沪教版数学九年级上册考点讲练第24章 相似三角形（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·上海市进才中学一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个矩形C．两个菱形D．两个等腰梯形
2．（2022·上海市青浦区教育局二模）已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·上海市杨浦民办凯慧初级中学一模）在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（ ）
A．50cmB．500cmC．D．
4．（2022·上海宝山·九年级期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·上海崇明·九年级期末）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
6．（2022·上海青浦·九年级期末）如果（、均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．与方向相同
7．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，点分别在的边、上，下列各比例式不一定能推得的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2022·上海金山·二模）已知在中，点、分别在边、上，//，如果和四边形的面积分别为4和5，，那么______．
10．（2021·上海·位育中学九年级阶段练习）计算______．
11．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，，请你再添加一个条件______，使得．
12．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝8，那么AP＝_____．
13．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）实数9和6的比例中项是_____．
14．（2021·上海市蒙山中学九年级期中）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分别是它们的对应角平分线，则BE：B1E1＝______．
15．（2022·上海闵行·九年级期末） 为单位向量， 与 的方向相同， 且长度为 2 ， 那么 _________
16．（2022·上海黄浦·九年级期末）计算：如果，那么_________
17．（2022·上海杨浦·九年级期末）在某一时刻， 直立地面的一根竹竿的影长为 3 米，一根旗杆的影长为 25 米， 已知这根竹竿的长度为 米， 那么这根旗杆的高度为____________米．
18．（2022·上海虹口·九年级期末）已知的两直角边之比为3：4，若与相似，且最长的边长为20，则的周长为______．
19．（2022·上海青浦·九年级期末）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______．
20．（2022·上海崇明·九年级期末）计算：____________．
21．（2022·上海奉贤·九年级期末）如果 , 那么 ________．
22．（2022·上海静安·二模）在和中，，，，，，判定这两个三角形是否相似_______．（填“相似”或“不相似”）
三、解答题
23．（2021·上海·九年级专题练习）已知：如图，EF是的中位线，设，．
（1）求向量、（用向量、表示）；
（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
24．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
25．（2022·上海黄浦·九年级期末）已知：如图，在中，
(1)求证
(2)如果，求的长．
26．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知实数x、y、z满足，且x﹣2y+3z＝﹣2．求：的值．
27．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
28．（2022·上海金山·九年级期末）已知：如图，直线MN，垂足为，，点是射线DM上的一个动点，，边AC交射线DN于点，的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：；
（2）如果，，求关于的函数关系式；
（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与相似，求AE的长．
29．（2022·上海松江·九年级期末）已知：如图，梯形ABCD中，DCAB，AC＝AB，过点D作BC的平行线交AC于点E．
(1)如果∠DEC＝∠BEC，求证：CE2＝ED•CB；
(2)如果AD2＝AE•AC，求证：AD＝BC．
【典型】
一、填空题
1．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C旋转，点A、B、D的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为____．
2．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？
3．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）两个相似三角形的面积之差为，周长比是2：3，那么较小的三角形面积是______．
4．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图，四边形是三个正方形、__________
5．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）如图，是内一点，过点分别作直线平行于各边，形成三个小三角形面积分别为，则__________
二、解答题
6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）连接BD，求∠DBC的正切值．
7．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）已知直角三角形斜边上的高为，且斜边上的高把斜边分成两段，则斜边上的中线长是__________
【易错】
一．选择题（共4小题）
1．（2022春•闵行区校级期末）已知：，那么下列等式中，不一定成立的是（ ）
A．5x＝3yB．C．x+y＝8D．
2．（2021秋•金山区期末）已知＝，那么下列等式中成立的是（ ）
A．2a＝3bB．＝C．＝D．＝
3．（2021秋•青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021秋•青浦区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题）
5．（2021秋•普陀区期末）如果x：y＝2：3，y：z＝9：4，那么x：y：z＝ ．
6．（2022春•浦东新区校级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果△BCD的面积是△ABD面积的2倍，那么△BOC与△BDC的面积之比是 ．
7．（2022•长宁区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是 ．
8．（2022•静安区二模）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8，判定这两个三角形是否相似． ．（填“相似”或“不相似”）
9．（2022春•普陀区校级期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为 ．
10．（2021秋•浦东新区期末）如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021秋•奉贤区期末）已知：x：0.5＝：4，求x的值．
12．（2021秋•奉贤区期末）已知：a：b＝3：4，b：c＝，求：a：b：c．（写成最简整数比）
13．（2022•松江区二模）已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．
（1）求证：；
（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．
14．（2022春•杨浦区校级期中）如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．
（1）求证：AB2＝AC•AE；
（2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若＝，求的值．
15．（2022•青浦区模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．
（1）求证：AB＝CD；
（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．
【压轴】
一、填空题
1．（2021·上海市延安初级中学九年级期中）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．
（1）ED的长为____________．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
2．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．
3．（2022·上海民办永昌学校九年级期中）如图，，，将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在中线上，且点是的重心，与相交于点，那么_______．
二、解答题
4．（2021·上海市徐汇中学九年级阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果点在对角线上，联结并延长，交边于点，交线段的延长线于点（点可与点重合），，设长度是是常数，且，，，求关于的函数关系式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题的条件下，当是等腰三角形时，求的长（计算结果用含的代数式表示）
5．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC·BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF
(1)求证：AE＝AC；
(2)设，，求关于的函数关系式及其定义域；
(3)当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．