人教版数学九上《二次函数》期末专项训练第11讲 二次函数中矩形、正方形的存在性问题专题探究（2份，原卷版+解析版）

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方法策略：
抓矩形两大性质【内角=90°＋对角线相等→转化为直角△存在性问题】
正方形存在性问题转化为等腰直角三角形存在性问题
【类题训练】
1．综合与探究
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（1，4），与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式及点A，B、C的坐标；
（2）如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；
（3）如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意得，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝﹣1或3，即可求解；
（2）由△BCP面积＝S△PHC+S△PHB＝PH•OB，即可求解；
（3）根据矩形的性质，由中点坐标公式和对角线BD＝MN列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
令y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝﹣1或3，
即点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）；
（2）过点作PH∥y轴交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△BCP面积＝S△PHC+S△PHB＝PH•OB＝×（﹣x2﹣2x+3+x﹣3）＝﹣（x2﹣3x），
∵﹣＜0，则△BCP面积有最大值，
此时，点P（，）；
（3）存在，理由：
设点M的坐标为：（0，m）或（n，0），点N（s，t），
由点B、D的坐标得，BD2＝20，
由中点坐标公式和对角线BD＝MN得：
或，
解得：或，
即点N（4，1）或（4，3）或（3，4）．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；
（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴＝，
∵CD＝4AC，
∴＝＝4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．
（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．
∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，
∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）＝﹣a（x﹣）2+a．
∴△ADE的面积的最大值为a，
∴a＝，
解得：a＝．
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣．
（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P（1，m），
①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（﹣4，21a），
m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，
∴P1（1，），
②若点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q点的横坐标为6，
此时QD显然不垂直于AD，不符合题意，舍去；
③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．
∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，
∴xQ＝2，
∴Q（2，﹣3a）．
∴yP＝8a
∴P（1，8a）．
∵四边形APDQ为矩形，
∴∠APD＝90°
∴AP2+PD2＝AD2
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝
∴P2（1，4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线y＝x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
​
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作直线BC，过P作PH⊥x轴于点G，交BC于点H．设P（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，m﹣3），则PH＝﹣m2+3m，由二次函数的性质可求得△BPC的面积最大值，从而求出此时四边形PBDC面积的最大值，P点坐标；
（3）设P（m，m2﹣2m﹣3），E（n，0），分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，
得，，
解得，，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC的表达式为：y＝kx+b′，
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′中，
得，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．
