2024-2025学年福建省龙岩市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省龙岩市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（ ）
A．32B．C．0D．1
2．设为实数，已知直线，若，则（ ）
A．6B．C．6或D．或3
3．已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为B．焦距为2
C．短轴长为2D．离心率为
4．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12B．10C．5D．
5．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A．3B．4C．6D．10
6．若直线 l:kx−y−2=0 与曲线 C:1−y−12=x−1 有两个交点，则实数 k 的取值范围是（ ）
7．已知两点，，若直线上存在点P，使，同时存在点Q，使，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（ ）
A．若，则点的轨迹为椭圆
B．若，则点的轨迹为双曲线
C．若，则点的轨迹为直线
D．若，则点的轨迹为圆
10．现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同安排方案的种数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
11．已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，下列判断正确的是（ ）
A．的方程为
B．的离心率为
C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为
D．若点为的上支上的一点，则△的内切圆的半径为
三、填空题（本大题共3小题）
12．从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有 ；（用数字做答）
13．若点在圆的外部，则实数的取值范围是 .
14．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆过点，且圆关于直线对称的圆为
(1)求圆的圆心坐标和半径，并求出圆的方程；
(2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
16．已知双曲线 的离心率为2，实轴长为2.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)设直线l:y= kx+1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足（其中O为坐标原点） 若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由.
17．已知等差数列的前项和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为.问：是否存在，使得，，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
(3)在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程.
19．定义1 进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式．如．
定义2 三角形数：形如，即的数叫做三角形数．
(1)若是三角形数，试写出一个满足条件的的值；
(2)若是完全平方数，求的值；
(3)已知，设数列的前项和为，证明：当时，．
答案
1．【正确答案】D
【详解】依题，解得，则二项式的所有项系数之和为.
故选：D.
2．【正确答案】A
【详解】因为，所以，解得：或.
当时，，平行；
当时，，可判断此时重合，舍去.
故选：A
3．【正确答案】D
【详解】已知椭圆，整理得，
得，所以，
故椭圆长轴长为，焦距为，
短轴长为，离心率为．
故选：D．
4．【正确答案】B
【详解】由和可得，
故，
故选：B
5．【正确答案】C
【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由椭圆定义可得，
故，
又，
则由余弦定理得，
故，
故.
故选C.
6．【正确答案】A
【详解】直线 l:kx−y−2=0 恒过定点 0,−2 ，
曲线 C:1−y−12=x−1 表示以点 1,1 为圆心，半径为1，且位于直线 x=1 右侧的半圆（包括点 1,2 ， 1,0 ）．
如图所示，
当直线 l 经过点 1,0 时， l 与曲线 C 有两个不同的交点，此时 k=2 ，直线记为 l1 ；
当 l 与半圆相切时，由 |k−3|k2+1=1 ，得 k=43 ，切线记为 l2 ．
分析可知当 43＜k≤2 时， l 与曲线 C 有两个不同的交点.
7．【正确答案】C
【详解】由点，，得，
由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线右支，方程为，
由，得点的轨迹是以点为焦点，实轴长为6的双曲线左支，方程为，
直线为“两全其美线”，当且仅当直线与双曲线的两支相交，
对于A，双曲线的渐近线为，直线与双曲线无公共点，A不是；
对于B，直线与双曲线左支无公共点，B不是；
对于C，由，知直线过双曲线的中心，
且在两条渐近线所夹含焦点的区域，直线与双曲线两支相交，C是；
对于D，由，知直线过双曲线的中心，且在两条渐近线所夹含虚轴的区域，
直线与双曲线无公共点，D不是.
故选：C
8．【正确答案】A
【分析】设，利用点差法可得，因为为直线与圆的切点，所以，可解.
【详解】设，
设直线，且
则，作差得：
由，所以，①
因为为直线与圆的切点，所以，②
由①②消去可得，
所以.
故选：A.
9．【正确答案】AD
【详解】对于A：，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆，故A正确；
对于B：，则点的轨迹是以、为焦点双曲线的右支，故B错误；
对于：由，可得，
则点的轨迹是以为直径的圆，故C错误；
对于D：设，由，则，
即，所以点的轨迹为圆，故D正确.
故选：AD.
10．【正确答案】BD
【详解】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故A错误；
对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，
则不同安排方案的种数为，故B正确；
对C，先将5人分为3组，有种分组方法，
将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况，
则不同安排方案的种数是，故C错误；
对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组，
安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为；
第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作，
再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作，
则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是，故D正确.
故选：BD.
11．【正确答案】ACD
【详解】A.由双曲线方程可知，双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的一条渐近线方程为，所以，
所以的方程为，
故A正确；
B.由双曲线的方程，
可知，，，
则，所以离心率，
故B错误；
C.，，
，
当点三点共线且依序排列时，等号成立，
所以的最小值为，
故C正确；
D.
D. 的方程为，当时，，，
，
计算可得，，，
所以的面积为，
的周长为，
设△的内切圆的半径为，则，得，故D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】120
【详解】先将“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排，
再考虑在的左边，最后“解绑”，故有种方法.
故120.
13．【正确答案】
【详解】因为点在圆的外部，
所以，
解得，
故答案为.
14．【正确答案】/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为.
关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
15．【正确答案】(1)圆的圆心为，半径为5，
(2)或
【详解】（1）将代入方程得：，
，故圆方程为：，
即：，故圆的圆心为，半径为5.
设关于直线对称的点为，
则，解得.
故圆的方程为.
（2）因为过点的直线被圆截得的弦长为8，
故圆心到直线的距离为.
当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，其方程为，
即，
故圆心到直线的距离为，
依题意，解得：，
此时直线的方程为，即.
综上，直线直线的方程为或.
16．【正确答案】(1)；
(2)不存在
【详解】（1）因为，所以，，
所以，
故所求双曲线方程为.
（2）如图，

设，
由，消元可得，
当，即时，，，
所以，
所以，解得，
此时不满足，
故不存在，使得成立.
17．【正确答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由，可得，
解得，
故
（2），
故,
，
相减可得，
故，
因此，
假若存在，使得，，成等比数列，则，
即，
即，
故，
进而，即，
由于为奇数，而为偶数，因此不存在使得，
故不存在，使得，，成等比数列，
18．【正确答案】(1)；
(2)是，
(3)和
【详解】（1）由题意可知椭圆的半焦距，
由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得，
，
故椭圆的标准方程为.
（2）
由已知得，
由图知，直线的倾斜角互补，即直线的斜率与的斜率互为相反数，
可设直线的方程为，
代入，消去得.
设，
所以，可得，
因直线PM的斜率与PN的斜率互为相反数，
所以在上式中以代替，可得，
所以直线的斜率，
即直线的斜率为定值.
（3）由（1）已得， ,可设直线的方程为：，
代入，整理得：，
则，即，
设，则，
于是，，
点到直线的距离为，
则的面积为：
，
因，则，故当时，取得最大值，
此时直线的方程为,
即和.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1），
当时，就是一个三角形数．
（2），
，即．
若是偶数，则和是两个连续正整数，所以上式不成立，得是奇数．
所以．
解得，即．
（3）由题意可知：，且，
则
．
．A． 43,2
B． 43,4
C． −2,43∪43,2
D． 43,+∞