北师大版数学九上期末复习训练专项03 正方形中四个常考模型（2份，原卷版+解析版）

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模型一：正方形的“十字架”模型
模型二：正方形中过对角线交点的直角问题
正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点分别在上.若为直角，分别与的延长线交于点，则△AOE≌△BOF，
△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且.
模型三：正方形中的“三垂定理”模型
如图，已知正方形ABCD，过点B、D两点分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E、F，则有△BCE≌△CDF
条件：①正方形ABCD，②∠EAF=45°
结论：
①EF=BE+DF；(△CEF的周长=正方形ABCD周长的一半）
②EA平分∠BEF
③FA平分∠DAE
模型四：正方形半角模型
条件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°
结论：EF=DF-BE
☆：当∠EAF旋转到正方形ABCD外部时，则有：
【模型一：正方形的“十字架”模型】
【典例1】如图，ABCD是一个正方形花园，是它的两个门，且.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
【探究】若去掉“”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？
（1）若已知，则成立吗？
（2）若已知，则成立吗？
【解答】且，理由：∵四边形ABCD是正方形，，.又.△ABE≌△DAF（SAS）.
.，.
，即.
【探究】解：（1）成立.理由：∵四边形ABCD是正方形，，
.在Rt△ABE和Rt△DAF中，Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）. .，.
，即.
（2）成立.理由：∵四边形ABCD是正方形，.
又..，
.△ABE≌△DAF（ASA）..
【变式1-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，求证：AE＝BF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90˚，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF．
【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，点H在AB上，且不与A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．
（1）若BP＝CH，求证：BP⊥CH；
（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP＝5，求线段BE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
在Rt△PAB和Rt△HBC中，
，
∴Rt△PAB≌Rt△HBC（HL），
∴∠APB＝∠BHC，
∵∠APB+∠PBA＝90°，
∴∠CHB+∠PBA＝90°＝∠CEB，
∴BP⊥CH；
（2）解：∵正方形ABCD的边长为12，
∴AB＝BC＝12，
∵AP＝5，
由（1）Rt△PAB≌Rt△HBC得BH＝AP＝5，
在Rt△HBC中，由勾股定理得：CH＝，
∵△HBC的面积＝CH•BE＝HB•BC，
∴，
解得：BE＝，
即线段BE的长为．
【变式1-3】如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上任意一点，连接AE，过点D作DF⊥AE交AB于F，垂足为G．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若点E是BC的中点，连接BG，请探究线段FG，BG，EG之间的数量关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DAF＝90°，AD＝AB，
∵DF⊥AE，
∴∠AGD＝90°，
∴∠DAG+∠ADF＝90°，∠DAG+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴AF＝BE．
（2）解：FG+EG＝BG．
理由：过点B作BG的垂线交AE的延长线于点H．
∵E是BC的中点，
∵BE＝EC，
∵AB＝CB，AF＝BE，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∵BH⊥BG，
∴∠GBH＝90°，
∵∠ABC＝∠GBH＝90°，
∴∠FBG＝∠EBH，
∵DF⊥AE，
∴∠FGE＝∠EBF＝90°，
∴∠BFG+∠BEG＝180°，
∵∠BEG+∠BEH＝180°，
∴∠BFG＝∠BEH，
∴△BFG≌△BEH（ASA），
∴BG＝BH，
∴GH＝BG，
∵△BFG≌△BEG，
∴FG＝EH，
∴FG+EG＝GH，
∴FG+EG＝BG．
【模型二：正方形中过对角线交点的直角问题】
【典例2】如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点又是正方形的一个顶点，交AB于点交BC于点F.
（1）求证：△AOE≌△BOF；
（2）如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，，
.
.在△AOE和△BOF中，
△AOE≌△BOF（ASA）.
（2）两个正方形重叠部分的面积等于.