设P（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，m﹣3），
∴PH＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）
＝﹣m2+3m，
∴S△BPC＝S△PCH+S△BPH，
＝PH•OG+PH•BG
＝PH（OG+BG）
＝PH×OB
＝（﹣m2+3m）
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，△BPC面积的最大值为．
∵BC与直线y＝x平行，
∴S△DBC＝S△OBC＝OB•OC＝×3×3＝，
∴四边形PBDC面积的最大值为+＝．
∵当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴P（，﹣）；
（3）存在，理由如下：
设P（m，m2﹣2m﹣3），E（n，0），
I．如图3﹣1，当点E在原点时，即点E（0，0），CE＝PE＝3，∠CEP＝90°，
∵四边形PECQ为正方形，
∴点Q（3，﹣3），
II．如图3﹣2，当四边形PECQ为正方形时，CE＝PE，∠CEP＝∠PEO+∠CEO＝90°，
作PI⊥x轴，垂足为I，作QH⊥y轴，垂足为H，
又∵∠CEO+∠OCE＝90°，
∴∠OCE＝∠PEO，
∴△OCE≌△PEI（ASA）
∴CO＝IE＝3，EO＝IP＝m2﹣2m﹣3，
同理：QH＝CO＝IE＝3，CH＝EO＝IP，
∴OE＝OI+IE＝m+3，HO＝IO，
∴m+3＝m2﹣2m﹣3，
解得：m＝，（m＝＜0，不合题意舍去），
∴HO＝IO＝，
∴点Q（﹣3，），
III．如图3﹣3，当四边形PECQ为正方形时，
由上可知：PI＝OE＝CH，IE＝QH＝OC＝3，
∴OE＝IE﹣IO＝3+m，
∴m＝m2﹣2m﹣3﹣3，
解得：m＝，（m＝＞0，不合题意舍去）
∴HO＝IO＝，
∴点Q（﹣3，）；
IV．如图3﹣4，当四边形PECQ为正方形时，
由上可知，PI＝OE＝CH，EI＝HQ＝OC＝3，
∴OE＝IE+IO＝3+|m|＝3﹣m，
∴3﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得：m＝﹣2，（m＝3＞0，不合题意舍去）
∴HO＝IO＝2，
∴点Q（3，2），
综上所述：点Q坐标为（﹣3，）；（﹣3，）；（3，﹣3）；（3，2）．
4．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线BD∥AC交抛物线于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一点，连接DP，交AC于点E，连接BE，BP，求△BPE面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线CA方向平移单位得到新的抛物线y'，点M是新抛物线y'对称轴上一点，点N为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程．
【分析】（1）令y＝0，求出x的值，进而可求出点A，B的坐标，令x＝0，得出y的值，可得出点C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的坐标，再利用BD∥AC可得出直线BD的解析式，联立直线BD与抛物线的解析式即可得出点D的坐标；
（2）过点P作PQ∥y轴交BD于点Q，设点P的横坐标为m，由此可得出点P和点Q的坐标，进而求出PQ的长，由三角形面积公式可得出△BDP的面积；连接AD，由平行可知，△ABD的面积与△BDE的面积相等，根据S△BPE＝S△BPD﹣S△BDE，可表达S与m的函数关系，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）将抛物线沿射线CA方向平移单位即抛物线先左平移1个单位，再向下平移个单位，由此可得y′的解析式，得出抛物线y′的对称轴，得出点M的横坐标，若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形，则△ACM为直角三角形，需要分类讨论：①点A为直角顶点；②点C为直角顶点；③点M为直角顶点，求出点M的坐标，再根据矩形的性质可得出点N的坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，即y＝﹣x2﹣x+2＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
∴直线AC的解析式为：y＝x+2，
∵BD∥AC，
∴直线BD的解析式为：y＝x+b，
将点B（1，0）的坐标代入直线，可得+b＝0，
∴b＝﹣，
∴直线BD的解析式为：y＝x﹣，
令x﹣＝﹣x2﹣x+2，
解得x＝1（舍）或x＝﹣4，
∴D（﹣4，﹣）．
（2）如图，过点P作PQ∥y轴交BD于点Q，设点P的横坐标为m，
则P（m，﹣m2﹣m+2），Q（m，m﹣），
∴PQ＝﹣m2﹣m+2﹣（m﹣）＝﹣m2﹣2m+，
∴S△BPD＝•（xB﹣xD）•PQ＝×（1+4）•（﹣m2﹣2m+）＝﹣m2﹣5m+．
连接AD，
∵AC∥BD，
∴S△BDE＝S△ABD＝××4＝，
∴S△BPE＝S△BPD﹣S△BDE＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+．
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S△BPE的最大值为：，此时P（﹣，）．
（3）将抛物线沿射线CA方向平移单位即抛物线先左平移1个单位，再向下平移个单位，
∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴y′＝﹣（x+2）2+2，
