北师大版数学九下期末复习训练专项25 二次函数与面积有关的问题（2份，原卷版+解析版）

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类型一：面积等量关系
类型二：面积平分
方法一：利用割补
将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）
方法二： 铅锤法
（1）求 A、B 两点水平距离，即水平宽；
（2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C；
（3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标；
（4）根据 C、D 坐标求得铅垂高
（5）
方法三 ：其他面积方法
如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．
如图2，同底三角形的面积比等于高的比．
如图3，同高三角形的面积比等于底的比．
【类型一：面积等量关系】
【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
设点P（m，m2﹣3m﹣4），
则，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
方法二：∵S1＝S2，
∴S△PBE＝S△CBE，
∴PC∥x轴，
∴点P与C关于对称轴x＝对称，
∴P（3，﹣4）；
【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（1）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
当x＝3时，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴•3•（﹣3m）＝•4•，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；
【类型二：面积平分】
【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣3；
②由①得y＝x2﹣x﹣3，
当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝x﹣1；
（2）设点E（t，t2﹣t﹣3），F（x，y），过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如图1，
∵S1＝2S2，即＝2，
∴＝2，
∴＝，
∵EM⊥x轴，FN⊥x轴，
∴EM∥FN，
∴△BFN∽△BEM，
∴＝＝＝，
∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，
∴BN＝（6﹣t），FN＝（﹣t2+t+3），
∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴F（2+t，t2﹣t﹣2），
∵点F在直线AD上，
∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，
解得：t1＝0，t2＝2，
∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；
【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2
∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cs∠EDG＝cs∠CAO＝＝，
∴，
∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．
此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣，
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
【答案】（1） y＝﹣x2+2x+3 ；x＝1（2）P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）
【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，
函数的对称轴为：x＝1；
（2）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝3：5或5：3，
则AE＝或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②
联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．
【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；
【答案】（1） y＝﹣x2+5x+6 （2）P（，）
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x+6过点C，
∴C（0，6），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，
设P（m，﹣m2+5m+6），则D（m，﹣m+6），
∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，
∵△PBD与△BDE的面积之比为1：2，
∴PD：DE＝1：2，
∴PE：DE＝3：2，
∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），
解得，m2＝6（舍去），
∴P（，）；
1．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．
（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；
【解答】解：（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，
由得：或，
∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；
（2）当k＞0时，如图：
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OB'∥AB，
∴∠OB'B＝∠B'BC，
∵B、B'关于y轴对称，
∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，
∴∠OB'B＝∠OBB'，
∴∠OBB'＝∠B'BC，
∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，
∴△BOD≌△BCD（ASA），
∴OD＝CD，
在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴OD＝OC＝，D（0，﹣），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∴B（，﹣），
把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：
﹣＝k﹣3，
解得k＝；
当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，如图：
在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴E（0，﹣3），OE＝3，
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OE＝EF＝3，
∵B、B'关于y轴对称，
∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，
∴∠FB'B＝∠FBB'，
∵B'F∥AB，
∴∠EBB'＝∠FB'B，
∴∠EBB'＝∠FBB'，
∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，
∴△BGF≌△BGE（ASA），
∴GE＝GF＝EF＝，
∴OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∴B（，﹣），
把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：
﹣＝k﹣3，
解得k＝﹣，
综上所述，k的值为或﹣；
2．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，
故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，故c＝0，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝×36+6b，解得b＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；
则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝﹣3，
则点M的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，
设点E的坐标为（x，x2﹣2x），则点H（x，﹣x+3），
则△EAB的面积＝S△EHB+S△EHA＝×EH×OA＝6×（﹣x+3﹣x2+2x）＝，
解得x＝1或，
故点E的坐标为（1，﹣）或（，﹣）；
3．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．
【解答】解：（1）依题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），
代入C（0，﹣）得：a•1•（﹣3）＝﹣，
解得：a＝，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣；
（2）∵BE＝2OE，
设OE为x，BE＝2x，
由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，
x2+4x2＝9，
解得：x1＝，x2＝﹣（舍），
∴OE＝，BE＝，
过点E作TG平行于OB，T在y轴上，过B作BG⊥TG于G，
∴△ETO∽△OEB，
∴＝＝，
∴OE2＝OB•TE，
∴TE＝＝，
∴OT＝＝，
∴E（，﹣），
∴直线OE的解析式为y＝﹣2x，
∵OE的延长线交抛物线于点D，
∴，
解得：x1＝1，x2＝﹣3（舍），
当x＝1时，y＝﹣2，
∴D（1，﹣2）；
（3）如图所示，延长BC于点F，AF∥y轴，过A点作AH⊥BF于点H，作MT∥y轴交BF于点T，过M点作MG⊥BF于点J，
∵AF∥MT，
∴∠AFH＝∠MTJ，
∵AH⊥BF，MJ⊥BF，
∴∠AHF＝∠MJT＝90°，
∴△AFH∽△MJT，
∴＝，
∵S1＝NB•MJ，S2＝NB•AH，
∴＝＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，C两点代入得，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
当x＝﹣1时，y＝•（﹣1）﹣＝﹣2，
∴F（﹣1，﹣2），
∴AF＝2，
设M（x，x2﹣x﹣），
∴MT＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣（x﹣）2+，
∴a＝﹣＜0，
∴MTmax＝，
∴＝＝＝＝＝．
4．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x+3．
