新高考数学一轮复习单元提升卷03 函数（2份，原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，探讨其奇偶性，再结合时函数值为正即可判断作答.
【详解】由，得，即函数的定义域为，
显然，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，AB不满足；
当时，，于是，其图象在第一象限，C不满足，D满足.
故选：D
2．下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出每个函数的值域，即可得出答案．
【详解】对于A：定义域为，值域，故A错误，
对于B：定义域为，因为，所以，故B正确；
对于C：定义域为，因为，所以，
所以，故C错误；
对于D：因为，所以，故D错误，
故选：B．
3．已知函数，且，则实数的值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；
【详解】令，解得或由此解得，
故选：D
4．（ 2023·山西临汾·统考二模）已知函数是定义在上的连续函数，且满足，.则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，，代入原式可得，列出等式，，，，再利用累加法计算即可.
【详解】令，，因为，
，
得，即，
因为，，，，
，，，，
将上述个式子累加得，，
.
故选：D
【点睛】求解本题的关键是通过赋值法，令，，将原式转化为，列出等式，利用累加法计算即可.
5．已知方程有两个不同的解，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将方程解问题转化为及的图像交点问题，再结合图像列出不等关系，即可得到结果.
【详解】
由于，即，在同一坐标系下做出函数及的图像，如图所示：
由图知在上是减函数，故，由图知，
所以，即，化简得，即，
故选：D.
6．已知定义域为的函数，若对任意的、，都有，则称函数为“定义域上的函数”，给出以下五个函数：
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，，
其中是“定义域上的函数”的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【解析】本题首先可以根据题意得出，然后对题目中给出五个函数依次进行研究，得出它们的和并进行比较，即可得出结果.
【详解】，即，
①：因为，，
所以，，
易知恒成立，①满足；
②：因为，
所以，，
当时，，②不满足；
③：因为，
所以，，
因为，所以，恒成立，③满足；
④：因为，
所以，
，
因为，所以，，
故恒成立，④满足；
⑤：因为，
所以，，
因为，所以，
故恒成立，⑤满足，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否根据题意明确“定义域上的函数”的含义是解决本题的关键，可通过求出函数的和并进行比较来判断函数是否是“定义域上的函数”，考查计算能力，是中档题.
7．定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案.
【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
因为当时，为单调递增函数，
定义在上的函数的图象关于直线对称，
所以当时，单调递减，
因为，所以，即.
故选：B.
8．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，则在上递增，判断也是是定义在上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可.
【详解】因为对任意的，，均有成立，
不妨设，则，
所以，
构造函数，则在上递增，
因为是定义在上的奇函数，所以也是是定义在上的奇函数，
所以在上递增，
不等式化为，
因为，
则，
或；
时，，不合题意；
综上不等式的解集为，
故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．B．
C．的最小值为1D．的图象与轴有1个交点
【答案】ACD
【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可.
【详解】令，得，则，得，
故，，，A正确，B错误.
，所以在上单调递增，
，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确.
故选：ACD
10．某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：℃），环境温度为（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（ ）（参考数据：）
A．函数关系也可作为这壶外水的冷却模型
B．当时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟
C．若，则
D．这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短
【答案】BCD
【分析】对A，利用指对互化即可判断A；对B，将数据代入公式即得到；对C，根据，解出值，再代入数据即可判断；对D，分别代入公式计算冷却时间，作差比价大小即可.
【详解】对A，由，得，
所以，整理得．A项错误；
对B，由题意可知． ，B项正确；
对C，由，得，即，则．C项正确；
对D，设这壶水从100℃冷却到70℃所需时间为分钟，则，
设这壶水从70℃冷却到40℃所需时间为分钟，
则，
因为，所以，D项正确．
故选：BCD．
11．已知幂函数对任意且，都满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由已知函数为幂函数可得，再由已知可得此函数在上递增，则，从而可求出函数解析式，然后判断函数奇偶性和单调性，从而可判断选项AB，对于CD，作差比较即可.
【详解】因为为幂函数，
所以，解得或，
因为对任意且，都满足，
所以函数在上递增，
所以
当时，，不合题意，
当时，，
所以
因为，
所以为奇函数，
所以由，得，
因为在上为增函数，
所以，所以，
所以A错误，B正确，
对于CD，因为，
所以
，
所以，所以C错误，D正确，
故选：BD
12．在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（ ）

A．甲车出发2h时，两车相遇
B．乙车出发1.5h时，两车相距170km
C．乙车出发2h时，两车相遇
D．甲车到达C地时，两车相距40km
【答案】BCD
【分析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论A错误；根据速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；据时间＝路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论C正确；结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程＝速度×时间，即可得出结论D正确．
【详解】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，
∵C地位于A、B两地之间，
∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误；
甲车的速度为240÷4＝60（km/h），
乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），
∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），
∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；
∵，
∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确；
∵80×（4﹣3.5）＝40（km），
∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．有下列说法：
①；②16的4次方根是；
③；④．
其中，正确的有________(填序号)．
【答案】②④
【分析】根据n次方根的定义求解.