∴抛物线y′的对称轴为x＝﹣2；
设点M的纵坐标为t，则M（﹣2，t），
∴AM2＝（﹣2+3）2+（b﹣0）2＝1+b2，
AC2＝（0+3）2+（2﹣0）2＝13，
CM2＝（﹣2﹣0）2+（b﹣2）2＝b2﹣4b+8，
若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形，则△ACM为直角三角形，需要分类讨论：
①点A为直角顶点，
∴AM2+AC2＝CM2，即1+b2+13＝b2﹣4b+8，
解得b＝﹣1.5，
由矩形的性质可知，N（1，0.5）．
②点C为直角顶点，
∴AC2+CM2＝AM2，即13+b2﹣4b+8＝1+b2，
解得b＝5，
∴M（﹣2，﹣1.5），
由矩形的性质可知，N（﹣5，3）．
③点M为直角顶点，
∴AM2+CM2＝AC2，即1+b2+b2﹣4b+8＝13，
解得b＝1+或b＝1﹣，
∴M（﹣2，1+）或M（﹣2，1﹣），
由矩形的性质可知，N（﹣1，1﹣）或N（﹣1，1+）．
综上，若以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为（1，0.5）或（﹣5，3）或（﹣1，1﹣）或（﹣1，1+）．
5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，直线DF与直线AC交于点E，若DE＝EA，求点D的坐标；
（3）如图2，直线BD交直线AC于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入函数关系式，求出a、b的值，即可得出函数的解析式；
（2）先求出点C的坐标，求出AC的解析式，设点D（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用m表示出DE，EF，列出关于m的方程，解关于m的方程，得出m＝，或m＝3（不合题意，舍去），出点D的坐标即可；
（3）设点D的坐标为（t，﹣t2+2t+3）；当BD⊥AC，AD为对角线时，当AD⊥AC，AD为矩形的一条边时，当AD⊥DH，AD为条边时，分三种情况进行讨论，求出点D的坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点点A（3，0）和B（﹣1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∵A（3，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
设点D（m，﹣m2+2m+3），
∴E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣m）＝﹣m2+3m，
∴EF＝﹣m+3，
∵A（3，0），C（0，3），
∴OA＝CO，
∴∠CAO＝45°，
∴AE＝EF÷sin45°＝（3﹣m），
∵DE＝AE，
∴﹣m+3m＝（3﹣m），
∴m＝，或m＝3（不合题意，舍去），
把m＝代入得y＝﹣（）2+2+3＝2，
∴点D坐标为（，2+1）；
（3）存在，设点D的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
当BD⊥AC，AD为对角线时，过点D作DF⊥x轴于点F，交AC于点E，如图，
根据（2）可知，∠CAO＝45°，
∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBH＝∠AEF＝45°，
∴∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝45°，
∴∠DBF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴DF＝BF，
即t﹣（﹣1）＝﹣t2+2t+3，
解得t＝2或t＝﹣1（舍去），
∴点D的坐标为（2，3）；
当AD⊥AC，AD为矩形的一条边时，过点D作DM⊥轴于点M，如图，
∵∠CAO＝45°，∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝45°，
∵∠DMA＝90°，
∴∠MDA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CMD＝∠MAD，
∴MD＝MA，
即﹣（﹣t2+2t+3）＝3﹣t，
解t＝﹣2或t＝3（舍去），
∴点D的坐标为（2，﹣5）；
当AD⊥DH，AD为条边时，过点D作DM⊥轴于点M，如图，
∵BDA＝∠DMB＝∠DMA＝90°，
∴∠BDM+∠ADM＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠ADM＝∠DBM，
∴△BDM∽△DAM，
∴DM：AM＝BM：DM，即（﹣t2+2t+3）：（3﹣t）＝（t+1）：（﹣t2+2t+3），
解得t＝1+或t＝1﹣，
∴点D的坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；
综上分析可知，点D的坐标为（2，3），（1﹣1），（1+，1），（﹣2，﹣5）．
6．如图，抛物线的对称轴与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3），C为该抛物线图象上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，当点C在第一象限，且∠BAC＝90°，求tan∠ABC的值；
（3）点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为交点式，将B坐标代入解析式，进而求得结果；
