人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第01讲 二次函数的表达式求法专题探究（2份，原卷版+解析版）

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【类题训练】
1．请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 y＝x2﹣2 ．
【分析】令抛物线的对称轴为y轴，二次项系数为1，则抛物线的解析式可设为y＝x2+m，然后把已知点的坐标代入求出m即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝x2+m，
把（0，﹣2）代入得m＝﹣2，
所以满足条件的抛物线解析式为y＝x2﹣2．
故答案为y＝x2﹣2．
2．若二次函数y＝mx2+（2m+n）x+3n的二次项系数比一次项系数小12，一次项系数比常数项大8，则这个二次函数的解析式为 y＝8x2+20x+12 ．
【分析】根据题干列出方程组，解之得到m，n的值，可得结果．
【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝8x2+20x+12，
故答案为：y＝8x2+20x+12．
3．已知抛物线过A（﹣2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点，则这条抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣x+2 ．
【分析】由于已知抛物线与x的两交点坐标，则可设交点式y＝a（x+2）（x﹣1），然后把C（0，2）代入求出a的值即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），
把C（0，2）代入得a•2•（﹣1）＝2，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x2﹣x+2．
4．如图，已知平面直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的解析式为 y＝x2﹣x+2 ．
【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向和大小，开口向下时，a＜0，只需把开口向上，开口较小的二次函数解析式求出即可．
【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0，
A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
∵A、B、D组成的二次函数的图象的开口小于A、B、C组成的二次函数的开口大小．
∴A、B、D组成的二次函数的图象中，a的值最大，
当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、D三点时，则，
解得，
故a的值最大时二次函数的解析式为y＝x2﹣x+2，
故答案为：y＝x2﹣x+2．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式；
（2）把x＝﹣2代入函数解析式计算，判断即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得，，
则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
类型二 顶点式：y＝a（x-m）2+k（a≠0）
若已知图象的顶点或对称轴或最值，通常选设顶点式y＝a（x-m）2+k（a≠0），其中顶点坐标为（m，k）；
二次函数表达式间的转化，一般式往顶点式转化，常用配方法进行；
【类题训练】
1．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1
【分析】根据二次函数的顶点式求解析式．
【解答】解：设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），
∴二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得a＝1，
所以y＝（x﹣2）2﹣1．
故选：C．
2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先确定a的值，再利用顶点式即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，
∴a＝，
∵顶点为（﹣2，1），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2+1．
故选：C．
3．抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），则抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣1C．y＝2x2+2D．y＝2x2﹣2
【分析】根据顶点式的坐标特点，可得出c＝1，即可得到抛物线的解析式为＝2x2+1．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），
∴c＝1，
∴抛物线的解析式为y＝2x2+1，
故选：A．
4．若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．4
【分析】抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，即顶点的纵坐标为0，据此作答．
【解答】解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝0，
将a＝1，b＝2，c＝c代入，
得4﹣4c＝0，
所以c＝1．
故选：A．
5．抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标是（1，﹣2），则该抛物线的解析式是 y＝﹣x2+2x﹣3 ．
【分析】根据解析式可知a＝﹣1，设顶点式即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标是（1，﹣2），
设y＝a（x﹣1）2﹣2，
又∵a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2﹣2，
即y＝﹣x2+2x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2+2x﹣3．
6．小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：
该二次函数的解析式是 y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5） ．
【分析】根据待定系数法即可求得．
【解答】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（3，﹣4），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣4（a≠0），