【详解】n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，，故①错误；
16的4次方根有两个，为 ，故②正确；
因为，故③错误；
因为是正数，故，故④正确．
故答案为：②④
14．已知函数在上有零点，则实数a的取值范围是________________．
【答案】
【分析】分和两种情况，根据零点的定义结合分式不等式运算求解.
【详解】当时，函数，无零点，不合题意；
当时，由，解得，
所以，即，解得或；
综上所述：实数a的取值范围是.
故答案为：.
15．已知函数是二次函数又是幂函数，函数，函数，则的值为______．
【答案】82
【分析】根据已知得出，在根据函数的解析式得出其定义域，并结合对数运算得出，即可根据函数奇偶性的定义得出函数为奇函数，即可根据奇函数的性质得出，根据已知结合函数的解析式与的奇偶性得出，且，即可根据所求式子的规律得出答案.
【详解】函数是二次函数又是幂函数，
，
在上恒成立，
函数，定义域为，
，
，
，
，
，
函数为奇函数，
，
且
则，
故答案为：82.
16．已知为定义在R上的奇函数，为偶函数，且对任意的，，，都有，试写出符合上述条件的一个函数解析式______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得函数的周期性，再结合单调性求解作答.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，则，且，
又为偶函数，则，即，
于是，则，即是以为周期的周期函数，
对任意，，，都有，可得在单调递减，
不妨设，由题意，，所以，则，
当时，，
因为在上单调递减，且在上单调递增，
所以，不妨取，此时.
故符合上述条件的一个函数解析式，（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（1）已知，，求.（用表示）
（2）已知，，求.（用表示）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由指数式与对数式的关系可得，结合对数运算公式化简即可；
（2）由指数与对数关系可得，利用换底公式和对数运算公式化简可得结论.
【详解】（1）因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以.
18．已知函数.
(1)作出函数的图象；
(2)就a的取值范围讨论函数的零点的个数．
【答案】(1)作图见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方；
（2）数形集结合，函数的零点的个数就是函数的图象与直线的交点的个数．
【详解】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上及其上方的图象及翻折上来的图象便是所要作的图象．
.
（2）由图象易知，函数的零点的个数就是函数的图象与直线的交点的个数．.
当时，函数的零点的个数为0；
当与时，函数的零点的个数为2；
当时，函数的零点的个数为4；
当时，函数的零点的个数为3.
19．已知是定义在上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数即可求出结果；
（2）根据的奇偶性和单调性即可求出结果.
【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，所以，所以．
此时，经验证，，故．
（2）由（1）可知，
任取，
则，
因为，则，
所以
所以是上的增函数．
由恒成立，
得恒成立，
则，
所以恒成立，
因为，
所以．
实数的取值范围为：．
20．已知函数，且，当的定义域是时，此时值域也是.
(1)求的值；
(2)若，证明为奇函数，并求不等式的解集.
【答案】(1)，或，
(2)证明见解析，
【分析】（1）分以及，根据函数的单调性，列出方程组，即可求出答案；
（2）根据已知得出，求出，化简即可得出证明；根据函数的奇偶性以及函数的单调性，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】（1）当时，函数单调递减，且.
又在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以，解得；
当时，函数单调递增，且.
又在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，
所以，解得.
综上，，或，.
（2）因为，所以，，
则，定义域为，且函数在上单调递增.
因为，
所以为奇函数.
则不等式，可化为.
又函数在上单调递增，则，即，
所以不等式的解集为.
21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
(1)求函数的解析式和单调区间；
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；单调增区间为，；单调减区间为，
(2)
【分析】（1）由奇函数求解函数的解析式，并求解单调区间即可；
（2）方程有两个不相等的实数根，转化为与的图象有两个不同的交点，画出图象求解即可.
【详解】（1）当时，；当时，有，
此时．
故函数的解析式为
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
由奇函数的性质，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
故函数的单调增区间为，；
单调减区间为，；
（2）如图：

当时，；；
当时，；；
当时，；；
当时，；
故．
22．已知函数.
(1)若在区间上恒成立，求m的取值范围；
(2)当时，证明：在区间内至少有2个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，由已知可得在上恒成立，利用定义判断函数的单调性，结合单调性求其最小值，由此可得m的取值范围；
（2）判断函数值的正负，结合零点存在性定理证明结论.
【详解】（1）∵在上恒成立，则，
设，则，
∴函数在上恒成立，
令，则，
在区间[2，+∞）上任取实数，且，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴.
∴，
∴在上是增函数.
∴，
∴.
∴的取值范围为.
（2）∵，
，
.
∴，，
又在（0，+∞）上连续
∴由零点存在性定理知函数在，内各至少有一个零点.
∴在内至少有2个零点.