
12．如果，那么______．
【答案】1
【分析】根据等式的性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案．
【详解】解：解：由3x=2y，得
∴
故答案为1．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出是解题关键，又利用了分式的性质．
13．在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为____________.
【答案】1:9
【分析】由已知可证△ADE∽△ABC，可求相似比为1：3，所以△ADE与△ABC的面积比为1：9．
【详解】解：∵在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC．
∴△ADE∽△ABC．
∵AD=1，DB=2
∴AD：AB=1：3
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9．
14．在中，, 那么这个三角形的重心到BC的距离是________，
【答案】1
【详解】∵AB=AC=5cm
∴△ABC是等腰三角形
∴三角形的重心G在BC边的高
根据勾股定理设该高为a，
∴a2+42=52
则a=3cm，
根据三角形的重心性质
∴G到BC的距离是1cm.
15．如图，在中，，，为上的一点，四边形为菱形，则菱形的边长为______．
【答案】
【分析】由DF∥AB，推出△CFD∽△CAB，于是得到，设菱形的边长为x，列出方程，求解即可．
【详解】解：∵四边形AEDF为菱形，
∴DF∥AB，
∴△CFD∽△CAB，
∴
设菱形的边长为x，
∴
解得
故答案为.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，能根据比例线段正确列出方程是解题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．
【答案】
【详解】∵，
∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，
∴AC=a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC
∴a2=CE•a，2a2=AE•a，
∴CE=，AE=，
∴，
∵△CEF∽△AEB，
∴
故答案为
17．如图，在中，，，，则的值为______．
【答案】
【分析】根据条件证得：∠ADC=∠CDB，∠ACD=∠B，得到△BCD∽△CAD，再由相似三角形面积的比等于相似的平方，即可求解．
【详解】解：∵S△BCD=3S△CAD，

∵∠ADC=∠CDB=90°，∠C=90°，
∴∠ACD=∠B=90°-∠A，
∴△BCD∽△CAD，

故答案为.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的性质：相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方，熟记定理是解决问题的关键．
18．如图，在直角梯形 ABCD 中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P 是 AB 上一个动点，当 PC+PD 的和最小时，PB 的长为___________．
【答案】3
【分析】要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：延长CB到E，使EB=CB，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BE，
∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，
∴△ADP∽△BEP，
∴AP：BP=AD：BE=4：6=2：3，
∴PB=PA，
又∵PA+PB=AB=5，
∴PB=AB=3．
三、解答题（19、20、21、22题每题满分10分，23、24题每题满分12分，25题满分14分）
19．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
【答案】FN：ND=2：3．
【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FE=BC，根据已知推出CD=，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．
【详解】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴，
∵AF：BF=1：2，
∴=，
∴，
即FE=BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD=BC，
∵FE∥BD，
∴．
即FN：ND=2：3．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
20．如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q．
（1）求证：△DCP∽△QBP．
（2）若， 求的值．