将（1，0）代入得4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）．
7．在平面直角坐标系中有一条抛物线，已知抛物线的解析式是y＝x2+bx+c，且顶点坐标为（﹣1，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A（3，m），B（a，m）都是抛物线上的点，求a的值；
（3）已知直线l与抛物线交于C（c，6），D（5，d）两点，若点M（xM，yM） 也在抛物线上，且在直线l的上方，求yM的取值范围．
【分析】（1）根据顶点坐标可求解析式；
（2）根据点A（3，m），B（a，m）可知A、B关于对称轴对称，由此可求a；
（3）将C、D代入抛物线求出c、d，再根据点M（xM，yM） 也在抛物线上，且在直线l的上方分情况可得结果．
【解答】解：（1）由题意知抛物线表达式为：y＝（x+1）2+2＝x2+2x+3，
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
又∵点A（3，m），B（a，m）关于对称轴对称，
∴，
∴a＝﹣5，
（3）当y＝6时，有c2+2c+3＝6，
解得：c1＝﹣3，c2＝1，
∴C点的坐标为（﹣3，6）或（1，6），
当x＝5时，有d＝52+2×5+3＝38，
∴D点的坐标为（5，38），
∵点M（xM，yM） 也在抛物线上，且在直线l的上方，
∴当C（﹣3，6），D（5，38）时，此时点C在对称轴左侧有yM＞6、D点在对称轴右侧，有yM＞38，
当C（1，6），D（5，38）时，即C、D两点都在对称轴右侧时，有yM＞38，
综上：当点C在对称轴左侧时yM＞6，当点C在对称轴右侧时yM＞38．
类型三 交点式：y＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0）
若已知（x1，0）(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点坐标，通常选取设交点式来求抛物线的表达式；
【类题训练】
1．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可交点式y＝a（x﹣2）（x+1），再由OC＝2得到C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），然后把（0，2）和（0，﹣2）分别代入y＝a（x﹣2）（x+1）可求出对应的a的值，从而可得抛物线解析式．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
∵OC＝2，
∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；
把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．
即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故选：D．
2．已知抛物线过A（﹣2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点，则这条抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣x+2 ．
【分析】由于已知抛物线与x的两交点坐标，则可设交点式y＝a（x+2）（x﹣1），然后把C（0，2）代入求出a的值即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），
把C（0，2）代入得a•2•（﹣1）＝2，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+2．
故答案为：y＝﹣x2﹣x+2．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣3，0）、点B（0，﹣3）和点C（2，5），求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标 y＝x2+2x﹣3；对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4） ．
【分析】根据待定系数法求抛物线代解析式即可．
【解答】解：把点A（﹣3，0）、点B（0，﹣3）和点C（2，5）代入二次函数y＝ax2+bx+c中，
得，
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
化为顶点式为y＝（x+1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
故答案为：y＝x2+2x﹣3；对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
4．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．
【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；
（2）结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；
（3）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB＝10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4．
设P（x，y），则S△PAB＝AB•|y|＝2|y|＝10，
∴|y|＝5，
∴y＝±5．
①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
5．已知二次函数y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函数y2＝ax+m（a≠0）．
（1）若二次函数y1的图象过（1，0），（2，2）点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点A，且这个点不是原点．
①求证：m＝ab；
②若y2y1的另一个交点B为二次函数y1的顶点，求b的值．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①令y＝0，分别求得两个函数的图象与x轴的交点，依据已知条件列出关于a，b，m的等式，整理即可得出结论；
②利用配方法求得抛物线的顶点坐标，将坐标代入一次函数的解析式，再利用①的结论得到关于b的方程，解方程即可得出结论．
【解答】（1）解：∵二次函数y1的图象过（1，0），（2，2）点，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x；
（2）①证明：令y1＝0，则ax（x+b）＝0，
解得：x＝0或x＝﹣b．
∴抛物线y1＝ax（x+b）与x轴交于（0，0）（﹣b，0）．