【变式2-1】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°．
求证：AE＝BF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOF﹣∠AOF＝∠AOB﹣∠AOF，
即∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
【变式2-2】如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，点M在AB边的延长线上，点N在BC边的延长线上，OM交BC于点E，ON交CD于点F，且∠MON＝90°，连接MN．
（1）求证：EM＝FN；
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON，
∵∠BOE+∠EOC＝90°，∠COF+∠EOC＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△OBE与△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（ASA），
∴OE＝OF，
∴OM﹣OE＝ON﹣OF，
即EM＝FN．
（2）解：如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为4，
∴OH＝HA＝2，
∵E为OM的中点，
∴HM＝4，
则OM＝，
∴MN＝OM＝2．
【模型三：正方形中的“三垂定理”模型】
【典例3】（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．
请你写出证明过程．
（2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．
【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；
（2）如图2，在AB上取一点M，使AM＝CE，连接ME，方法同（1）可得出结论；
（3）延长BA到M，使AM＝CE，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF．
【解答】证明：（1）如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠AEF＝90°，
∵点H、E分别是边AB、BC的中点，
∴AH＝BH＝BE＝CE，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵CF是正方形外角∠DCG的平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AHE＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：正确．
如图2，在AB上取一点M，使AM＝CE，连接ME，
∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°，∠AME＝135°，
∵CF是正方形外交∠DCG的平分线，
∴∠DCF＝45°，∠ECF＝135°，
同（1）可证明△AME≌△ECF，
∴AE＝EF；
（3）成立．
理由如下：如图3，延长BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
【变式3-1】如图，一块边长为5的正方形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，过点A作AE⊥OB于点E．
（1）求证：△ABE≌△BCO；
（2）若OC＝3，求EO的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵OC⊥OB，AE⊥OB，
∴∠AEB＝∠BOC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠OBC，
∴∠BAE＝∠OBC，
在△ABE和△BCO中，
，
∴△ABE≌△BCO；
（2）∵△ABE≌△BCO，
∴BE＝OC＝3，
在Rt△BOC中，BO＝＝＝4，
∴OE＝OB+BE＝7．
【变式3-2】如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM
＝DN
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．
【解答】（1）证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形，
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形；
（2）解：∵AB＝7，AE＝3，
∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，
∴EN＝＝5，
∴正方形EFMN的周长＝4×5＝20．
【变式3-3】如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．
（1）求证：AK＝AH；
（2）求证：四边形AKFH是正方形；
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，
∵DH＝CE＝BK，
∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，
在△ADH和△ABK中，
，
∴△ADH≌△ABK（SAS），
∴AK＝AH；
（2）证明：∵△ADH≌△ABK，
∴∠HAD＝∠BAK．
∴∠HAK＝90°，
同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四边形AKFH是正方形；
（3）解：∵四边形AKFH的面积为10，
∴KF＝，
∵EF＝CE＝1，
∴KE＝，
∴AB＝KE＝3，
∵BK＝EF＝1，
∴BE＝BK+KE＝4，
∴AE＝，
故点A，E之间的距离为5．
【模型四：正方形半角模型】
【典例4】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF．
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所累积的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠GCE＝45°，BE＝4，求GE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠CDF＝90°，
在△CBE和△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE＝CF；
（2）解：GE＝BE+GD成立，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
由（1）知，△CBE≌△CDF，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，
∴∠DCF+∠ECD＝∠BCE+∠ECD＝∠BCD＝90°，
即∠ECF＝90°，
又∵∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°，
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE＝GF，
∵GF＝DF+GD，DF＝BE，
∴GE＝DF+GD＝BE+GD；
