2024-2025学年重庆市鲁能巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆市鲁能巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线l1：y= 3x+1与l2：ax−y+1=0互相垂直，则实数a=( )
A. − 3B. 3C. − 33D. 33
2.已知空间中，点A(1,2,−1)，B(−2,1,−1)，C(−1,2,0)，则平面ABC的一个法向量为( )
A. (2,1,3)B. (1,−3,2)C. (1,3,2)D. (−1,2,2)
3.若直线l：x+ 2y=0与圆C：(x− 2)2+y2=113交于A，B两点，则|AB|=( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
4.抛物线y=12x2上一点P到Q(0,2)的距离的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
5.已知圆C1：(x+3)2+y2=100和C2：(x−3)2+y2=4，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为( )
A. x236+y227=1B. x236+y29=1C. x225+y216=1D. x225+y29=1
6.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，AB=AD=AA1=2，则异面直线B1D与A1C1所成角的余弦值为( )
A. 66B. − 66
C. 63D. − 63
7.如图，曲线C由三部分构成：半圆F1：(x+1)2+y2=1(y≥0)，半圆F2：(x−1)2+y2=1(y≥0)，半椭圆Γ：x24+y23=1(y0)的左，右焦点分别为F1(−c,0)、F2(c,0)，直线y=−2(x−c)与双曲线C右支相交于A、B(其中A在一象限)，若|AF1|=|AB|，则列说法正确的是( )
A. cs∠F1F2B=− 55
B. b=3
C. |AB|=5 52
D. △ABF1的面积为15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l经过点A(1,2,3)，且n=(1,1,1)是l的一个方向向量，则点P(2,4,3)到l的距离为______．
13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线y=kx−1与抛物线相交于A、B，且AB的中点为M(2,2)，则p= ______．
14.平面点集{(x,y)|(x−csθ)2+(y−sinθ)2=25，θ∈R}所构成区域的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C1：x2+y2−6x+2my+m2+8=0，圆C2：x2+y2=16，直线l：y=kx−5(k>0)．
(1)若圆C1与圆C2外切，求实数m的值；
(2)若l与圆C1、C2都相切，求实数m的值．
16.(本小题15分)
已知椭圆C经过点M( 2, 62)，N(2 63,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左右焦点分别为F1、F2，过点F1且斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，若∠AF2B为锐角，求k的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=PC=CB=BA=12AD=2，AD//CB，∠CPD=∠ABC=90°，平面PCD⊥平面ABCD，E为PD中点．
(1)求证：PD⊥面PCA；
(2)点Q在棱PA上，设PQ=λPA(00)的左、右焦点为F1(−c,0)、F2(c,0)，直线l1：x=c与双曲线C相交于M、N，且|MN|=2 63.双曲线C上任意一点P到F2的距离与到l2：x=a2c的距离的比为2 33．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)斜率存在且不为0的直线l与双曲线C相切．
①若l与l1相交于A点，与l2相交于B点证明：|F2A||F2B|为定值；
②若l与直线x=a和x=−a分别相交于S、T，证明：S、T、F1、F2四点共圆．
19.(本小题17分)
已知点P1(1,−2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，过点P1作斜率为1的直线交C于另一个点Q1，设P2与Q1关于x轴对称，再过P2作斜率为1的直线交C与另一个点Q2，设P3与Q2关于x轴对称，以此类推一直做下去，设Pn(xn,yn)，n∈N∗．
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：数列{yn}是等差数列，并求xn，yn；
(3)求△PnPn+1Pn+2的面积．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.A
6.A
7.B
8.D
9.ABD
10.BCD
11.ACD
12. 2
13.3
14.20π
15.解：(1)圆C1：x2+y2−6x+2my+m2+8=0，即C1：(x−3)2+(y+m)2=1，
圆C2：x2+y2=16，
两圆的圆心和半径分别为C1(3,−m)，r1=1，C2(0,0)，r2=4，
则|C1C2|= 9+m2=r1+r2=5，解得m=−4或m=4．
(2)圆心C2到直线l的距离d2=5 1+k2=4，解得k=34(舍负)，
圆心C1到直线l的距离d1=|m−114| 1+k2=1，解得m=4或m=32．
16.解：(1)设椭圆mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，
由椭圆C经过点M( 2, 62)，N(2 63,1)．
可得2m+32n=183m+n=1⇒4m+3n=28m+3n=3⇒m=14n=13，
所以x24+y23=1；
(2)由(1)知F1(−1,0)，F2(1,0)，
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
设l：y=kx+k，与椭圆方程3x2+4y2=12联立，消去y，
可得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0，
即有Δ=(8k2)2−4(3+4k2)(4k2−12)=144k2+144>0恒成立，
则x1+x2=−8k24k2+3x1⋅x2=4k2−124k2+3，易知F2A=(x1−1,y1),F2B=(x2−1,y2)，
因为∠AF2B为锐角，y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2x1x2+k2(x1+x2)+k2，
F2A⋅F2B=(x1−1)(x2−1)+y1y2=x1x2−(x1+x2)+1+y1y2
=(k2+1)x1x2+(k2−1)(x1+x2)+(k2+1)
=(k2+1)(4k2−12)−8k2(k2−1)+(k2+1)(4k2+3)4k2+3=7k2−94k2+3>0，
即k2>97，
故k的取值范围为k∈(−∞,−3 77)∪(3 77,+∞)．
17.(1)证明：由题意：BC=AB=2，∠ABC−90°，
∴AC= AB2+BC2=2 2，同理CD=2 2，
又AD=4，∴CD2+AC2=AD2，
∴CD⊥AC，
又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴PD⊥AC，
又PC⊥PD且PC⊂面PCA，AC⊂面PCA，PC∩AC=C，
∴PD⊥面PCA；
(2)解：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(0,2 2,0)，D(2 2,0,0)，P( 2,0, 2)，
∴CD=(2 2,0,0)，CP=( 2,0, 2)，PA=(− 2,2 2,− 2)，
由PQ=λPA(0