令y2＝0，则ax+m＝0，
∴x＝﹣．
∴直线y2＝ax+m与x轴交于（﹣，0），
∵若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，
∴﹣＝﹣b，
∴m＝ab；
②解：∵y1＝ax（x+b）＝ax2+abx＝a（x+）2﹣，
∴二次函数的顶点为（﹣，﹣）．
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
∴a•（﹣）+m＝﹣．
由①知：m＝ab，
∴﹣+ab＝﹣，
解得：b＝0（不合题意，舍去）或b＝﹣2．
∴若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，b的值为﹣2．
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，则d的取值范围是 2≤d≤5 ．
（3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）令y＝8，求得对应的x值，结合函数的图象的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答：①点P在对称轴的右侧，②点P在抛物线的顶点与点之间，③点P在点A的左侧，分别求得最大值与最小值，利用已知条件列出关于m的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，当x＝2时，函数有最小值﹣1．
令y＝8，则x2﹣4x+3＝8，
解得：x＝﹣1或x＝5．
∵当﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，当x＝2时，函数有最小值﹣1，
∴当﹣1≤x≤d时，函数要取得最小值，
∴2≤d≤5．
故答案为：2≤d≤5；
（3）∵P在此抛物线上，其横坐标为m，
∴P（m，m2﹣4m+3）．
①当点P在对称轴的右侧时，m＞2，抛物线的顶点最低，即最小值为﹣1，此时图象G的最大值为m2﹣4m+3，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴m2﹣4m+3﹣（﹣1）＝5，
∴m2﹣4m﹣1＝0．
解得：m＝2+或m＝2﹣（不合题意，舍去），
∴m＝2+；
②点P在抛物线的顶点与点之间时，此时最小值为﹣1，最大值为0，
∴图象G的最大值和最小值差不可能为5，此种情形不存在；
③点P在点A的左侧，m＜1，点A处最低，即最小值为0，此时图象G的最大值为m2﹣4m+3，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴m2﹣4m+3＝5，
解得：m＝2+（不合题意，舍去）或m＝2﹣．
∴m＝2﹣．
综上，当图象G的最大值和最小值差是5时，m的值为2+或2﹣．
类型四 用平移的方法求解抛物线解析式
二次函数平移的方法：①转化成顶点式（已经是顶点式的此步忽略），②“左加右减（x），上加下减（y）”
【类题训练】
1．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】易得原抛物线的顶点为（1，2），根据相应的平移得到新抛物线的顶点，利用平移不改变二次项的系数及顶点式可得新抛物线．
【解答】解：∵原抛物线的顶点为（1，2），
∴向左平移1个单位后，得到的顶点为（0，2），
∴平移后图象的函数解析式为y＝x2+2．
故选：A．
2．将抛物线y＝x2+4x﹣4向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+4）2﹣11B．y＝（x+4）2﹣5
C．y＝x2﹣11D．y＝x2﹣5
【分析】先将抛物线y＝x2+4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．
【解答】解：将y＝x2+4x﹣4化为顶点式为：y＝（x+2）2﹣8，
∴向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x+2+2）2﹣8﹣3＝（x+4）2﹣11
故选：A．
3．已知抛物线经过平移后得到抛物线，若抛物线y上任意一点M坐标是（m，n），则其对应点M坐标一定是（ ）
A．（m，n﹣2）B．（m﹣2，n）C．（m+2，n）D．（m，n+2）
【分析】根据题意求得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，故抛物线y上任意一点M向下平移2个单位得到其对应点的坐标．
【解答】解：∵抛物线经过平移后得到抛物线，
∴抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，
∴抛物线y上任意一点M坐标是（m，n），则其对应点M坐标为（m，n﹣2），
故选：A．
4．将二次函数y＝x2+2x+1图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象与y轴交点的纵坐标为 10 ．
【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减进行解答即可求得新图象函数的表达式，然后令x＝0，求得函数值，即可求得新图象与y轴交点的纵坐标．
【解答】解：∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴将二次函数y＝x2+2x+1图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象函数的表达式为y＝（x+1+2）2+3，即y＝（x+3）2+3，
令x＝0，则y＝12，
∴新图象与y轴交点的纵坐标为12．
故答案为：12．
5．将抛物线y＝x2﹣6x+5先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为 （1，﹣3） ．
【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度得到点的坐标为（1，﹣3）．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
6．已知二次函数y＝x2﹣2x+4．
（1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，﹣5），请说明理由．
【分析】（1）由a的符号即可确定抛物线的开口方向，把一般式化成顶点是即可求得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据“左加右减，上加下减”的法则即可确定平移后的函数解析式，然后代入点P的坐标即可判断．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x+4中，a＝1＞0，
∴该抛物线的开口向上，
∵y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴顶点为（1，3）；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线为：y＝（x﹣1+3）2+3﹣7，即y＝（x+2）2﹣4，
