2024-2025学年北京市房山区高三上学期12月月考数学检测试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市房山区高三上学期12月月考数学检测试题（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．设集合，则（ ）.
A． B． C． D．
2．已知（为虚数单位），则的虚部为（ ）.
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，圆经过点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则正实数的值为（ ）.
A．1B．C．D．2
4. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
5.在中，，则（ ）.
A. B. C. D.
6.若,,则的值为（ ）.
A. B. C. D.
7. 设a，b均为单位向量，则“a⊥b” 是“”的（ ）条件.
A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D.既不充分也不必要
8.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著.其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面 ABCD上的投影为矩形 ABCD的中心 O，，，，，长度单位：丈则楔体的体积为体积单位：立方丈（ ）.
A. 10B. 8C. 6D. 5
9. 已知非零向量，，在同一平面，其中是单位向量.与的夹角为，，则的最小值是（ ）.
A．2B．C．1D．
10.已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率________．
12. 在等差数列中，公差不为，，且成等比数列，则__________；
当__________时，数列的前n项和有最大值．
13.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
14．设函数
（1）当时， ；
（2）若恰有2个零点，则a的取值范围是 ．
15．对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”. 给出以下四个结论：
① 若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0；
② 若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是；
③ 若数列是“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有；
④ 若数列是“有界变差数列”，则数列必是“有界变差数列”.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（13分）设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
条件①：； 条件②：； 条件③：最大值为；
条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
17．（13分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班～8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：
（Ⅰ）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
（Ⅱ）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等。现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀。直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）.
18．（14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为中点，点在棱上，平面，．
（Ⅰ）求证：为中点；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设为棱上任意一点，
求证：与平面不垂直.
19．（15分）已知椭圆的左焦点为，直线l过点F交椭圆于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线上是否存在点C，使得为正三角形？若存在，求出点C的坐标及直线l的方程；若不存在，请说明理由．
20．（15分）已知函数其中
（Ⅰ）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设，且函数有极大值点求证：
21. （15分）已知集合，集合且满足：与恰有一个成立. 对于定义（）.
（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；
（Ⅱ）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为. 证明： ；
（Ⅲ）求证：对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得.
数学答案
一、单选题
二、填空题
11．
12. ;
13.
14． ;
15．①③④
16.设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一．
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
条件①：；
条件②：；
条件③：最大值为；
条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
答案： （1）选择条件②④，
得到，，
由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，
所以解得，所以.
选择条件③④，
由题意可得，
最大值为得到，
所以
由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，
所以解得，所以.
（2）由正弦函数的图象可得当时，，，
当即时，有最大值；
当即时，有最小值.
17．为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班～8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列和数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.写出方差，，，的大小关系（不必写出证明过程）.
【详解】（1）由题意知从高一年级的（1）班～（8）班了抽测共80人，
其中身体素质监测成绩达到优秀的共有，
故估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为；
（2）由题意可知高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人，
则可取
，，
则的分布列为：
的数学期望.
（3）.
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为中点，在棱上，平面,．
（1）求证：为中点；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设为棱上任意一点，求证：与平面不垂直.
解：（1）连结，因为底面是正方形，所以与互相平分，所以为中点
因为平面，平面，平面平面，所以，
因为为中点，所以为中点.
（2）取中点，连接，，因为，所以
∵侧面底面，侧面底面，平面
∴底面，所以
因为分别为中点，所以,因为,所以
所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则（1，0，0），（1，2，0），（﹣1，2，0），（﹣1，0，0），，，（0，1，0），是平面的一个法向量
设平面的一个法向量是，∵，
令，则，，
所以二面角的余弦值为
（3）假设平面，所以，设，则，
∴，由，所以
由，所以，导致矛盾，
所以假设不成立，与平面不垂直.
19．已知椭圆的左焦点为，直线l过点F交椭圆于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线上是否存在点C，使得为正三角形？若存在，求出点C的坐标及直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题得，且．令，代入椭圆得，
故的面积为．
所以．结合，解得．
所以椭圆的方程为．
当直线l垂直于x轴时，，
显然不满足为正三角形，
当直线l不垂直于x轴时，设直线AB方程为，与椭圆显然有两个交点，
由得，
设的中点，
则，，
，
因为为正三角形，所以，而，
所以，解得，
当时，所以，
所以直线所以，
同理当时，直线所以，
综上：点C的坐标为，对应直线l的方程分别为
20．已知函数其中
当时，求函数的图象在处的切线方程；
若恒成立，求a的取值范围；
设，且函数有极大值点求证：
【正确答案】解：当时，，则，，，
函数的图象在处的切线方程为，即
不等式，即，，，恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，取得极大值，也为最大值，故，
由，得，实数a的取值范围是
证明：由，得，
①当时，，单调递增无极值点，不符合题意；
②当或时，令，设的两根为和，
为函数的极大值点，，由，，知，，
又由，得，
，
令，，则，
令，，则，
当时，，当时，，，
，在上单调递减，，
21. 已知集合，集合且满足：与恰有一个成立. 对于定义（）.
（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；
（Ⅱ）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为. 证明： ；
（Ⅲ）求证：对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得.
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ，，，故. …………2分
因为 ，所以 .
所以 .
所以 当时，取得最大值. …………4分
（Ⅱ）证明：由的定义可知.
所以

. …………6分
设删去的两个数为，则.
由题意可知：，且当其中一个不等式中等号成立，不放设时，，. 所以 . ……………8分
所以.
所以 ，即. ………………9分
（Ⅲ）任取集合，由（）可知， 中存在最大数，不妨记为（若最大数不唯一，任取一个）.
因为 ，
所以 存在，使得，即.
由可设集合.
则中一定存在元素使得. 否则，，与是最大数矛盾.
所以 ，，即.
………………15分
1
2
3
4
5
A
A
C
B
B
6
7
8
9
10
A
C
D
D
A