（2）作CD⊥x轴于D，可证明△AOB∽△CDA，从而，设C（m，﹣m2++3），从而得出m﹣1＝3（﹣，求得m的值，进而得出△AOB≌△CDA，从而AB＝AC，进一步得出结果；
（3）在（2）的基础上根据对称性求得C点坐标，进而求得P点坐标，同样根据对称性求得另外两种情形．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+k，
∴3＝﹣+k，
∴k＝，
∴y＝﹣＝﹣；
（2）如图1，
作CD⊥x轴于D，
∴∠ADC＝∠AOB＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠DAC＝90°，
∴∠BAO＝∠ACD，
∴△AOB∽△CDA，
∴，
设C（m，﹣m2++3），
∴AD＝m﹣1，CD＝﹣m2++3，
∴m﹣1＝3（﹣，
∴m1＝﹣（舍去），m2＝4，
∴AD＝3，
∴OB＝AD，
∴△AOB≌△CDA，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴tan∠ABC＝tan45°＝1；
（3）存在正方形ACPD，理由如下：
如图2，
由（2）知：△ABC是等腰直角三角形，
∴当点D在B处时，四边形ACPD是正方形，
根据对称性可得：
作△ABC关于直线x＝1的对称△AC′D′，则四边形AC′PD′是正方形，
∵B（0，3），C（4，1），
∴C′（2，3），D′（﹣2，1），
∵A（1，0），
∴P（﹣1，4），
如图3，
作CE⊥x轴于E，
当点C和D关于直线x＝1对称，且∠DAC＝90°时，四边形ACPD是正方形，
此时△ACE是等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
设C（t，﹣+3），
∴t﹣1＝﹣+3，
∴t1＝﹣1﹣（舍去），t2＝﹣1+，
此时C（﹣1+，﹣2），
∴P（1，2），
如图4，
当点C和D关于直线x＝1对称，且∠DAC＝90°时，四边形ACPD是正方形，
同上可得：CF＝AF，
∴t﹣1＝﹣（﹣+3），
∴t3＝3+，t4＝3﹣（舍去），
∴C（3+，﹣），
∴P（1，﹣2﹣4），
综上所述：P（﹣1，4）或（1，3）或（1，﹣2﹣4）．
7．如图，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（0，4）两点．
（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为C，点P为第一象限内抛物线上一点，求P点坐标为多少时，△BCP的面积最大，并求出这个最大面积．
（3）在直线CD上有点E，作EF⊥x轴于点F，当以O、B、E、F为顶点的四边形是矩形时，直接写出E点坐标．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式并求出顶点D的坐标；
（2）过点P作PM⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．先求得直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，），则点M（m，﹣m+4），然后可求得PM的长（用含m的代数式表示），最后得到△BCP与m的函数关系式，从而可求得当△BCP面积最大时，点P的坐标；
（3）求出直线CD的解析式为y＝，将y＝4代入即可得解．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝+bx+c得
，解得，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4；
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴这个二次函数图象的顶点D的坐标为（1，）；
（2）设P（m，），
令y＝0，则，
解得x1＝4，x2＝﹣2，
∴C（4，0），
又∵A（﹣2，0），B（0，4），
∴OC＝4，OA＝2，OB＝4，
设直线BC的解析式为y＝kx+b．
∴，
解得：k＝﹣1，b＝4，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
如图1所示：过点P作PM⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
则M（m，﹣m+4），
∴PM＝（m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m．
∴S△BCP＝PM•OC＝＝﹣（m﹣2）2+4．
∴当m＝2时，△BCP面积的最大值为4．
此时点P的坐标为（2，4）；
（3）设直线CD的解析式为y＝mx+n，
∵D（1，），C（4，0），
∴，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝，
如图2，过点B作BE∥x轴交CD于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，
则四边形OBEF为矩形，
∵B（0，4），
∴EF＝4，
将y＝4代入直线CD的解析式得，4＝，
∴x＝，
∴E（，4）．
8．若二次函数的图象经过点A（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B．
（1）点C的坐标为 （4，0） ；
（2）求二次函数的解析式；
（3）点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若MN：NC＝2：5，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在对称轴上时，直接写出点M的坐标．