（3）解：过C作CD⊥AG，交AG的延长线于D，如图2所示：
则∠CDA＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝12，
∵BE＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝8，
由（2）得：GE＝BE+GD，
设GD＝x，则GE＝4+x，AG＝12﹣x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：AE2+AG2＝GE2，
即82+（12﹣x）2＝（4+x）2，
解得：x＝6，
∴GE＝4+6＝10．
【变式4-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．
（1）△GAB≌△FAD吗？说明理由．
（2）猜想线段DF、BE、EF之间的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）△GAB≌△FAD，理由：
过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，
∴∠ABG＝90°，
∴∠ABG＝∠D．
在△GAB和△FAD中，
，
∴△GAB≌△FAD（ASA）；
（2）线段DF、BE、EF之间的数量关系为：DF+BE＝EF．理由：
由（1）知：△GAB≌△FAD，
∴BG＝DF，AG＝AF．
∵∠DAF+∠BAF＝90°，∠GAB＝∠FAD，
∴∠GAB+∠FAB＝90°，
∴∠GAF＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°．
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝BG+BE，
∴DF+BE＝EF．
【变式4-2】（2021•香洲区校级模拟）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
【解答】解：（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN＝MN，理由为：
如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，
∵在△ABE和△ADN中
，
∴△ABE≌△ADN（SAS）．
∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，
∵在△AEM和△ANM中
，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，
即DN+BM＝MN；
（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．
证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，
∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，
∴△ABM≌△ADE（SAS）．
∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
∵在△AMN和△AEN中
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．
1.已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABF＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AGD＝∠DAB＝90°，
∴∠DAG+∠ADG＝90°＝∠DAG+∠BAF，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴DE＝AF；
（2）解：∵点E是AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
∴DE＝＝＝2，
∴S△ADE＝×AD×AE＝×DE×AG，
∴AG＝＝，
∵DE＝AF＝2，
∴GF＝．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF
（2）若AE＝2，求FC的长．
【解答】解：（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°．
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF．
（2）设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2．
即42+（8﹣x）2＝x2，
∴解得：x＝5，即FM＝5．
∴FC＝FM﹣CM＝5﹣2＝3．
3．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且AB＝4，CF＝1．
（1）求AE，EF，AF的长；
（2）求证：∠AEF＝90°．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵E为AB的中点，
∴BE＝CE＝2，
∴AE＝＝＝2，
EF＝＝＝，
AF＝＝＝5；
（2）证明：∵AE2+EF2＝20+5＝25，AF2＝52＝25，
∴AE2+EF2＝AF2，
∴∠AEF＝90°．
4.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）若AB＝8，DE＝2，求AG的长．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°．
∵DE＝CF，
∴AD﹣DE＝CD﹣CF，即AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS）．
∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠ABE+∠BAF＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AF⊥BE；
（2）解：∵AB＝AD＝8，DE＝2，
∴AE＝8﹣2＝6．
∵∠BAD＝90°，
∴．
∵AF⊥BE，
∴S△ABE＝•AB•AE＝•BE•AG，
∴．
5．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．
（1）求证：EA＝EF；
（2）写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
（3）若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．
【解答】（1）证明：过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，如图：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD＝DC，∠ADB＝45°，
∵MN⊥AD，
∴MN⊥BC，
∴四边形NCDM为矩形，
∴MN＝CD，
∵∠ADB＝45°，MN⊥AD，
∴MD＝ME，
∴AM＝EN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEM+∠FEN＝90°．
∵∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠FEN＝∠MAE，
∴△AEM≌△EFN（ASA），
∴AE＝EF．