【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质得到CD∥BQ，于是得结论；
（2）根据矩形的性质AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，推出△DCP∽△QBP，根据相似三角形的性质得到，于是得到，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴CD∥BQ，
∴△DCP∽△QBP；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，
∴△DCP∽△QBP，
∴，
∴ ，
∴==．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21．已知：如图，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H
（1）求证：MB=MD；
（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．
【分析】（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DN得到=，加上AM=ME，则BM=MN，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到MB=MD；
（2）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥NE得到==1，即AB=NE，再利用AB=BC，DC=DE可得BD=DN，则△BDN为等腰直角三角形，所以DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，接着由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形得到∠CED=∠ACB=∠45°，则可得到CE∥BN，AC∥DM，于是可判断四边形MGCH为平行四边形，加上∠GMH=90°，则可判断四边形MGCH为矩形．
【详解】证明：（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，
∵∠ABC=∠CDE=90°，
∴AB∥DN，
∴=，
而点M为AE中点，
∴AM=ME，
∴BM=MN，
∴DM为Rt△BDN的斜边上的中线，
∴MB=MD；
（2）∵AB∥NE，
∴==1，即AB=NE，
∵AB=BC，DC=DE，
∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，
∴△BDN为等腰直角三角形，
∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，
∵AB=BC，DC=DE，
∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠CED=∠ACB=∠45°，
∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，
∴CE∥BN，AC∥DM，
∴四边形MGCH为平行四边形，
而∠GMH=90°，
∴四边形MGCH为矩形．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．也考查了矩形的判定和等腰直角三角形的性质．
22．如图，已知在△中，是边上的中线，设，；
（1）求（用向量的式子表示）
（2）如果点在中线上，求作在方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
【答案】（1）； （2）见解析.
【分析】（1）根据AD是边BC上的中线可得BD=BC,可得,根据可求出；
（2）利用平行四边形法则，即可求得在方向上的分向量.
【详解】（1）因为AD是边BC上的中线，所以BD=BC,所以,因为，所以；
（2）如图，过点E作EM∥BC，EN∥AB，就是在方向上的分向量.
【点睛】本题主要考查平面向量和平行四边形法则，解题的关键是掌握平行四边形法则画出分向量.
23．已知：，设，，，求、、的值，并且比较它们大小．
【答案】，理由见解析
【分析】令，则，，，把x、y、z的值分别代入A、B、C中求值后，比较即可解答.
【详解】解：令，
则，，，
故，
，
，
故．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是设出一个系数，用这个系数表示出x、y、z的值后代入即可求解．
24．在中，，，，平分，交于于．试说明点是线段的黄金分割点．
【分析】根据等腰三角形的两底角相等以及角平分线的定义求出∠DBC=36°，再证明△BCD∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入数据计算出AD的值，由此即可判定点D是线段AC的黄金分割点．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵平分，交于于，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴：．
∴点是线段的黄金分割点．
【点睛】本题考查了黄金分割点的知识：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．
25．已知一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AE的表达式；
（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
【答案】（1）B（8，0）；（2）直线AE的表达式为y=-2x+6； (3) △OFB为等腰三角形，S△OBF=8.
【分析】（1）对于一次函数y=-x+6，令y=0和x=0求出对应的x与y的值，确定出OA及OB的长，即可确定出B的坐标；
（2）由（1）得出A的坐标，利用勾股定理求出AB的长，过E作EG垂直于AB，由AE为角平分线，利用角平分线定理得到EO=EG，利用HL可得出直角三角形AOE与直角三角形AGE全等，可得出AO=AG，设OE=EG=x，由OB-OE表示出EB，由AB-AG=AB-AO表示出BG，在直角三角形BEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OE的长，得出E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0），将A和E的坐标代入，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可得到直线AE的解析式；
（3）延长BF与y轴交于K点，由AF为角平分线得到一对角相等，再由AF与BF垂直得到一对直角相等，以及AF为公共边，利用ASA得出三角形AKF与三角形ABF全等，可得出AK=AB，利用三线合一得到F为BK的中点，在直角三角形OBK中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到OF为BK的一半，即OF=BF，过F作FH垂直于x轴于H点，利用三线合一得到H为OB的中点，由OB的长求出OH的长，即为F的横坐标，将求出的横坐标代入直线AE解析式中求出对应的纵坐标，即为HF的长，以OB为底，FH为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形BOF的面积；
【详解】（1）对于y=-x+6，
当x=0时，y=6；当y=0时，x=8，
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=10，
则A（0，6），B（8，0）；
（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G
∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，
∴EG=OE，
在Rt△AOE和Rt△AGE中，
∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AO，
设OE=EG=x，则有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4，
在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x，
根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
∴E（3，0），
设直线AE的表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得： ，解得
则直线AE的表达式为y=-2x+6；
(3)延长BF交y轴于点K，
∵AE平分∠BAO，
∴∠KAF=∠BAF，
又BF⊥AE，
∴∠AFK=∠AFB=90°
∵AF=AF
∴△AFK≌△AFB，
∴FK=FB，即F为KB的中点，
又∵△BOK为直角三角形，
∴OF= BK=BF，
∴△OFB为等腰三角形，
过点F作FH⊥OB，垂足为H（如图所示），
∵OF=BF，FH⊥OB，
∴OH=BH=4，
∴F点的横坐标为4，
设F（4，y），将F（4，y）代入y=-2x+6，得：y=-2，
FH=|-2|=2，
则S△OBF= OB•FH= ×8×2=8.