∵y＝﹣1，
∴E（4，﹣1）．
（2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．
设D（4，m），
∵C（0，3），由勾股定理可得：
42+（m﹣3）2＝62+32．
解得m＝3±．
∴满足条件的点D的坐标为（4，3+）或．
（3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，
设P（n，﹣2n+3），则Q（），
设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则nk+3．
解得k＝，于是CQ：y＝（）x+3，
当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5﹣，
∴M（4，n﹣5﹣），ME＝n﹣4﹣．
∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM＝．
∴n2﹣4n﹣60＝0，
解得n＝10或n＝﹣6，
当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．
综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．
5．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；
【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，
联立①②并解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；
（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线的顶点M（1，3）
令y＝0，可得x＝﹣2或4，
∴点D（4，0）；
∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，
∴×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×，解得：yR＝±④，
联立④③并解得或，
故点R的坐标为（1+，﹣）或（1，﹣）或（1，）或（1﹣，）；
6．（2020•天水）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+6；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，如图1所示：
∵点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，
∴S△AOC＝OA•OC＝×2×6＝6，
∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝，
当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为：y＝﹣x+6，
∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），
∴点D的坐标为：（m，﹣m2+m+6），
点G的坐标为：（m，﹣m+6），
∴DG＝﹣m2+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，
∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG•CF+DG•BE＝DG×（CF+BE）＝×（﹣m2+3m）×（m+4﹣m）＝﹣m2+6m，
∴﹣m2+6m＝，
解得：m1＝1（不合题意舍去），m2＝3，
∴m的值为3；
7．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
【解答】解（1）由题意得，
，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（（x﹣1）2+4，
∴P（1，4）．
（2）①如图1，
作CE⊥PD于E，
∵C （0，3），B （3，0），
∴直线BC：y＝﹣x+3，
∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），
∴CE＝PE＝DE，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴S△PCD＝PD•CE＝×2×1＝1，
∴AB•|3﹣a|＝2，
∴×4•|3﹣a|＝2，
∴a＝2或a＝4．
∴Q（2，1）或（4，﹣1）．
8．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，
故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），
则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，
解得x＝1或3，
故点P的坐标为（1，）或（3，3）；
9．（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．
当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；
【解答】解：（1）∵OA＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，
∵顶点与x轴的距离是6，
∴顶点为（3，﹣6），
∴y＝a（x﹣3）2﹣6，
∵抛物线经过原点，
∴9a﹣6＝0，
∴a＝，
∴y＝（x﹣3）2﹣6；
（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，
∴E（0，m），F（﹣m，0），
∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，
∵直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，
∴OM＝|m|，AN＝|6+m|，
∵S△POQ：S△PAQ＝1：3，
∴OM：AN＝1：3，
∴|m|：|6+m|＝1：3，
解得m＝﹣或m＝3；
10.（2022•本溪二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；
【解答】解：（1）将（3，0），（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴；
（2）连接AM，设AB与OM的交点为N，作NH⊥OA于点H，则NH∥OB，
∵A（3，0），B（0，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+4，
∴3k+4＝0，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x+4，
设点M，点N，
∵S△BMN：S△ABM＝1：4，
∴S△BMN：S△ABM＝1：4，
∴BN：AN＝1：3，
∵NH∥OB，
∴△ANH∽△AOB，
∴，即，
解得，
∴，
∴直线OM的解析式为y＝4x，
联立方程组，
解得，
∵点M在第一象限，
∴，
∴点M的横坐标为；
11．（2022•新抚区模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣2，0），B（2，2）两点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求抛物线与直线AB的解析式；
（2）点P在抛物线上，直线PC交x轴于Q，连接PB，当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍时，求点P的坐标；
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（2，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+5．
将A（﹣2，0），B（2，2）代入y＝mx+n得，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x+1．
（2）①点P在x轴上方是，过点P作x轴平行线，交y轴于点F，交直线AB于点E，
将x＝0代入y＝x+1得y＝1，
∴点C坐标为（0，1），
∵A（﹣2，0），B（2，2），
∴C为AB中点，即AC＝BC，
∴当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍时，点P到BC的距离是点Q到AC的距离的2倍，
∵PE∥OA，
∴△EPC∽△AQC，
∴＝2，
∵PF∥OA，
∴△PFC∽△OQC，
∴＝＝2，
∴点P纵坐标为FC+OC＝3OC＝3，
将y＝3代入y＝﹣x2+x+5得3＝﹣x2+x+5，
解得x1＝﹣，x2＝+，
∴点P坐标为（﹣，3）或（+，3）．
②点P在x轴下方，连接BQ，PK⊥x轴于点K，
∵C为AB中点，
∴S△AQC＝S△BQC，
∵△PBC的面积是△ACQ面积的2倍，
∴S△PBQ＝S△BQC，
∴点Q为CP中点，
又∵∠CQO＝∠PQK，∠COQ＝∠PKQ＝90°，
∴△OCQ≌△KPQ，
∴CQ＝KP，即点P纵坐标为﹣1，
将y＝﹣1代入y＝﹣x2+x+5得﹣1＝﹣x2+x+5，
解得x1＝，x2＝，
∴点P坐标为（，﹣1），（，﹣1），
综上所述，点P坐标为（﹣，3）或（+，3）或（，﹣1）或（，﹣1），
12．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴，
解得．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB＝×4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4，
∴PN＝．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+），
∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2，）或（3，4）．
13．（2022•苏州二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA＝OC＝3．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分∠△ABP的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；
【解答】解：（1）∵OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
将点A、C代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）令x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），
过点P作PG⊥x轴交于点G，过点Q作QH⊥x轴交于点H，
∴PG∥QH，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
设P（t，t2+2t﹣3），直线BP的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝（t+3）x﹣（t+3），
联立方程组，
解得，
∴Q（，），
∵AC分∠△ABP的面积为1：2两部分，
∴＝或＝，
当＝时，＝，
解得t＝﹣1或t＝﹣2，
∴P（﹣1，﹣4）或（﹣2，﹣3）；
当＝时，＝，
此时t无解，