（2）解：CF＝DE，理由如下：
由（1）知△AEM≌△EFN，∠ADB＝45°，
∴ME＝FN＝MD，
∵四边形NCDM为矩形，
∴CN＝MD，
∴CF＝2MD，
∵DE＝MD，
∴CF＝DE；
（3）解：设DE＝x．由（1）得：FE2＝AE2＝AM2+ME2＝（4﹣x）2+（x）2，
由（2）得CF＝DE，
∴CF＝x，
∵FE＝FC，
∴FE2＝FC2，
∴（4﹣x）2+（x）2＝（x）2，
解方程得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），
∴DE＝2﹣2．
6．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．
（1）求证：矩形ABCD为正方形：
（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，
∵AE：EB＝2：1，
设AE＝2x，EB＝x，
∴BF＝AE＝2x，AB＝3x，
∴AF＝＝x，
∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠B＝90°，
∴△AEG∽△AFB，
∴△AEG的面积：△AFB的面积＝AE2：AF2＝4x2：13x2＝4：13，
∵△AEG的面积为4，
∴△AFB的面积为13，
∴四边形BEGF的面积＝13﹣4＝9．
7．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG．
（1）求证：DG＝BE；
（2）如图②，连接AF交CD于点H，连接EH，请探究EH、BE、DH三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝∠ADC＝∠ADG＝90°，AB＝AD，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠EAD+∠DAG＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠DAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△BAE和△DAG中，
，
∴△BAE≌△DAG（ASA），
∴DG＝BE；
（2）解：如图②，BE+DH＝HE，
理由：∵△BAE≌△DAG，
∴AE＝AG，BE＝DG，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠EAH＝∠GAH＝45°，
在△EAH和△GAH中，
，
∴△EAH≌△GAH（SAS），
∴EH＝GH，
∵DG+DH＝GH，
∴BE+DH＝EH
8．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，连接DF，求点E到DF的距离．
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB，
∴DF＝＝2，
∴点E到DF的距离＝DF＝．
9．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）如图1，求证：AE＝BF；
（2）如图2，延长DE交AB于点M，延长BF交CD于点N，若AM＝2MB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中3个面积等于△AED面积的图形．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝90°，
∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴BF⊥AG，
∴∠AFB＝∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE＝BF；
（2）S△ABF＝S四边形BMEG＝S四边形CGFN＝S△ADE，
由（1）知：△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∵BF∥DE，
∴∠AMD＝∠ABF，∠BNC＝∠MDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝AB，
∴∠ADM+∠MDC＝90°，∠BNC＝∠ABF，∠MDC＝∠AMD，
∴∠AMD＝∠BNC，
在△ADM和△CBN中，
，
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴S△ADM＝S△CBN，∠GBF＝∠ADM，
∵∠BAF＝∠ADE，即∠GAB＝∠MDA，∠ABG＝∠DAM＝90°，AB＝AD，
∴△AGB≌△DMA（ASA），
∴BG＝AM，
∵AM＝2MB，
∴AM＝AB，
∴BG＝AB，
在△AME和△BGF中，
，
∴△AME≌△BGF（AAS），
∴S△AME＝S△BGF，
∴S△ADM﹣S△AME＝S△CBN﹣S△BGF，
即S△DAE＝S四边形CGFN，
同理可得S四边形BMEG＝S△ADE，
综上所述，S△ABF＝S四边形BMEG＝S四边形CGFN＝S△ADE．
10．已知：四边形ABCD是正方形．
（1）如图1，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．求证：AE＝EF；
（2）如图2，若把（1）中“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余的条件不变，试证明AE＝EF仍然成立．
【解答】（1）证明：∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AG，
∴AG＝CE，
故答案为：AG＝CE；
（2）证明：取AG＝EC，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF．
11．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）连接DE，求∠PED的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；
（2）解：连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°，
在四边形PECD中，∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
又∵PE＝PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴∠PED＝45°．
12．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．
求证：（1）BG＝DE；
（2）BG⊥DE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，
即：∠BCG＝∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，
（2）∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC＝∠EDC，
∵∠GBC+∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，
∴∠DOG+∠EDC＝90°，
∴BG⊥DE．
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，F是CD上一点，且DF＝3CF．
（1）求证：AE⊥EF；