【分析】（1）根据轴对称性质即可求得点C的坐标；
（2）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（3）①先求得B（0，﹣4），再运用待定系数法可得直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，设M（m，﹣2m﹣4），则N（m，0），由MN：NC＝2：5，可得5MN＝2NC，建立方程求解即可得出答案；
②由正方形性质可得PQ⊥MN，PQ＝MN，进而得出P（2m+2，﹣m﹣2），由点P在对称轴上，可得2m+2＝1，解方程即可求得答案．
【解答】解：（1）∵点C与点A（﹣2，0）关于直线x＝1对称，
∴C（4，0），
故答案为：（4，0）；
（2）把A（﹣2，0）、C（4，0）代入y＝x2+bx+c，得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（3）①∵抛物线y＝x2﹣x﹣4与y轴交于点B，
∴B（0，﹣4），
设直线AB的解析式为y＝kx+d，把A（﹣2，0）、B（0，﹣4）代入，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，
设M（m，﹣2m﹣4），则N（m，0），如图，
∴MN＝2m+4，NC＝4﹣m，
∵MN：NC＝2：5，
∴5MN＝2NC，
即5（2m+4）＝2（4﹣m），
解得：m＝﹣1，
∴M（﹣1，﹣2）；
②∵以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），如图，连接PQ，
则PQ⊥MN，PQ＝MN，
∴P（2m+2，﹣m﹣2），
∵点P在对称轴上，
∴2m+2＝1，
解得：m＝﹣，
∴M（﹣，﹣3）．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设△PBC的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标；
（3）已知M是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N，使以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，将A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c求解即可；
（2）如图，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，交BC于点E，设P（m，﹣m2+2m+3），确定BC的解析式y＝﹣x+3，于是PE＝﹣m2+3m，从而，所以时，S最大值为，进而求得；
（3）设M（1，p），如图，BC2＝18，BM2＝p2﹣6p+10，CM2＝p2+4，分类讨论：当BC为对角线时，∠BMC＝90°，由勾股定理，BM2+CM2＝BC2，解得，设点N（n，q），则，从而得点或；另当BM为对角线时，∠BCM＝90°，同法求得N（﹣2，1），当MC为对角线时，∠MBC＝90°，同法求得点N（4，1）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c，得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，交BC于点E，
设P（m，﹣m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y＝kx+h（k≠0），得：
，
解得，
∴y＝﹣x+3，
则点E（m，﹣m+3），PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴，
∴当时，S最大值为，
，
∴；
（3）存在．
设M（1，p），如图，BC2＝32+32＝18，BM2＝（1﹣0）2+（p﹣3）2＝p2﹣6p+10，CM2＝（1﹣3）2+（p﹣0）2＝p2+4，
当BC为对角线时，∠BMC＝90°，
由勾股定理，BM2+CM2＝BC2，
∴p2﹣6p+10+p2+4＝18，
解得，
设点N（n，q），则：
，
解得，
∴点或；
如图，当BM为对角线时，∠BCM＝90°，
BM2＝CM2+BC2，即p2﹣6p+10＝p2+4+18，解得p＝﹣2，则：
，
解得，
∴点N（﹣2，1）；
如图，当CM为对角线时，∠MBC＝90°，
BM2+BC2＝CM2，即p2﹣6p+10+18＝p2+4，解得p＝4，则：
，
解得，
∴点N（4，1），
综上，点或或（﹣2，1）或（4，1）．
10．平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍，则称这个点为“二倍点”．例如，点P（，3）是“二倍点”．
（1）在点A（1，1），B（﹣3，），C（﹣6，3）中，是“二倍点”的有 B ；
（2）若点E为双曲线y＝﹣（x＞0）上任意一点．
①请说明随着点E在图象上运动，为什么函数值y随自变量x的增大而增大？
②若将点E向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点F．求证：点F为“二倍点”．
（3）已知“二倍点”M在抛物线y＝x2（x＞0）的图象上，“二倍点”N在一次函数y＝x（x＞0）的图象上，点G在x轴上，坐标平面内有一点H，若以点M，N，G，H为顶点的四边形是矩形，请直接写出点H的坐标．
【分析】（1）根据定义判断即可；
（2）①根据实数的性质，可知当m增大时，减小，﹣增大，由此即可说明；
②由平移可得F（m+1，﹣﹣1），再根据“二倍点”定义证明即可；
