新高考数学一轮复习单元提升卷07 平面向量与复数（2份，原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． （ ）
A．B．C．D．
2．如图，在梯形中，，，设，，则（ ）

A．B．
C．D．
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（ ）
A．1B．2C．D．
4．已知两个单位向量满足．则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知复数，是关于的方程的两根，则下列说法中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
6．设为函数（）图象上一点，点，为坐标原点，，的值为（ ）
A．-4B．C．4D．1
7．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：
①越大越费力，越小越省力；②的范围为；
③当时，；④当时，.
其中正确结论的序号是（ ）

A．①③B．①④C．②③D．②④
8．在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列与平面向量相关的结论正确的是（ ）．
A．在四边形中，若，则该四边形为平行四边形
B．对任意一个等边，都成立
C．对于非零向量，，成立的充要条件是，方向相同
D．对于非零向量，，成立的充要条件是，方向相同
10．已知复数，复数满足，则（ ）
A．
B．
C．复数在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数在复平面内所对应的点为，则
11．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A．直线不过边的中点
B．
C．若，则
D．
12．如图1，甲同学发现家里的地板是正方形的形状，地板的平面简化图如图2所示，四边形和四边形均为正方形，且为的中点，则下列各选项正确的是（ ）
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量在向量上的投影向量为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数满足，则 _____.
14．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为_____．
15．已知对任意平面向量，把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则_____.
16．在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，，则的取值范围是_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在①，②为虚数，③为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：.
（1）若_______，求实数的值；
（2）若复数的模为，求的值.
18．已知向量：.
(1)求与的模长.
(2)求与的数量积.
(3)求与的夹角的余弦值.
(4)借助向量和单位圆求证：
19．已知关于x的方程的两个虚数根为．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求实数a的值．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，BE与AC，AF分别相交于M，N两点.

(1)若，求λ；
(2)若，求.
21．如图，向量，为单位向量，，点在内部，，，.
(1)当时，求，的值；
(2)求的取值范围.
22．已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作，，以O为原点，分别以射线、为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如图（1）.我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系.当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点Р在斜坐标系中的坐标.

今有斜坐标系（长度单位为米，如图（2）），且，，设
(1)计算的大小；
(2)质点甲在上距O点4米的点A处，质点乙在y上距O点1米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动.
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用，，表示；
②若时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.