当x＝1时，y＝（1+2）2﹣4＝5≠﹣5，
∴新抛物线不过点P（1，﹣5）．
【综合练习】
1．根据下列条件，求二次函数的解析式
（1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）；
（2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）；
（3）抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）；
（4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点；
（5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5；
（6）当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2．
【分析】（1）设y＝ax2+bx+c；（2）、（4）设y＝a（x+1）2+9；（3）、（5）、（6）设y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．然后把已知点的坐标代入解方程，求出未知系数，最后确定解析式．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把（﹣1，3），（1，3），（2，6）代入解析式得，
3＝a﹣b+c①，
3＝a+b+c②，
6＝4a+2b+c③，
解由①②③组成的方程组得，a＝1，b＝0，c＝2．
所以二次函数的解析式为y＝x2+2．
（2）设y＝a（x+1）2+9，
把（0，﹣8）代入解析式得，a＝﹣17，
∴y＝﹣17（x+1）2+9＝﹣17x2﹣34x﹣8，
所以二次函数的解析式为y＝﹣17x2﹣34x﹣8．
（3）∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），
∴与x轴的另一个交点为（4，0），
设y＝a（x+2）（x﹣4），
把（0，12）代入解析式得，a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝x2+3x+12，
所以二次函数的解析式为y＝x2+3x+12．
（4）设y＝a（x﹣2）2﹣5，
把（0，0）代入解析式得，a＝，
∴y＝（x﹣2）2﹣5＝x2﹣5x，
所以二次函数的解析式为y＝x2﹣5x．
（5）设y＝a（x+1）（x+3），
根据题意可得对称轴为直线x＝﹣2，又函数有最小值﹣5，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣5），代入解析式得，a＝5．
∴y＝5（x+1）（x+3）＝5x2+20x+15，
所以二次函数的解析式为y＝5x2+20x+15．
（6）∵当x＝2时，函数的最大值是1，即顶点坐标为（2，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，而图象与x轴两个交点之间的距离为2，则交点坐标分别为（1，0），（3，0），
设y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把（2，1）代入解析式得，a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．
2．设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2 ．
【分析】根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．
【解答】解：∵点C在直线x＝2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1或x＝3，
当对称轴为直线x＝1时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+k，
将A（0，2），B（4，3）代入解析式，
则，
解得，
所以，y＝（x﹣1）2+＝x2﹣x+2；
当对称轴为直线x＝3时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+k，
将A（0，2），B（4，3）代入解析式，
则，
解得，
所以，y＝﹣（x﹣3）2+＝﹣x2+x+2，
综上所述，抛物线的函数解析式为y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2．
故答案为：y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2．
3．已知二次函数y＝x2+bx+2b（b为常数）．
（1）若图象过（1，4），求函数的表达式．
（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值．
（3）若函数图象不经过第三象限，当﹣4≤x≤1时，函数的最大值和最小值之差为9，求b的值．
【分析】（1）将点（1，4）代入y＝x2+bx+2b，可得b的值，写出解析式即可．
（2）根据抛物线＝x2+x+2可得，当﹣1≤x≤﹣时，y随x的增大而减小，当﹣＜x≤3时，y随x的增大而增大．所以x＝﹣时，y取得最小值，x＝3时，y取得最大值，进而可得出答案．
（3）根据题意可得b≥0，当b＝0时y＝x2，函数的最大值和最小值之差为15，不符合题意，则b＞0，可得出Δ≤0，根据对称轴的取值范围确定b的取值范围，分情况讨论并列方程可得出结论．
【解答】解：（1）将点（1，4）代入y＝x2+bx+2b，
得4＝1+b+2b，
解得b＝1．
∴二次函数的解析式为y＝x2+x+2．
（2）∵抛物线y＝x2+x+2的对称轴为x＝﹣，抛物线的开口向上，
∴当﹣1≤x≤﹣时，y随x的增大而减小；
当﹣＜x≤3时，y随x的增大而增大．
∴x＝﹣时，y取得最小值，最小值为，
x＝3时，y取得最大值，最大值为32+3+2＝14．
∴函数的最大值为14，最小值为．
（3∵函数图象不经过第三象限，
∴2b≥0，即b≥0．
若b＝0，此时y＝x2，
当﹣4≤x≤1时，函数的最大值为（﹣4）2＝16，
函数的最小值为02＝0，
∴函数的最大值和最小值之差为16，
此时不符合题意．
∴b＞0．
∵抛物线的解析式为y＝x2+bx+2b＝（x+b）2﹣+2b，
∴对称轴为x＝﹣b＜0．
∴若函数图象不经过第三象限，则Δ≤0，
∴b2﹣8b≤0，
∴0＜b≤8．
∴﹣4≤﹣b＜0．
当﹣4≤x≤1时，函数的最小值为﹣+2b．
∵当x＝﹣4和x＝1对称时，对称轴为x＝﹣，
∴当﹣4≤﹣b＜﹣时，函数的最大值为12+b+2b＝3b+1．
此时函数的最大值和最小值之差为3b+1﹣（﹣+2b）＝9，
解得b＝4或﹣8（舍去）．
当﹣＜﹣b＜0时，函数的最大值为（﹣4）2﹣4b+2b＝16﹣2b，
此时函数的最大值和最小值之差为16﹣2b﹣（﹣+2b）＝9，
解得b＝2或14（舍去）．
综上所述，b＝2或4．
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…