（3）根据“二倍点”定义求出M（，3），N（2，2）；当MN是矩形的邻边时，过N点作NE⊥x轴交于E点，直线MN与x轴、y轴的交点D（3，0），C（0，6），由∠NGD＝∠OCD，可求G（﹣2，0），当N点平移后到G点，则M点平移后到H（﹣，1）；过M点作MQ⊥x中交于Q点，再由∠MFQ＝∠OCD，可求F（﹣，0），当M点平移后到（﹣，0），则N点平移后到H（﹣4，﹣1）；当MN为对角线时，G点不能在x轴上，故此时不存在．
【解答】（1）解：点A（1，1）所作的矩形周长为2×（1+1）＝4，矩形面积为1×1＝1，
∴点A（1，1）不是“二倍点”；
B（﹣3，）所作的矩形周长为2×（+3）＝9，矩形面积为3×＝9，
∴B（﹣3，）是“二倍点”；
C（﹣6，3）所作的矩形周长为2×（6+3）＝18，矩形面积为3×6＝18，
故答案为：B；
（2）①解：设E（m，﹣），
当m增大时，减小，﹣增大，
∴函数值y随自变量x的增大而增大；
②证明：由平移可得F（m+1，﹣﹣1），
∴点F（m+1，﹣﹣1）所作的矩形周长为2×（m+1+1+）＝4+2m+，矩形面积为（m+1）（+1）＝2+m+，
∵4+2m+＝2（2+m+），
∴点F为“二倍点”；
（3）解：设M（t，t2），N（n，n），H（x，y），
∵M是“二倍点”，
∴2（t+t2）＝2t•t2，
解得t＝﹣1（舍）或t＝，
∴M（，3）；
∵N是“二倍点”，
∴2（n+n）＝2n•n，
解得n＝2，
∴N（2，2）；
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线MN的解析式为y＝﹣2x+6，
当MN是矩形的邻边时，过N点作NE⊥x轴交于E点，
∴直线MN与x轴、y轴的交点D（3，0），C（0，6），
∵MN⊥GN，
∴∠NGD＝∠OCD，
∴tan∠OCD＝＝＝，
∴GE＝4，
∴OG＝2，
∴G（﹣2，0），
当N点平移后到G点，则M点平移后到H点，
∴H（﹣，1）；
过M点作MQ⊥x中交于Q点，
∴∠MFQ＝∠OCD，
∴＝＝，
∴FQ＝6，
∴F（﹣，0），
当M点平移后到（﹣，0），则N点平移后到H（﹣4，﹣1）；
当MN为对角线时，G点不能在x轴上，故此时不存在；
综上所述：H点坐标为（﹣，1）或（﹣4，﹣1）．
11．已知，二次函数y＝﹣x2+x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标；
（3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y'＝ax2+bx+c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）此题根据抛物线解析式，可以令x＝0和y＝0，分别求出C、A、B点坐标，继而求得OA、OB、OC长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形ABC为直角三角形，此题也可以根据相似三角形的判定来解决；
（2）根据PE⊥x轴，判定PE∥y轴，根据GF⊥PE，判定GF∥x轴，阴影部分面积可以看作△CGF与△OGF的面积之和，当底边为GF时，阴影部分面积转化为，由于OC长已知，所以当GF取最大值时，阴影部分面积最大，根据AC∥PD，可以得到∠ACO＝∠DPE，从而得到，设P（m，），则F（m，），得到PF的长度，继而得到GF长度，从而求得S阴表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值；
（3）根据△AOC三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于BC为边，M在对称轴上，所以可以得到∠BCM＝90°或者∠CBM＝90°，根据分类，画出图形，利用直角，构造一线三等角相似，即可求得M点坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝，
∴，
令y＝0，则，
解得：，
∴，
∴，
在Rt△AOB中，AC2＝OA2+OC2＝15，
同理，BC2＝60，
又AB＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
即△ABC为直角三角形；
（2）设直线AC为，
代入点A（﹣，0）得，k1＝2，
∴直线AC为，
同理，直线BC为，
∵PE⊥x轴，
∴PE∥y轴，
设P（m，），
F（m，），
∴，
∵GF⊥PE，PE⊥x轴，
∴GF∥x轴，∠GFP＝90°，
∵AC∥PD，
∴∠CAO＝∠PDE＝∠PGF，
又∠AOC＝∠GFP＝90°，
∴△AOC∽△GFP，
∴，
∴GF＝，
∵，
∴，
∴当PF最大时，S阴取得最大值，
∵＝，
又，
∴当m＝时，PF最大值为，S阴最大值为3，
∴P（），
∵PD∥AC，
∴可设直线PD为y＝2x+b，
代入点P，得b＝，
∴直线PD为：，
令y＝0，解得x＝，
∴，
此时S阴最大值为3；
（3）存在这样的点M，使以C、B、M、N为顶点的四边形为矩形，
∵，
∴当抛物线沿射线AC方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移3个单位，
∵y＝，
∴平移后得抛物线为：，
∴对称轴为直线，
①当∠MCB＝90°，MB为对角线，构成矩形MCBN时，如图1，
过M作MQ⊥y轴于Q点，
∴∠MCQ+∠OCB＝90°，
又∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠MCQ＝∠OBC，
∴tan∠MCQ＝tan∠OBC＝，
∴，
又MQ＝，
∴，
∴，
由坐标与平移关系可得，
N（），
②当∠CBM＝90°，CM为对角线，构成矩形BCNM时，如图2，
∵∠CBO+∠OBM＝90°，
∠BMQ+∠OBM＝90°，
∴∠BMQ＝∠CBO，
∴tan∠BMQ＝tan∠CBO，
∴，
∵，
∴，
∴，
由坐标与平移关系可得，
N（），
综上所述，N为（）或（）．