人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第02讲 二次函数的图象与系数的关系（2份，原卷版+解析版）

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【知识点睛】
一般式中a、b、c的作用
其他常见形式
1.只含有a、b两个字母时，想对称轴；
如：2a+b与0的大小→找对称轴与1的左右关系；
2a-b与0的大小→找对称轴与-1的左右关系；
a+b与0的大小→找对称轴与的左右关系；
b与0的大小→找对称轴与的左右关系；
2.含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系时，给x取值，结合图像上下判断;
如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
①a+b+c与0的大小：
∵当x=1时，y=a+b+c，
∴看x=1时，对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，
上方则a+b+c＞0，下方则a+b+c＜0；
②a-b+c与0的大小：找x=-1时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
③4a+2b+c与0的大小：找x=2时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
④4a-2b+c与0的大小：找x=-2时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
3.含有b2和4ac时，想顶点纵坐标，或用图象与图象的交点个数想△.
4.只含有a、c或者只含有b、c时，通常对称轴已知，常需要将一部分的a或b转化成b或a，最后转化成a+b+c或a-b+c结论判断.
5.其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断.
【类题训练】
1．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
2．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠OBC＝45°，则下列各式成立的是（ ）
A．b﹣c﹣1＝0B．b+c﹣1＝0C．b﹣c+1＝0D．b+c+1＝0
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4ac＞b2 D．点（﹣2，0）在函数图象上
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：
①abc＜0；
②b2＞4ac；
③4a﹣2b+c＞0；
④3a+c＞0；
⑤b2﹣4a2＞2ac．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b＝0；
③b2＝4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤若，是该抛物线上的三点，则y1＜y2＜y3．其中，正确结论的序号有（ ）
A．①②③④B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②④
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若ax+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示．下列结论：①abc＞0；②当﹣3＜x＜1时，y＞0；③4a+2b+c＞0；④关于x的一元二次方程的解是x1＝﹣4，x2＝2．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④若点（﹣3，y1）和点（3，y2）在该图象上，则y1＞y2；
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②④
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确结论有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
15．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（1，0）；④若B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2.其中正确的结论是 .（填写代表正确结论的序号）
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜x2；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥，其中结论正确的 ．
17．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确结论为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．
其中正确的是 （填序号）．
19．有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．
20．对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（ ）
A．c＜B．0＜c＜C．﹣1＜c＜D．﹣1＜c＜0
21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的序号是 ．
①abc＞0；
②4a+b＞0；
③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；
④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；
⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．
22．定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
23．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2ax+1（a是常数）．
（1）当a＝2时，求函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）若函数图象经过点（1，p），（﹣1，q），求证：pq≤4；
（3）已知函数图象经过点A（﹣3，y1），B（a+1，y2），点C（m，y3），若对于任意的4≤m≤6都满足y1＞y3＞y2，求a的取值范围．
24．已知二次函数y＝mx2﹣4mx+m﹣2（m≠0），且与x轴交于不同点M、N．
（1）若二次函数图象经过点A（3，0），
①求二次函数的表达式和顶点坐标；
②将抛物线在0≤x≤5之间的那部分函数图象沿直线x＝5翻折，将抛物线翻折前后的这两部分合记为图象F，若直线y＝kx+n过点C（15，1），且与图象F恰有两个交点，求n的取值范围；
（2）若m＜0，当MN≤4时，求实数m的取值范围．
作用
特别记忆
a
|a|越大，抛物线开后越小
b
简称：“左同右异”
b=0时，抛物线对称轴为y轴
c
c=0时，抛物线过原点
x
…
﹣4
1
…
y
…
0
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
1
2
3
…
y
…
﹣
﹣
﹣
m
…