（2）求四边形AEFD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵DF＝3CF，
∴CF＝1，DF＝3，
在Rt△ADF中，根据勾股定理可得：
AF2＝AD2+DF2＝42+32＝25，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC＝BC＝2，
∴AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20，
同理EF2＝EC2+CF2＝22+12＝5，
∵EF2+AE2＝5+20＝25，AF2＝25，
∴EF2+AE2＝AF2，
∴△BEF是直角三角形，
∴∠BEF＝90°．
∴AE⊥EF；
（2）解：S四边形AEFD＝S△AEF+S△ADF
＝AE•EF+AD•DF
＝2×+4×3
＝5+6
＝11．
∴四边形AEFD的面积为11．
14．综合与实践：
如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
（2）证明：如图2，延长CD，BF交于点H，
∵点E是AB的中点，
∴BE＝AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，AD＝AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BE＝AF，
∴BE＝AF＝AB＝AD，
∴AF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠H，
在△ABF和△DHF中，
，
∴△ABF≌△DHF（AAS）
∴AB＝DH，
∴DH＝CD，
又∵BF⊥CE，
∴∠BGH＝90°，
∴DC＝DH＝DG．
（3）解：AG存在最小值．
如图3，以BC为直径作⊙O，连接AO，OG，
∵BF⊥CE，
∴∠BGC＝90°，
∴点G在以BC为直径的⊙O上，
在△AGO中，AG≥AO﹣GO，
∴当点G在AO上时，AG有最小值，
此时：如图4，
∵BC＝AB＝4，点O是BC中点，
∴BO＝2＝CO，
∵AO＝＝＝2，
∴AG＝2﹣2，
∵OG＝OB，
∴∠OBG＝∠OGB，
∵AD∥BC，
∴∠AFG＝∠OBG，
∴∠AFG＝∠OBG＝∠OGB＝∠AGF，
∴AG＝AF＝2﹣2，
由（2）可得AF＝BE＝2﹣2，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2．
15．如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中有：AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°，
∵BP＝CQ，
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠PAB＝∠QBC，
∵∠QBC+∠ABQ＝90°，
∴∠PAB+∠ABQ＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AP⊥BQ；
（2）AD＝DE，理由如下：
如图，延长BQ、AD交于一点F，
当点P为BC中点时，Q为CD中点，即CQ＝DQ，
∵∠FQD＝∠BQC，∠FDQ＝∠C，
∴△FDQ≌△BCQ（ASA），
∴FD＝BC，
∴FD＝AD，
由（1）得：∠FEA＝90°，
∴DE＝FA＝AD；
（3）由（1）得：AP⊥BQ，
∴∠ANE+∠NAE＝90°，
∵∠NAE+∠AEH＝90°，
∴∠ANE＝∠AEH，
设∠ANE＝∠AEH＝α，
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠AEH＝α，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠DAE＝α，
∵△PAB≌△QBC，
∴∠CQB＝∠APB＝α，
∵∠QNM＝∠ANE＝α，
∴∠CQB＝∠QNM，
∴QM＝MN，
∵CD∥AB，
∴∠ABQ＝∠CQB＝α，
∴∠ABQ＝∠ANE，
∴AN＝AB＝2，
设QM＝MN＝x，则DM＝DQ+QM＝1+x，AM＝AN+MN＝2+x，
∵AD2+DM2＝AM2，
∴22+（x+1）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
∴QM＝．
16．如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求证：CE⊥BG；
（3）求：∠AME的度数．
【解答】（1）证明：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE；
（2）证明：设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE；
（3）解：过A作BG，CE的垂线段交于点P，Q，
∵△ABG≌△AEC，
∴AP＝AQ，
∴AM是角平分线，
∴∠AMC＝45°，
∴∠AME＝135°．
17．已知：如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．
【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．
∵四边形ABCD是正方形，
PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．
在△PGB和△PHE中，
．
∴△PGB≌△PHE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）解：连接BD，如图2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF．
∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE．
在△BOP和△PFE中，
∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴BC＝OB．
∵BC＝1，
∴OB＝，
∴PF＝OB＝．
∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为．
18．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为 AE＝DF ．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．
（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．
【解答】解：（1）∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE＝DF，
故答案为：AE＝DF；
（2）如图1，过点E作EM⊥BC于点M，则四边形ABME为矩形，
则AB＝EM，
在正方形ABCD中，AB＝BC，
∴EM＝BC，
∵EM⊥BC，
∴∠MEF+∠EFM＝90°，
∵BC⊥EM，
∴∠CBG+∠EFM＝90°，
∴∠CBG＝∠MEF，
在△BCG和△EMF中，
，
∴△BCG≌△EMF（ASA），
∴EF＝BG；
（3）如图2，连接MN，
∵M、N关于EF对称，
∴MN⊥EF，过点E作EH⊥BC于点H，
过点M作MG⊥CD于点G，则EH⊥MG，
由（2）同理可得：△EHF≌△MGN（ASA），
∴NG＝HF，
∵AE＝2，BF＝4，
∴NG＝HF＝4﹣2＝2，
又∵GC＝MB＝1，
∴NC＝NG+CG＝2+1＝3．