北师大版数学九下期末复习训练专项29 二次函数与直角三角形有关的问题（2份，原卷版+解析版）

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直角三角形的存在性问题
找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点
方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1
（2） 以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解
下面主要介绍2种常用方法：
【方法1 几何法】“两线一圆”
（1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C；
（2）若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C；
（3）若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C．（直径所对的圆周角为直角）

如何求得点坐标？以为例：构造三垂直．


【方法2 代数法】点-线-方程
【方法1 勾股定理】
【典例1】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【方法2 构造“K”字型利用相似作答】
【典例2】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．
（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．
（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．
【变式2-1】（2022•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
【变式2-2】（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
1．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
2．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2020•广元）如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
4．（2022•南岸区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，其中A（﹣2，0），C（0，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF∥x轴交BC于点F，求CF+BE的最小值，及此时点P的坐标；
（3）如图2，x轴上有一点Q（﹣1，0），将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q，得到新抛物线y1，点D是新抛物线y1与原抛物线的交点，点E是新抛物线y1上一动点，连接DQ，当△DQE是以DQ为直角边的直角三角形时，直接写出所有符合条件的点E的坐标．
5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
6．（2022•雁峰区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝x+1与x轴交于点E，与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．
7．（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2022•滕州市二模）抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C，D的坐标；
（2）点P为抛物线上的动点，当△PAC是直角三角形时，求点P的坐标；
9．（2022•市中区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的关系式；
（2）当以P，A，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PAC的周长；
（3）若点Q是直线BC上方抛物线上一点，当△BCQ为直角三角形时，求出点Q的坐标．